广东阳江市第三中学2025-2026学年度高二数学五一假期练习卷

2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学五一假期练习卷 2026年 4 月 30日 班级： 姓名： 学号： 一、单选题 1．已知等差数列的公差为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 3．已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，，，成等差数列，则公比（   ） A．或1 B．2或 C．1 D． 4．函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 6．已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 7．设，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 二、多选题 9．（多选）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 11．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 三、填空题 12．现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂色种数为__________． 13．若直线是曲线的切线，则__________． 14．已知，若的前项和为，为递增数列，则范围为__________． 四、解答题 15．13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． (1)求五张字母牌互不相邻的概率； (2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； (3)对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 16．已知函数，的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值；(2)当时，求证：. 17．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和． 18.已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 19．已知函数． (1)求函数在处的切线方程． (2)若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 试卷第1页，共3页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度阳江市第三中学高二数学五一假期练习卷解析版 2026 年 4月 30日 一、单选题 1．已知等差数列的公差为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由，得，得，故． 2．已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 【答案】D 【详解】因为，且，所以有，即， 则有，所以公比，所以， 3．已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，，，成等差数列，则公比（   ） A．或1 B．2或 C．1 D． 【答案】D 【详解】已知成等差数列，有.那么. 因为，所以；又因为，所以得到. 由，移项可得.因为数列是等比数列，根据等比数列的定义，公比.由，可得. 故该等比数列的公比为. 4．函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 5．函数的极小值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由，可得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以的极小值为. 6．已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立，因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减.因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，，所以，即，D错误. 7．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由在上恒成立，当且仅当时等号成立，则， 即，综上可得， 8．已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】A 【详解】，的定义域为， ，是偶函数， 当时，，当时，，， ，，，，， 在上是单调递增函数. 二、多选题 9．（多选）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，. 10．下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 【答案】BCD 【详解】选项A，组成三位数时，数字顺序会影响结果（如 123 和 321 是不同的数），属于排列问题； 选项 B，选 5 人组成篮球队，只需确定人员，无需考虑队员的顺序，属于组合问题； 选项 C，抽样调查只需确定 2 人，无需考虑这 2 人的顺序，属于组合问题； 选项 D，集合中的元素具有无序性，选 2 个数组成集合不考虑顺序，属于组合问题； 11．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 【答案】AD 【详解】，由，解得，由，解得或，所以在和上单调递减，在区间上单调递增，所以，分别为的极小值点和极大值点，则有两个极值点，故A正确； 因为，所以，根据在区间上单调递增，所以，故B错误；，，，结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误；结合图象可知不等式的解集为且，故D正确． 三、填空题 12．现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂色种数为__________． 【答案】108 【详解】因为要求相邻的词语涂色不同， 所以首先给“爱国”涂色，有4种选择；则给“敬业”涂色，有3种选择；给“诚信”涂色，有3种选择；给“友善”涂色，有3种选择；根据分步乘法计数原理，共有(种). 13．若直线是曲线的切线，则_____. 【答案】3 【详解】因为，所以.由， 由，所以切点为.由. 14．已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 【答案】 【详解】因为的前项和为，为增数列，所以数列从第二项开始要为正数，，则范围为. 四、解答题 15．13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． (1)求五张字母牌互不相邻的概率； (2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； (3)对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 【详解】（1）记五张字母牌互不相邻为事件为，则； （2）记在标有8的卡牌左侧没有数字牌为事件， 由于标的牌都在标有的牌的右侧，有种排法，所以； （3）标号比小的数字牌有张，比大的数字牌有张，. 16．已知函数，的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值；(2)当时，求证：. 【详解】（1）因为，，所以，即得在点处的切线方程为，由题意可知：切线方程为，两方程等价，所以，，综上可得：； （2）证明：设，则，令得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增.即，所以. 17．记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. （2）, 所以故 所以， . 18.已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【详解】（1）由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. （2）由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而. . 19．已知函数． (1)求函数在处的切线方程． (2)若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为. （2）由，得，而，则，令， 函数有两个不同的零点，等价于函数的图象与直线有两个交点， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，当时，，又当时，， 则当且仅当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数b的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $