安徽安庆市第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷

高一数学参考容案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 2 5 6 8 答案 D B D A B 1.【答案】A 【解析】由题意知：=(1+2i)i=-2+i,其虚部为1，故选A. 2.【答案】C 【解析】AB-AC+DE+BD=CB+BD+DE=CE,故选C. 3.【答案】c 【解析】根据正弦定理及比例性质可知sinB-sinC=sinA_2_1 b-c a V32 故选C. 4.【答案】D 【解析】将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，OB=B=3,则0A=3√2. 故在原图中，OA=20A=6N2,0B=0B'=3, 所以AB=VOA+OB2=√72+9=9，而AD=BC=B'C=6, 所以原四边形ABCD中最长边为9故选D. 5.【答案】B 【解析】根据余弦定理可知a2=b2+c2-2 bc cosA即 16=25+c2-2×5×c× 亏，整理得c2-8c+9=0,解得c=4士万，故选B. 6.【答案】D 【解析】设小扇形的半径为xcm,则大扇形的半径为(x+12)cm, 设圆台的上下底面半径分别为cm,5cm,则2π5= 2 3x25= 2 3(x+12), 所以2x-）2子×12，于是6-6=4， 所以圆台的高为V122-(（5-5)}=V22-4?=8V2cm.故选D. 第1页共8页 2m=3sin 0 7.【答案】A 【解析】由条件知 ,消去m得 9-4m2=1+24cos0 1=9-9sn0-24s0-9cow0-24as0=9cos0-°-16.因 0∈R,cos0e[-1,1]所以∈[-15,33]，故选A. 8.【答案】B 【解析】Sa%s=SeaA4-Sa(a0-SAADE-SaEm4, E是AB的中点，D是AA的中点， 1 又：S冠A44=2S△M, 5m=2au4aA-a46-a%=a· 1 %4e=-4= 3y, 448G=x】 43mc-48F= ∴三棱锥D-B,CE的体积与三棱柱ABC-AB,C,的体积之比为1：4.故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC BCD ABD 9.【答案】BC 【解析】根据对各选项的判断，知BC正确，AD借误，因为五面体 还可以是三棱柱和三棱合，棱锥的侧面形状一定是具有一个公共项点的三角形，不一定 是等腰三角形 10.【答案】BCD 【解析】根据韦达定理可知以·心2=1，A选项错误：因 m2+,+1=0,所以-1=(-1)(2++1)=0.所以C选项正确：若 4=+6i,则w=6d 4 第2页共8页 2 -2+25i-1+5i=,=04:所以BD正确，故选BCD. 4 2 11.【答案】ABD 【解析】设边BC的中点为D,连AD,则AD=12, 而-（西+C列对于人选项亚-号而-西+和到西+号c,则 +名，A选顶正确：对于B选项，PC.C亚=-CP.CB=-西=-50， x+y=。+5= 333 B选项正确：对于C选项，AP=1 2,则 119 19D=9x.AB+AC尸2886+2881'所以x+y44C 144 1442 288 ,C错误： 对D现品二-号所以和-号而-是西+是 4B+134C, PD CD 5 18-18^2V 36 所以x+y= 。,D选项正确，综上，故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】3π 【解析】由条件可知图形是圆环，其面积大小为π×22-π×12=3π. 13.【答案】 8V2 32 【解析】由条件知正八面体的外接球直径大小为2√2，半径大小 为√反，其体积大小为 2 π 3 14.【答案】3 【解析】由正弦定理可知sinA=3 sin Bsin C.所以由余弦定理 可得+-6+c-+2cos4-g+2cosA c b bc bc bc sin+2co+2c04=3sin 4+2co=3 sin ( sin Bsin C 3sin 1 中锐角分由如p=号确定，当A+p=受时，名号的最大做等于店， 3 c b 第3页共8页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)由条件知l=+(=2.1分 所以a-6=|05lcos(a,b}=3x2xcos=3.n3分 由条件知a-(a-mb)=0,即9-3m=0,解得m=35分 (2)因a-2=a-4a-3+462=9-4×3+4×4=13. 