4.3公式法 同步练习（基础提升卷）2025～2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 北师大版八年级数学4.3公式法同步练习（培优卷），以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层设计，覆盖平方差公式与完全平方公式的识别、应用及综合探究，适配新授课教学，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |易|公式直接识别与简单分解|如选择题1-3、填空题11-13，考查公式结构特征，夯实基础概念| |较易/中档|公式逆用与参数求解|如选择题5-9、解答题17-19，涉及k值确定、整体思想，提升推理能力| |较难/难|跨方法综合与规律探究|如解答题20-22，结合配方法、规律归纳，培养创新意识与应用能力|

2025~2026学年数学北师大版八年级4.3公式法同步练习（培优卷）原卷 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•福田区校级同步）·【易】下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C．x2﹣2x+4 D．x2﹣xy+y2 2．（2026春•玄武区校级期中）·【易】因式分解：1﹣4y2＝（　　） A．（1﹣2y）（1+2y） B．（1﹣4y）（1+4y） C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y） 3．（2026•海口模拟）·【易】已知2a﹣b＝2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（　　） A．2 B．0 C．4 D．6 4．（2025秋•渝北区期末）·【较易】因式分解：4x2﹣y2＝（2x+y）•A，则代数式A等于（　　） A．x+y B．x﹣y C．2x+y D．2x﹣y 5．（2025秋•岳阳楼区期末）·【中档】若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 6．（2025秋•宁乡市期末）·【中档】若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 7．（2025秋•莆田期末）·【中档】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+2a+1 D．a2﹣2a+1 8．（2025秋•川汇区校级期末）·【中档】下列多项式，①x2+y2，②﹣x2+y2，③x2﹣y2+2xy，④﹣x2﹣y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025秋•广阳区校级月考）·【中档】下列多项式能用公式法分解因式的有（　　） ①a2﹣2a﹣1；②﹣x2﹣y2；③﹣x2+y2；④；⑤a2﹣4ab+4b2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023秋•耿马县期末）·【较难】若分解因式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式，则m的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．±10 D．±5 二．填空题（共5小题） 11．（2026•黄浦区二模）·【易】因式分解：　 　 ． 12．（2026春•梁溪区校级期中）·【易】分解因式：　 　 ． 13．（2026•呼兰区一模）·【易】多项式2x2﹣12xy+18y2因式分解的结果是　 　 ． 14．（2026•青羊区校级模拟）·【中档】多项式4x2﹣mx+49能用完全平方公式分解因式，则整数m＝　 　 ． 15．（2026春•仪征市期中）·【较难】若一个多项式4x■﹣9y2能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：　 　 ． 三．解答题（共7小题） 16．（2026春•惠山区期中）·【易】因式分解： （1）4xa2﹣xb2； （2）x3﹣4x2+4x． 17．（2025秋•固原校级期末）·【较易】（1）将下列多项式因式分解： ①a2b﹣4a2b2+ab； ②m3﹣4m． （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2． ②因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4． 18．（2025秋•新兴县期末）·【较易】在对“（2m+n）2﹣（m+2n）2”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式＝4m2+4mn+n2﹣（m2+4mn+4n2）第一步 ＝3m2﹣3n2第二步 ＝3（m+n）（m﹣n）．第三步 小明 原式＝（2m+n+m+2n）（2m+n﹣m+2n）第一步 ＝（3m+3n）（m+3n）第二步 ＝3（m+n）（m+3n）．第三步 任务： （1）通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为　 　 （用含a，b的等式表示）；小明的解答从第　 　 步开始出现错误． （2）按照小明的思路，写出正确的解答过程． 19．（2025秋•赵县期末）·【较易】观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　 　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　 　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 20．（2025秋•仪征市校级月考）·【中档】【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 21．（2025春•郏县期末）·【较难】阅读理解 我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法： a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）． 请仿照上面的方法，将下列各式因式分解： （1）x2﹣6x﹣27；（2）a2+3a﹣28；（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n． 22．（2025•资阳中考真题）·【难】设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，…，an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）． （1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年数学北师大版八年级4.3公式法同步练习（培优卷）解析版 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•福田区校级同步）·下列各式可以用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C．x2﹣2x+4 D．