23.2一次函数的图象和性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数的图象和性质，以京沪高铁行程问题导入，从具体行程与时间的数量关系抽象出函数表达式，再通过列表、描点、连线步骤探究图象画法，构建从实际问题到数学抽象的学习支架。 其亮点在于结合现实情境培养数学眼光，通过问题链引导和“正撇负捺；上加下减”口诀总结发展数学思维，典例与合作探究强化数学语言表达。如用京沪高铁问题链引入函数关系，两点法画图象及k/b对图象影响的归纳，帮助学生提升抽象能力和应用意识，教师可依托结构化内容高效开展教学。

23.2一次函数的图象和性质 第二十三章 一次函数 人教版(2024) 02 理解正比例函数的图象的特点，会利用两点法画正比例函数的图象； 01 会画正比例函数的图象； 素养目标 03 掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题. 新知导入 为了更好地借助函数认识运动变化现象，需要研究函数的性质，函数的性质能更好地刻画运动变化现象的变化规律. 在函数性质的研究中，函数图象由于其直观性，经常扮演着重要的角色. 我们从特殊的一次函数——正比例函数开始，利用图象研究其性质. 问题 1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题： （1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？ 探索新知 解：乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，需要的时间大约为： 1318 ÷ 300 ≈ 4.4（h） （2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）与运行时间 t（单位：h ）之间有何数量关系？ y = 300 t（ 0≤ t ≤ 4.4） 问题 1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题： 探索新知 问题 1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题： （3）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 后，是否已经过了距始发站 1100 km 的南京南站？ 300×2.5 = 750（km） 所以京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 后， 还没经过南京南站. 因为 750 < 1100， 探索新知 探究新知 画出下列正比例函数的图象： y = -1.5x，y = -4x； 解：函数 y = -1.5x中自变量 x 可为任意实数. ①列表→②描点→ ③连线. ①列表 x … -2 -1 0 1 2 … y … 3 1.5 0 -1.5 -3 … 探究新知 ②描点：如图，在平面直角坐标系中描出表格中的值为坐标的点； ③连线：连接直角坐标系中的点. 用同样的方法，可以得到函数 y = -4x的图象. y = -1.5x y = -4x 一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，通常选取该直线与y轴的交点(横坐标为0的点)和直线与x轴的交点(纵坐标为0的点)，再过这两点画直线就可以了. 新 知 小 结 例1 画出函数y=2x－1与y=－0.5x+1的图象. x 0 1 y=2x－1 y=－0.5x＋1 －1 1 1 0.5 O 1 x y 1 -1 -1 y=2x-1 y=-0.5x+1 解：列表表示当x=0，x=1时 两个函数的对应值. 分别画出函数图象如图所示： 典 例 精 析 (2) 若函数图象经过点 (2，4)，则 k_____. = 1 解析：将坐标 (2，4) 带入函数解析式中，得4 = (k + 1)·2，解得 k = 1. ∠1 = ∠2 问题：在函数 y = x ， y = 3x， y = - x 和 y = -4x 中，随着 x 的增大，y 的值分别如何变化? 分析：对于函数 y = x，当 x = -1 时，y = ；当 x = 1 时，y = ；当 x = 2 时，y = ；不难发现 y 的值随 x 的增大而 . -1 1 2 增大 知识点 2：正比例函数的性质 新知探究 3. 正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5. (1)你能求出这两个函数的解析式吗？ (2)△AOB的面积是多少呢？ 分析：由OB=5可知点B的坐标为(0，-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(组)即可. 4 2 -2 -4 4 x y O -4 -2 2 A (3，4) B 解：（1）由题意可知，B点的坐标是（0，-5） ∵一次函数y=k2x+b的图象过点（0，-5），（3，4） ∴ ， 解得 ∵正比例函数y=k1x的图象过点（3，4）， ∴ 因此 （2）S△AOB=5×3÷2=7.5 因此 y=3x-5. 4 2 -2 -4 4 x y O -4 -2 2 A (3，4) B y x o 2 1 · · · · y=2x+1 y=-2x+l y=x+1 y=-x+1 观察四个函数的图像，分析在一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k、b的正负对函数图象有什么影响？ 画出函数y=x+1，y=-x+1， y=2x+1，y=-2x+1的图象. 经过点（0，1），（-1，0）画出直线y=x+1； 经过点（0，1），（1，0）画出直线y=-x+1； 经过点（0，1），（-0.5，0）画出直线y=2x+1； 经过点（0，1），（0.5，0）画出直线y=-2x+1 合作探究 一次函数 y＝kx＋b b 决定直线与y轴交点位置 1. 当b＞0时，直线交于y正半轴 x y 0 x y 0 4. 当 b 相等时，直线交于y轴上同一点 2. 当b＜0时，直线交于y负半轴 3. 当b = 0时，直线交于坐标原点 x y 0 16 一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？ 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大. 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 归纳总结 -5 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 -1 0 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 x y 正撇负捺；上加下减 题型二 利用几何变换求一次函数的解析式 将函数 y = -2x 的图象向下平移后得到直线 AB，若直线 AB 经过点（m，n），且 2m + n + 6 = 0，求直线 AB 的解析式. 解：由题意，将函数 y = -2x 的图象向下平移后得到直线 AB， 可设直线 AB 的解析式为 y = -2x + b. 因为直线 AB 经过点（m，n）， 所以 -2m + b = n，即 2m + n-b = 0. 又 2m + n + 6 = 0，所以 b = -6. 因此，直线 AB 的解析式为 y = -2x-6. 题型三 利用三角形的面积求一次函数的解析式 已知一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴交于点 A（-6,0），与 y 轴交于点 B. 若△AOB 的面积为 12，求这个一次函数的解析式. 解：因为图象经过点 A（-6,0），所以 -6k+b=0，即 b = 6k.易得图象与 y 轴的交点是 B（0，b）所以 S△AOB = OA·OB = ×6×|b| = 12. 所以 b = 4或 -4. 当 b = 4 时，k = ；当 b = -4 时，k = . 则这个一次函数的解析式为 y = x + 4 或 y = x - 4. 2. 填空. 已知直线y=4x+1，它是由直线y=4x向 平移 个单位长度得到的； 1 上       5. 直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为________；与y 轴交点的坐标为_______；图象经过第__________象限， y 随x 的增大而________． 6. 若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k= . 3 7. 点A(-1，y1)，B(3，y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1-y2 0. (填“＞”或“＜”). ＞ （0，-3） 一、三、四 增大 （1.5，0） 4. 对于函数y=5x+6，y的值随x的值减小而______. 减小 22 8. 已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 . 解: 由题意得 ，解得 又∵m为整数, ∴m＝2. 一次函数图象及画法 图象 画法 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. ①两点法：两点确定唯一一条直线.②平移法：由直线y=kx向上或向下平移. 课堂小结 $