所以a-26的大小为V3.7分 因a-(a-26)=a2-2a-6=9-2x3=3,10分 所以cos(a,a-2b a-(a-2b）3-3 a-a-2 31313 于是a与a-26的夹角的余弦值为 13 13分 16.解：（1)由条件知 m2+5m+6=0.解得m=-2,2分 m+3≠0 所以名，=i,3分 于是22026=2026=2=-1、4分 0-9[=(=一7分 (2)由题意可知m+3=m2+5m+6,8分 解得m=-3或m=-19分 当m=-3时，二1=0是实数，不是虚数，不符合题意，应舍去10分 当m=-1时，1=2+2i是虚数，符合条件 第4页共8页 所以31=2+2i,11分 5 51-2）=1-2i.13分 又3=1+20+20)0-20) 于是+22=2+2i+2(1-2i)=4-2i,14分 所以5，+2Ξ=4-2=√42+(-2)2=2515分 17.解：（1)设圆锥简的半径为”， 因所裁剪的扇形铁皮的圆心角为？，所以2zr= 2还x6=4x,2分 3 解得r=2,3分 于是圆锥的高为√62-22=4√互，…4分 设内接圆柱高为：，由圆锥内接圆柱的轴截面可得=4W5-A 242 所以H=2V2(2-x6分 所以内接圆柱侧面积 S=2h'=4W2π(-x2+2x=-42π(x-1)+4V2元，0<x<2,8分 所以当x=1时内接圆柱侧而积最大，最大值为4√2元…9分 (2)要使正方体在圆锥内可任意转动，而且使其棱长最大， 则该正方体是圆锥内切球的内接正方体，…11分 设圆锥内切球的半径大小为R, 根据等面积法可得x4x42=×6+6+4)R,解得R=V反13分 2 于是V5as2R=22,所以a526 3 第5页共8页 因此a的最大值为26 15分 18解：1)@当2-片时，正-号c,于是正-西-(c-) 所以征=号+兮C=号+而+c)号而++） =+号而4分 ®因么G,E三点共线，所以正∥花，设花=正-名西+而， 6 又BG,D三点共线，所以名+写=1，解得以=号 6 6 3 所以4G=B+号D6分 因AB=2BC=2CD=4,所以∠BAD= 3, 于是孤.而=卧历c∠80=2xx分4一8分 所以d-西+号河装而+器而而+而' 49 49*16+20 4+4x4=496 49 49 49 所以AG=4面 10分 (0<s1 (2)由条件知 51解得ss1. 0< 9 9λ 所以实数2的取值范围为 第6页共8页 由死=0c,得征-而=Ac-丽)=[而+而-丽（而- 于是征--丽+而13分 由0F=员c得F=87而+04分 18元 所以正不-[〔-而+而]威丽+而） （-小+而+侣而 当且仅当2以=员用1=[6剖时，店.不的爱小值为多-分 19,解1)当∠B4D-号时，在△A80中. 由余弦定理，得 BD=AB2+AD2-21B-D-c5∠BMD=4+2-2×4×2xcos2=28.…3分 3 所以四边形8CD的面积为5aw+5o号B~AD-s动∠B1D+9a0 4 =4x2xsm受+928=25+7wg=9w55分 3 4 (2)①因为△BCD是等边三角形，G是边BD的中点，所以CG⊥BD,且 CG=5BD.6分 在△ABD中，由余弦定理， 得BD=AB2+AD2-2AB·AD.cos∠BAD=4+2-2×4×2cosa=20-16cosa 第7页共8页 8分 所以CG2=2BD=220-16cosa）=15-12cosa10分 @因为E是AB的中点，所以EG是△4BD的中位线，所以BG=4D=1, EG∥AD.11分 设∠ADB=B,由正弦定理，得 BD AB sin∠BAD sin∠ADB· 即BD4 sina sinB 所以BDsin B=4sina13分 在△CEG中，由余弦定理得 CE2=EG+CG-2EG.CG·cos∠EGC C0Dc)Cm =15-12cosa+1+43sin a=4v3sin a-12cosa+16.........15 =8v5sin(a-+16s85+16, 31 所以当a-号-受即a=g时，CE取得最大值，最大值为i6+8万=2+2. 6 17分 第8页共8页2025-2026学年度第二学期期中考试 4: 高一数学试题 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z=(1+2i)i(其中i为虚数单位)，则z的虚部为（)， A1.B.-1 C.i D.-2 “:· 2.化简：AB-AC+DE+BD=()」 A.AE B.BE C.CE D.CD B在不等边AMBC中，内角4，B,C所对的边分别为a,bc,若a3,4?,则 sin B-sinc=(). b-c A.25 B.2 D 2 6 4.如图，矩形A'B'CD是水平放置的平面四边形ABCD用斜二 测画法画出的直观图，其中AB=3,B'C'=6,则原四边形 ABCD中最长边的长度为(). /O B A.6B.6V2 C.8D.9 则c心 5.在△1BC中，内角4，B,C所对的边分别为a,bc,若a=4b=5,cosA= ( A.4-万 B.4±V7 C.4+万 D.4 扇环 6折扇是我国古老文化的延续，在我国己有四千年左右的历史， “扇”与“善”谐音，折扇也寓意“普良”“善行”，它常以 字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、 大智大勇的象征现有-一把折扇，其结构如图完全展开后扇环的圆 长上板 小骨大骨 热 西第1页共4页 心角为2红，上板长为12cm,若把该扇环围成一个四台，则圆台的高为（）. 3 A.6cm B.62cm C.8cm。,D.8W2cm 7.己知复数名=2m+(9-4m2i(meR),z4=3sin0+(1+24cos0y(久0eR),若 31=z2,则2的取值范围是() A[-15,33] B.[-16,33] c[-16,-15] D.[-16,+o∞） 8如图，在直三棱柱ABC-ABC中，E是AB的中点，D是AA的中点， 则三棱锥D-B,C,E的体积与三棱柱ABC-AB,C的体积之比是()， A.13 B.1:4 C.1:6 D.1:8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于多面体的下列说法，其中正确的是()，.：， 、〉2i A.四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥 B.每一个棱台的侧棱延长后必交于一点 C长方体是直四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体车生、三：产·三 D.棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的等腰三角形 10.方程x2+x+1=0在复数集范围内的两个根分别记作，02，则（）· A.0m2=-1 B.0-@2 小此，产眼。1) C.@j=1 11.在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,P为△ABC内-一点，若 1。 AP=xAB+yAC(x,y∈R),则下列命题正确的是（). 以进 A若点P为△MBC的重心，则x+y=名 3 第2页共4页 B.若点P为△4BC的外心，则PC.CB=-50 C.若点P为△MBC的垂心，则x+y=9 》 288 D.若点P为△MBC的内心，则x+y= 18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数z满足条件1≤z-≤2，则其在复平面内所对应的点Z构成的图形面积大小 为 13.棱长为2的正八面体的外接球体积大小为 14.在△MBC中，内角4，B,C所对的边分别为a,6c,若a=3功sinC,则2+的最大 值等于 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知平面向量ā，石满足日=3，方=小月)，a与6的夹角为 3 (1)若a⊥(a-mb),求实数m的值： (2)求ā与a-2乃的夹角的余弦值.两3 16.(15分)已知复数z=(m2+5m+6)+(m+3)i(m∈R) 2026 (1)若z为纯虚数，求z06及 的值： (2)若乙，为虚数，且其在复平面内对应的点在直线y=x上，复数2，满足(1+2)2=5， 求名+2z2的大小. “4595,4 第3页共4页 17.(15分)从一张半径为6的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并 卷成-个深度为h米的圆惟筒（如图2）.若所镜剪的扇形铁皮的圆心角为子d。 图1 图2 图3 (1)若圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大 值以及取最大值时x的取值。 (2)在圆锥内有一个棱长为a的正方体，若该正方体在圆锥内可任意转动，求a的最 大值 18.(17分)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2BC=2CD=4,点E,F分别 是边BC与边CD上的点，且BE=BC,DF=二DC(2ER),AE与BD交于点G. 9λ (1)当1=号时， D ①用AB,AD表示AE: ②求Ad的大小. 出。， (2)求实数入的取值范围，并求A正·AF的最小值 19.(17分)如图，四边形ABCD中，AB=4,AD=2,△BCD是等边三角形 (1)当∠BAD= 号时，求四边形8CD的面积： (2)若E,G分别是边AB,BD的中点，连接CE,EG,CG 设∠BAD=a. ①试用a表示C; ②求CE长的最大值 1第4页共4页