x2﹣xy+y2 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，不符合题意； B、，符合完全平方公式法分解因式的式子特点，符合题意； C、x2﹣2x+4不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，不符合题意； D、x2﹣xy+y2不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握因式分解的方法是关键． 2．（2026春•玄武区校级期中）·因式分解：1﹣4y2＝（　　） A．（1﹣2y）（1+2y） B．（1﹣4y）（1+4y） C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y） 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】因式分解；运算能力． 【分析】根据平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式即可． 【解答】解：1﹣4y2＝（1﹣2y）（1+2y）， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 3．（2026•海口模拟）·已知2a﹣b＝2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（　　） A．2 B．0 C．4 D．6 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】因式分解． 【分析】首先将原式变形，进而利用完全平方公式以及平方差公式进行分解因式，进而代入已知求出即可． 【解答】解：∵2a﹣b＝2， ∴4a2﹣b2﹣4b ＝4a2﹣（b+2）2+4 ＝（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+4 ＝（2a+b+2）×（2﹣2）+4 ＝4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． 4．（2025秋•渝北区期末）·因式分解：4x2﹣y2＝（2x+y）•A，则代数式A等于（　　） A．x+y B．x﹣y C．2x+y D．2x﹣y 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】将4x2﹣y2用平方差公式分解得（2x+y）（2x﹣y），由等式性质两边除以（2x+y）即可得出． 【解答】解：将4x2﹣y2用平方差公式分解可得： 4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），4x2﹣y2＝（2x+y）•A， 由等式性质两边除以（2x+y）可得： （2x+y）（2x﹣y）＝（2x+y）•A， ∴A＝2x﹣y． 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式因式分解，正确运用平方差公式将多项式分解是解题的关键． 5．（2025秋•岳阳楼区期末）·若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．﹣4或8 C．﹣6或6 D．0 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】根据完全平方公式的结构特征，将多项式与公式对比，确定中间项的系数，从而求出k的值． 【解答】解：根据完全平方公式的结构特征可知：x2+kx+9＝x2+kx+32， ∵多项式x2+kx+9能用完全平方公式因式分解， ∴k＝±2×1×3＝±6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 6．（2025秋•宁乡市期末）·若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　） A．﹣4或8 B．4 C．﹣8 D．4或﹣8 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】因式分解；运算能力． 【分析】根据题意得x2+（a+2）x+9＝（x±3）2，再计算即可． 【解答】解：根据题意得x2+（a+2）x+9＝（x±3）2， ∵（x±3）2＝x2±6x+9， ∴a+2＝±6， ∴a＝4或a＝﹣8， 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 7．（2025秋•莆田期末）·将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+2a+1 D．a2﹣2a+1 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】对每个选项运用对应的因式分解方法分解，再检查分解结果是否包含a+1这个因式． 【解答】解：根据因式分解定义逐项分析判断如下： A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），结果含有因式a+1，此选项不符合题意； B、a2+a＝a（a+1），结果含有因式a+1，此选项不符合题意； C、a2+2a+1＝（a+1）2，结果含有因式a+1，此选项不符合题意； D、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，结果不含有因式a+1，此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的常用方法（平方差公式、提公因式法、完全平方公式），解题的关键是对各选项分别进行因式分解，判断结果是否含有因式a+1． 8．（2025秋•川汇区校级期末）·下列多项式，①x2+y2，②﹣x2+y2，③x2﹣y2+2xy，④﹣x2﹣y2+2xy能用公式法分解因式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【解答】解：根据公式法分解因式逐项分析判断如下： ①x2+y2为平方和，无公式可分解，不符合题意； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），可用平方差公式，符合题意； ③x2﹣y2+2xy不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解，不符合题意； ④﹣x2﹣y2+2xy＝﹣（x2+y2﹣2xy）＝﹣（x﹣y）2，可用完全平方公式，符合题意； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查公式法分解因式．熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025秋•广阳区校级月考）·下列多项式能用公式法分解因式的有（　　） ①a2﹣2a﹣1；②﹣x2﹣y2；③﹣x2+y2；④；⑤a2﹣4ab+4b2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【解答】解：根据平方差公式、完全平方公式分解因式逐项分析判断如下： ①a2﹣2a﹣1不能用公式法分解因式； ②﹣x2﹣y2不能用公式法分解因式； ③﹣x2+y2＝（y2﹣x2）＝（y+x）（y﹣x）可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤a2﹣4ab+4b2＝a2﹣2×a×2b+（2b）2＝（a﹣2b）2可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 【点评】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 10．（2023秋•耿马县期末）·若分解因式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式，则m的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．±10 D．±5 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：∵多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式， 又∵x2+mx+25＝x2+mx+52， ∴mx＝±2×x×5， 解得m＝±10． 故选：C． 【点评】本题考查因式分解，能运用完全平方公式分解因式是关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2026•黄浦区二模）·因式分解：　　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】利用公式法因式分解即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 12．（2026春•梁溪区校级期中）·分解因式：　（a+1）（a﹣1）　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】因式分解；运算能力． 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（a+1）（a﹣1）， 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13．（2026•呼兰区一模）·多项式2x2﹣12xy+18y2因式分解的结果是　2（x﹣3y）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2． 故答案为：2（x﹣3y）2． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． 14．（2026•青羊区校级模拟）·多项式4x2﹣mx+49能用完全平方公式分解因式，则整数m＝　±28　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；模型思想． 【分析】先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：∵多项式4x2﹣mx+49能用完全平方公式分解因式， 又：4x2﹣mx+49＝（2x）2﹣mx+72， ∴﹣mx＝±2×2x×7， 解得m＝±28． 故答案为：±28． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式法分解因式是解题的关键． 15．（2026春•仪征市期中）·若一个多项式4x■﹣9y2能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：　2或4　 ． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：若多项式4x■﹣9y2能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数， 则“■”表示的数可能是2或4， 4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）； 4x4﹣9y2＝（2x2+3y）（2x2﹣3y）； 故答案为：2或4． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 16．（2026春•惠山区期中）·因式分解： （1）4xa2﹣xb2； （2）x3﹣4x2+4x． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】因式分解；运算能力． 【分析】（1）先提公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）4xa2﹣xb2； ＝x（4a2﹣b2） ＝x（2a+b）（2a﹣b）； （2）x3﹣4x2+4x ＝x（x2﹣4x+4） ＝x（x﹣2）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 17．（2025秋•固原校级期末）·（1）将下列多项式因式分解： ①a2b﹣4a2b2+ab； ②m3﹣4m． （2）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题： ①因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2． ②因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】（1）①提公因式ab即可求解； ②先提公因式m，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①仿照例题解法步骤，令A＝2x﹣3y，然后利用完全平方公式求解即可； ②令A＝a+b，再利用整式乘法整理代数式，再利用完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）①原式＝ab（a﹣4ab+1）； ②原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2）； （2）①令A＝2x﹣3y， ∴1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2 ＝1+2A+A2 ＝（1+A）2 ＝（1+2x﹣3y）2； ②令A＝a+b， ∴（a+b）（a+b﹣4）+4 ＝A（A﹣4）+4 ＝A2﹣4A+4 ＝（A﹣2）2 ＝（a+b﹣2）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 18．（2025秋•新兴县期末）·在对“（2m+n）2﹣（m+2n）2”进行因式分解时，小华和小明产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小华 原式＝4m2+4mn+n2﹣（m2+4mn+4n2）第一步 ＝3m2﹣3n2第二步 ＝3（m+n）（m﹣n）．第三步 小明 原式＝（2m+n+m+2n）（2m+n﹣m+2n）第一步 ＝（3m+3n）（m+3n）第二步 ＝3（m+n）（m+3n）．第三步 任务： （1）通过讨论，他们发现小华的解答正确，小明的解答错误．小华第一步依据的乘法公式为　（a+b）2＝a2+2ab+b2 （用含a，b的等式表示）；小明的解答从第　一　 步开始出现错误． （2）按照小明的思路，写出正确的解答过程． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】（1）根据解答过程可知小华运用了完全平方公式，小明第一步出现了错误； （2）运用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1）由解答过程可知小华运用了完全平方公式，即（a+b）2＝a2+2ab+b2； 小明第一步运用平方差公式时减法未变号． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；一； （2）（2m+n）2﹣（m+2n）2 ＝（2m+n+m+2n）（2m+n﹣m﹣2n） ＝（3m+3n）（m﹣n） ＝3（m+n）（m﹣n）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，掌握因式分解的方法是关键． 19．（2025秋•赵县期末）·观察下列式子的因式分解做法： ①x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）； ②x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）； ③x4﹣1＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解：x5﹣1＝　（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）　 ． （2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）　 ．（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求26+25+24+23+22+2+1的值． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】规律型；因式分解；运算能力． 【分析】（1）模仿例题中的做法求解即可； （2）根据例题中的规律求解即可； （3）运用（2）中的公式求解即可． 【解答】解：（1）模仿以上做法，x5﹣1＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）观察以上结果，可得xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）， 故答案为：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）； （3）根据上述规律，可得27﹣1＝（2﹣1）（26+25+24+23+22+2+1）， ∴26+25+24+23+22+2+1＝27﹣1＝127． 【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解，规律型，找出其中的规律是解题的关键． 20．（2025秋•仪征市校级月考）·【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】（1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为x2+8x+16﹣9，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为（x﹣2）2+（y+3）2+5，即可进行解答． 【解答】解：（1）原式＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）； （2）原式＝x2+8x+16﹣9 ＝（x+4）2﹣32 ＝（x+4+3）（x+4﹣3） ＝（x+7）（x+1）； （3）原式＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+5 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+5， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+5≥5， ∴当x＝2，y＝﹣3时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值，最小值为5． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 21．（2025春•郏县期末）·阅读理解 我们知道：多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解．当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法： a2+6a+8＝（a+3）2﹣1＝（a+2）（a+4）． 请仿照上面的方法，将下列各式因式分解： （1）x2﹣6x﹣27；（2）a2+3a﹣28；（3）x2﹣（2n+1）x+n2+n． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】阅读型． 【分析】根据题目的条件，先将多项式凑成完全平方的形式，再根据实际情况解答． 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27， ＝x2﹣6x+9﹣36， ＝（x﹣3）2﹣62， ＝（x﹣3﹣6）（x﹣3+6）， ＝（x+3）（x﹣9）； （2）a2+3a﹣28， ＝a2+3a+（）2﹣（）2﹣28， ＝（a）2， ＝（a）（a）， ＝（a﹣4）（a+7）； （3）x2﹣（2n+1）x+n2+n， ＝x2﹣（2n+1）x+（n）2﹣（n）2+n2+n， ＝（x﹣n）2﹣（）2， ＝（x﹣n）（x﹣n）， ＝（x﹣n﹣1）（x﹣n）． 【点评】本题考查了公式法分解因式，是信息给予题，主要渗透配方思想，读懂题目信息是解题的关键． 22．（2025•资阳中考真题）·设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，…，an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）． （1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）． 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】规律型． 【分析】（1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2化简，可得结论； （2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律． 【解答】解：（1）∵an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，（3分） 又n为非零的自然数， ∴an是8的倍数．（4分） 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分） 说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1分）． （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．（7分） n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数（8分） 说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）． 【点评】本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $