精品解析：湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期4月期中学科素养测评数学试题

高一数学学科素养测评 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 角的终边落在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用终边相同的角的表示方法，即可求解. 【详解】由，所以和的终边相同，其终边落在第二象限. 2. 已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形面积公式计算求解. 【详解】扇形的面积. 3. 已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由A、B、C三点共线可得，求出、后，利用向量共线性质计算即可得. 【详解】，，由A、B、C三点共线， 则，故，解得. 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 5. 在中，、是方程的两个实根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， 中. 6. 已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，根据三角形的性质，得到，再由，求得，过点作，得到，结合向量数量积的几何意义，即可求解. 【详解】由分别表示与向量同向的单位向量， 所以表示的角平分线上的向量， 因为，可得， 又因为，可得， 因为，可得， 如图所示，过点作，垂足为，可得，即， 所以向量在向量上的投影向量为. 7. 函数的零点个数为（ ）.（参考数据：） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为与图象的交点个数，画出两个函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数的零点个数，即方程解的个数， 即函数与图象的交点个数， 又由，所以函数的零点位于， 在同一坐标系下画出两个函数的图象，如图所示， 可得函数与图象共有7个交点， 即函数的零点个数为7个. 8. 已知函数是定义在上的递增函数，且对，都有，若关于的方程的两个根分别为和，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，可得出，根据函数为增函数，可得出，结合函数的单调性求出，可得出，再由、结合对数的运算性质可得出的值. 【详解】由题意，设，则， 令，得，即，所以， 因为函数是定义在上的递增函数，所以，从而， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上为增函数， 由可得，所以， 因为的两个根分别为和，所以， 即， 即，即，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 复数的实部为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由得，所以A正确； 可算得，，所以B错，C正确； ，D正确. 10. 在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】化简函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数， 对于A，函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B，函数的最大值为，所以B正确； 对于C，令，可得， 其中不是的解，所以不是的对称轴，所以C错误； 对于D，由，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减，所以D错误. 11. 在中，已知，D为的中点，记，从0°到180°连续变化，记，，的内切圆半径为r，外接圆半径为R.下列结论正确的是（ ） A. h随的增大而减小 B. 的最大值为 C. 为定值 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立与的函数关系，可判断A的真假；推导关于的函数关系，由正切函数性质可判断B的真假；先利用正弦定理表示出，计算，判断C的真假；先利用三角形的面积公式与内切圆半径的关系表示出，再结合的表达式，得到关于的函数关系，利用基本不等式求其最大值，判断D的真假. 【详解】对于A，因为，， 由余弦函数性质可知，随的增大而减小，A正确； 对于B，，，而， 由正切函数性质可知无最大值，B错误； 对于C，由正弦定理得，故而，C正确； 对于D，由等面积法得， 则， 当且仅当即时，等号成立，故而D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：的结果为_______. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，. 13. 已知向量的夹角为，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简求得，结合，即可求解. 【详解】由向量，的夹角为，，， 可得， 则，所以. 14. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和余弦定理，求得，得到，设的外接圆半径为，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由， 可得 所以， 由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以， 设的外接圆半径为，由为的外心， 则，且，即， 因为，且， 所以， ， 则 ， 所以当，即时和面积之差的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足为纯虚数，且. （1）求复数； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数的概念，结合复数模的公式列方程求解即可； （2）根据复数运算法则得到，根据复数的几何意义列不等式求的范围； 【小问1详解】 设，， 因为为纯虚数，所以，即且， 又，即， 联立解得，， 则. 【小问2详解】 由（1）知， 因为复数在复平面内对应的点在第四象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知函数（其中，，），函数图象与y轴的交点为，距离轴最近的最高点为，且该最高点与其相邻的一个最低点横坐标之差的绝对值为. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的递增区间. 【答案】（1） （2）和. 【解析】 【分析】（1）根据周期得出，再代入点结合得出或，最后代入检验即可得出解析式； （2）先根据解析式得出单调增区间再结合即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，，， 将，代入可得，或， 时，，此时，不合题意， 时，，此时，符合题意， 故，函数解析式为. 【小问2详解】 令得， 时，， 时，， 所以函数在区间上的递增区间为和. 17. 在中，，，，设点D为边BC上一点，且满足，点E为线段上一点（不含端点），且，其中. （1）用表示，并求； （2）设F为线段的中点，若，求的值. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，化简得到，结合向量数量积的运算律，即可求解； （2）根据题意，求得，，由，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 根据向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 可得，且， 则， 所以. 【小问2详解】 由向量的线性运算法则，可得， 且， 因为，可得， 即， 所以， 即，解得. 18. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，. （1）求角C的大小； （2）若，求的面积； （3）记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意及正弦定理得，化简即得； （2）化简得到，即，又由，得到，从而得到，进而得到是等边三角形，即可求其面积； （3）先利用面积公式化简得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得到，在锐角中， 则在上单调递减，从而，所以. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即， ∴, 又∵，∴， ∵，∴. 【小问2详解】 ， ∵，∴，∴， 又∵，∴，从而，， 由（1）知，∴是等边三角形，面积为. 【小问3详解】 由题得到， ∵， ∴， ， 在锐角中，∵，∴，， ∴在上单调递减， 从而， 即， ∴. 19. 定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量. （1）求函数的和谐向量； （2）已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且. （i）若点为的重心，求的最大值； （ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简得到，结合和谐向量的定义，即可求解； （2）根据题意，得到，由，求得，（ⅰ）利用余弦定理和基本不等式，求得，结合，即可求得的最大值；（ⅱ）由，求得，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量为和谐函数的和谐向量， 因为， 所以的和谐向量为. 【小问2详解】 解：由和谐向量的和谐函数为， 因为，可得，其中，可得 所以，解得. （ⅰ）在中，因为，由余弦定理得， 又因为，则，即，当且仅当时“=”成立， 因为点为的重心，可得， 所以 ，即的最大值为. （ⅱ）因为平分且与交于点，可得， 即， 即，即，所以， 由正弦定理，可得， 则 ， 因为则为锐角三角形，可得，解得， 令，可得，则， 所以 ， 由，可得，由于函数在上单调递增， 当时，，当时，，所以长度的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科素养测评 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 角的终边落在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（ ）. A. B. C. D. 3. 已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 5. 在中，、是方程的两个实根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点个数为（ ）.（参考数据：） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 8. 已知函数是定义在上的递增函数，且对，都有，若关于的方程的两个根分别为和，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 复数的实部为 B. C. D. 10. 在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 11. 在中，已知，D为的中点，记，从0°到180°连续变化，记，，的内切圆半径为r，外接圆半径为R.下列结论正确的是（ ） A. h随的增大而减小 B. 的最大值为 C. 为定值 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：的结果为_______. 13. 已知向量的夹角为，，，则_______. 14. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足为纯虚数，且. （1）求复数； （2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 已知函数（其中，，），函数图象与y轴的交点为，距离轴最近的最高点为，且该最高点与其相邻的一个最低点横坐标之差的绝对值为. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的递增区间. 17. 在中，，，，设点D为边BC上一点，且满足，点E为线段上一点（不含端点），且，其中. （1）用表示，并求； （2）设F为线段的中点，若，求的值. 18. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，. （1）求角C的大小； （2）若，求的面积； （3）记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围. 19. 定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量. （1）求函数的和谐向量； （2）已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且. （i）若点为的重心，求的最大值； （ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $