精品解析：江苏连云港市新海实验中学2025-2026学年度第二学期期中质量检测八年级数学试题

新海实验中学2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号填在答题纸上） 1. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的9倍 C. 扩大到原来的6倍 D. 扩大到原来的3倍 3. 如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数a满足 ，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若k为自然数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被4整除 D. 被6整除 6. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 7. 太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（ ） A. B. C. D. 8. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 10. 分式与的最简公分母是_________ 11. 分解因式：_____． 12. 关于的分式方程有增根，则的值为___________． 13. 如图，在中，已知，的平分线交于点E，则的长为_____ ． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 15. 如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，且，，，则的度数是______． 16. 如图，矩形中，，E为的中，点F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是_______________． 三、解答题（本大题共10题，共94分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． （1）写出一个30到50之间的“正巧数” （2）设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明． 21. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 22. 如图，在中，，是的外角的平分线． （1）在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）求证：四边形是矩形． 23. 为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． （1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； （2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 24. 如图，在梯形中，，，，，，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动．设移动时间为．求当为何值时： （1）四边形为平行四边形； （2）四边形为等腰梯形； （3），直接写出的值． 25. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． （1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和； （2）若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； （3）若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 26. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海实验中学2025-2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号填在答题纸上） 1. 要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据使分式有意义的条件是分式的分母不等于零即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：D． 2. 将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的9倍 C. 扩大到原来的6倍 D. 扩大到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据要求变换后，再根据分式的基本性质化简，和原分式比较即可得到结果. 【详解】解：将分式中的a、b都扩大到原来的3倍，即， 故分式的值扩大到原来的3倍. 3. 如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 4. 已知实数a满足 ，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用二次根式的性质，将原式转化为绝对值的和，分不同范围去绝对值化简，判断等式成立的条件，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴原等式可化为 ， 分三种情况讨论： ①当时， ∵，， ∴原式， 令， 解得，与矛盾，此范围不成立； ②当时， ∵，， ∴原式，等式恒成立； ③当时， ∵，， ∴原式， 令， 解得，与矛盾，此范围不成立； 综上，的取值范围是． 5. 若k为自然数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被4整除 D. 被6整除 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被3整除． 故选：B． 6. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：D． 7. 太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根据板材的数量和形状列代数式及因式分解，用代数式表示出正方形墙壁的总面积，再通过因式分解求出边长． 【详解】解：由图可得：板材的面积为，板材的面积为，板材的面积为。 ∵用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务， ∴总面积为： 即： ∴边长为． 故选：B． 8. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】0正方形对角线的交点，取正方形对角线的交点Q，则经过P、Q的直线把它剪成了面积相等的两部分，令直线与直线交于点，先后证明，，得出，在中，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，标记四边形顶点，取正方形对角线的交点Q，则经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，令直线与直线交于点， 由题意可得，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 在中，，，， ， ，即剪痕的长度是． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ，解得， 则实数x的取值范围是． 10. 分式与的最简公分母是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 12. 关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，注意增根问题可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘， 得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，即， ． 故答案为： ． 13. 如图，在中，已知，的平分线交于点E，则的长为_____ ． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义推出，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵在中，已知， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴. 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分及四边相等，从而求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，  ∴，，，  在中，由勾股定理得：， ∵，  ∴， ∴，解得：． 15. 如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，且，，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，根据平行线的性质和三角形外角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：是的中点，点、分别是、的中点， 、分别是，的中位线， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 如图，矩形中，，E为的中，点F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故BP的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点与点重合时，点在处，， 当点与点重合时，点在处，， 且． 当点在上除点、的位置处时，有． 由中位线定理可知：且． 点的运动轨迹是线段， 当时，取得最小值． 矩形中，，，为的中点， 、、为等腰直角三角形，． ，． ． ． ，即， 的最小值为的长． 在等腰直角中，， 的最小值是． 故答案是：． 【点睛】本题考查了线段的最值问题以及矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题． 三、解答题（本大题共10题，共94分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： 方程两边同乘最简公分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时， 因此是原分式方程的解 【小问2详解】 解： 整理方程得 方程两边同乘最简公分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时，，原分式无意义 因此原分式方程无解 20. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”． （1）写出一个30到50之间的“正巧数” （2）设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，如果不能，请举例说明． 【答案】（1）32（或40或48） （2）能被8整除 【解析】 【分析】（1）根据范围列不等式求出符合要求的“正巧数”即可； （2）利用平方差公式化简后判断是否能被8整除即可． 【小问1详解】 解：设两个连续正奇数为和，为正整数． 根据“正巧数”的定义，可得“正巧数”为 ， 由题意得， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴或5或6， ∴或40或48； 【小问2详解】 解：能被8整除，理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 即由和构成的“正巧数”能被8整除． 21. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，则可得，再根据求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在中，，是的外角的平分线． （1）在上求作一点，在上求作一点，使四边形是矩形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 点，即为所求． （2） 证明：∵， ∴． ∵是的外角的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的尺规作图与性质以及矩形的判定，同时考查了尺规作图的基本操作能力．关键是熟练运用等腰三角形的三线合一和等边对等角性质，结合三角形外角性质证得直线平行，通过平行四边形的判定完成矩形判定的过渡，尺规作图则需掌握角平分线的基本作法，将作图与几何性质结合起来． （1）先利用尺规作角平分线的方法作出的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点． （2）先由得出，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得，再结合，根据一组对边平行且相等证出四边形是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出，即，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明． 【小问1详解】 解：如图，①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点； ③作射线交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则点，即为所求． 【小问2详解】 略 23. 为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． （1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； （2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】（1）； （2）50千克 【解析】 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； 【小问2详解】 解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 24. 如图，在梯形中，，，，，，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动．设移动时间为．求当为何值时： （1）四边形为平行四边形； （2）四边形为等腰梯形； （3），直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，继而得到，，，根据平行四边形的性质得，即，求解即可； （2）如图，当四边形是等腰梯形时，过作于点，证明四边形是矩形，得，证明，得，再根据列出方程求解； （3）分三种情况：①当点在上时；②当点在上时；③当点在上且在点的右侧时；当点在上且在点的左侧时；分别画出图形求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∴， ∵梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，移动时间为， ∴，，，， ∵点、分别从、同时出发，当其中一个点到达点时，另一点也随之停止移动， ∴， 如图，当四边形为平行四边形，则， ∴，即， 解得：， ∴当为时，四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，当四边形是等腰梯形时，过作于点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当为时，四边形为等腰梯形； 【小问3详解】 解：要使，分三种情况讨论： ①当点在上时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴与的距离为， ∵，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， 解得：； ②当点在上时，此时，即， 如图， 在中，， ∵， ∴， ∴在中， ∴， ∴，不符合题意； ③当点在上且在点的右侧时，如图， ∴， ∴， 解得：； 当点在上且在点的左侧时，如图， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或时，． 25. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． （1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和； （2）若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； （3）若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】（1） （2）或4或6 （3）75 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； 【小问3详解】 解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 26. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）的大小是定值，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； 【小问3详解】 解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $