精品解析：安徽省安庆市第一中学诚毅书院2024-2025学年高一下学期期中数学考试

安庆一中诚毅书院学术能力测试 2024—2025年度第二学期期中检测 高一数学 考试范围：必修2全册（平面向量、复数、立体几何、统计、概率） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 8 D. 40 3. 设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则 4. 下图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（ ） A. 第一枚正面朝上的概率是 B. “第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”不相互独立 C. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的 D. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的 6. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 7. 在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:；乙:；丙:；丁:．判断结果与其它三个不一样的是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，正方体棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互对立事件，则； B. 数据36，28，22，24，22，78的第80百分位数为36； C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是； D. 若样本数据的平均数为2，则的平均数为8. 10. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取粒进行检测，现将这粒种子编号如下，，，，若从随机数表第行第列的数开始向右读，则所抽取的第粒种子的编号是___________．（下表是随机数表第行至第行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13. 设M为内一点，且，则与的面积之比为______． 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是一元二次方程（，）的根. （1）求的值； （2）若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 16. 如图，在四棱锥中，，，⊥，平面⊥平面，分别是和的中点． 求证：（1）//平面 （2）平面⊥平面 17. 为了估计一批产品质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 18. 如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，点在上，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 19. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）已知是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值； ②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安庆一中诚毅书院学术能力测试 2024—2025年度第二学期期中检测 高一数学 考试范围：必修2全册（平面向量、复数、立体几何、统计、概率） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数的概念即可得解． 【详解】依题意，，则， 所以的虚部为． 故选：A． 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 8 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】所求模平方后，根据向量的数量积的运算律化简求解即可. 【详解】因为向量，满足，，， 所以， 则， 故选：B． 3. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可． 【详解】对于A中，，若，则直线可能平行或异面，所以A错误． 对于B中，若，则或，所以B错误． 对于C中，若，则位可能平行、相交或异面，所以C错误． 对于D中，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以D正确． 故选：D 4. 下图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据的平均数和中位数的概念及关系，即可求解. 【详解】由题意，平均数是反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系； 将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数， 平均数和中位数的大小关系与数据的分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，如图（1）中位数与平均数相等，如图（2）中位数小平均数，如图（3）中位数大于平均数，结合给定的频率分布直方图，可知数据的中位数更大一些，即. 故选：B. 5. 按先后顺序抛三枚质地均匀硬币，则（ ） A. 第一枚正面朝上的概率是 B. “第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”不相互独立 C. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的 D. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的概率，相互独立事件的判定方法，以及互斥、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，第一枚正面朝上的概率是，所以A错误； 对于B中，第一枚正面朝上的概率为， 三枚硬币朝上的面相同的概率为， 又由，可得， 所以第一枚正面朝上与三枚硬币朝上的面相同相互独立，所以B错误； 对于C中，至少一枚正面朝上与三枚硬币正面朝上，可能同时发生， 所以两个事件不互斥，所以C错误； 对于D中，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”，不能同时发生，但试验中必有一个事件发生，所以两事件对立，所以D正确. 故选：D 6. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，中位数，极差以及众数的定义，即可判断. 【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变， 中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变， 极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将重复记录在数据中，最大值与 最小值并未改变，所以极差一定不变， 众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变. 故选：C 7. 在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:；乙:；丙:；丁:．判断结果与其它三个不一样的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，结合二倍角公式判断甲、乙，利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式判断丙，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式判断丁. 【详解】对于甲:，由正弦定理可得， 即，又，所以或，即或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于乙:，由正弦定理可得， 所以， 又，所以，， 所以， 即，又，所以或， 即或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于丙:，由正弦定理可得， 所以，又且， 所以，所以，即，所以为等腰三角形； 对于丁:，由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 即， 所以或， 又且， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式一一计算. 8. 如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则， 所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为， 则解得 所以． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若事件与事件互为对立事件，则； B. 数据36，28，22，24，22，78的第80百分位数为36； C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是； D. 若样本数据的平均数为2，则的平均数为8. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据对立事件的性质分析判断，对于B，根据百分位数的定义求解判断，对于C，根据古典概型的概率公式分析判断，对于D，根据平均数的性质分析判断. 【详解】对于A，若事件与事件互为对立事件，则，所以A正确， 对于B，这6个数从小到大排列为22，22，24，28，36，78， 因为，所以第80百分位数为第5个数36，所以B正确， 对于C，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，所以C错误， 对于D，因为样本数据的平均数为2， 所以的平均数为，所以D正确. 故选：ABD 10. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D. 【详解】由，又斜边，则，则，A正确； 若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、. 11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 异面直线与所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造正方体模型，即可判断A、B，展开为平面图形，两点间直线最短，即可求出最小值，从而判断C，构造正方体模型，求出外接球半径，然后计算得到球心到截面的距离，然后结合勾股定理即可求解D选项. 【详解】 对于A，如图，将几何体补为正方体，易知，，又，所以，故A正确； 对于B，如图，将几何体补为正方体，当动点M运动到点B时，此时直线与所成角最小，为，但此时直线与相交，不满异面； 当动点M由点B向点C运动时，直线与所成角慢慢变大，当动点M运动到点C时，此时直线与所成角最大，易知 是等边三角形，所以直线与所成的角为，而，即此时直线与所成角为；所以，异面直线与所成角的取值范围为，故B错误； 对于C，如图，将平面与平面展同一平面，则 ，故C错误 对于D，如图，补为正方体，三棱柱外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径，即， ，所以 所以， 取正方体的中心点O，的中点N，连接ON，易知， 所以，设正方体的中心点O到截面的距离为h， 即球心到截面的距离为，根据勾股定理可得截面圆半径为， 所以截面面积为，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 省农科站要检测某品牌种子发芽率，计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取粒进行检测，现将这粒种子编号如下，，，，若从随机数表第行第列的数开始向右读，则所抽取的第粒种子的编号是___________．（下表是随机数表第行至第行） 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】507 【解析】 【详解】试题分析：依据随机数表，抽取的编号依次为785,567,199，507．第四粒编号为507． 考点：随机数表． 13. 设M为内一点，且，则与的面积之比为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点的位置，进而分析运算即可. 【详解】在取中点， 则， 可知点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 故答案为：. 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直线与平面所成的角为，求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度. 【详解】因为直线与平面所成的角为， 所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是确定点的轨迹，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是一元二次方程（，）的根. （1）求的值； （2）若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是一元二次方程的两根，并根据韦达定理即可求解； （2）由（1）并结合为纯虚数，得，再代入复数中求模即可. 【小问1详解】 因为是一元二次方程的根， 所以也是一元二次方程的根， 故，解得. 【小问2详解】 因为复数为纯虚数， 所以，且，即. 所以复数， 故. 16. 如图，在四棱锥中，，，⊥，平面⊥平面，分别是和的中点． 求证：（1）//平面 （2）平面⊥平面 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）若要证//平面，只要所在面和平面平行即可； （2）若要证平面⊥平面，只要证平面内的一条直线和平面垂直即可. 【详解】（1）∵，，E是的中点， ∴，即是平行四边形． ∴． ∵平面平面， ∴平面， 又， 平面，平面， ∴平面， ，平面，且， ∴平面平面． ∵平面，∴平面． （2）由题意，平面平面，且两平面交线为，平面，， ∴平面．∴．∴． 又，，平面，且， ∴平面． ∵平面，∴平面平面． 【点睛】本题考查了线面平行和面面垂直的证明，解决此类问题的关键是能利用线面关系的定理和性质进行逻辑推理，往往使用逆推法进行证明，需要较强的空间感和空间预判，属于较难题. 17. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 【答案】（1），平均数为81 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合加权平均数运算求解； （2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【小问1详解】 由频率和为1，得，解得； 设综合评分的平均数为， 则， 所以综合评分的平均数为81. 【小问2详解】 由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个， 一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E； 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间 ，； 记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”， 则，， 所以所求的概率为. 【小问3详解】 由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 所以， . 18. 如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，点在上，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）以为原点，求得平面的一个法向量为，结合，证得平面，进而证得； （2）由（1）知：平面的一个法向量为，再由，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由平面，得到为平面的一个法向量，再由平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：以为原点，所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，所以， 又因为， 所以平面，因为平面，所以． 【小问2详解】 解：由（1）中的空间直角坐标系，因为，所以， 且平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角的为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 解：因为平面，可得为平面的一个法向量，且， 由（1）平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 则平面与平面夹角的余弦值为． 19. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）已知是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值； ②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）①；②存在，. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式将等式化成，由的范围得到，利用内角和即得； （2）①设利用正弦定理分别求出,代入三角形面积公式，整理成，利用正弦函数的图象性质即可求得； ②假设等式成立，利用和差化积公式化简，代入，得到对于所有满足题意的成立，联立方程组计算即得. 【小问1详解】 由，和正弦定理可得，， 即， 移项得，，即， 因为,则有， 故，即，又，所以； 【小问2详解】 ①因为，所以，又，所以. 如图，因，设则， 则在中，由正弦定理，得，所以， 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因，则，故当，即时，； ②假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有成立， 即都有， 由题意，代入整理得，对于所有满足题意的成立， 故有，从而有，即， 因为，所以. 即存在实常数，对于所有满足题意的，都有成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与三角函数有关的含参数的等式恒成立问题，属于难题. 一般思路是通过参数整理，将等式整理成关于参数为整体的方程恒成立的形式，依题，使其系数和常数项都等于零，联立方程，最后根据方程组的解的情况进行分析判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$