4 4.3 第2课时 运用完全平方公式因式分解-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第四章因式分解 1 因式分解 知识储备 多项式乘积分解因式 基础练 1.C2.B3.D4.B5.C6.x2+2x+4x+8=(x+4)(x+2) 7.解：（解法一）由题意，得x2-4x十m=(x十a)(x-6),又(x十a)(x-6)=x2+ (a6)x6a.a0解得12之 -6a=m, ∴.2a-m=2×2-（-12)= 16。(解法二)x2-4x十m=(x十a)(x-6),∴.当x=6时，62-4×6十m =(6十a)(6-6)=0,解得m=-12。∴.x2-4x+m=x-4x-12=(x+2) (x-6)。.a=2。.2a-m=2×2-（-12)=16.8.解：255+51=50 +51=510+5×510=510×(1+5)=59×5×6=59×30,.255+511能被30 整除。 2提公因式法 第1课时提单项式因式分解 知识储备 1.公因式2.公因式乘积 基础练 1.B2.B3.C4.(1)a(a-b)(2)ab(a+b)5.(1)解：原式=3x3(y+ 2x);(2)解：原式=-5x(1-y);(3)解：原式=2a(a-2xy十1)。6.D 7.688.429.(1)3y(a2-b+2)(2)-2m3n(5mn+4m+1)10.解：(1) ①6②18③54(2)①2X32025②2X3”3+2-4X3"+1+5X3”=3 (32-4×3+5)=2×3”。 第2课时提多项式因式分解 基础练 1.A2.B3.(1)解：原式=(y-1)(x-4);(2)解：原式=(a-2)2+6(a 2)=(a-2)(a-2+6)=(a-2)(a+4)。4.(1)解：原式=(b+7)(4a-3)。 当a=一5，b=3时，原式=(3+7)×（一20一3）=一230；(2)解：原式 (a-2)2+5(a-2)=(a-2)(a-2+5)=(a-2)(a十3)。当a=3时，原式 =(3-2)×(3+3)=6.5.D6.97.(1)解：原式=2(x+y)(3x-2y); (2)解：原式=(3a+b)(2a-3b+4a)=(3a+b)(6a-3b)=3(3a+b)(2a b)。8.(1)提公因式法(2)(1十x)(3)(1十x)+1 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 知识储备 1.(a+b)(a一b)2.提公因式 基础练 1.A2.D3.(1)(a+1)(a-1)(2)(x+2)(x-2)(3)(x-3y)(x+ 3y)4.(1)解：原式=(m-1十5)(m-1一5)=(m+4)(m-6);(2)解：原 式=(a+b+a+c)(a+b-a-c)=(2a+b+c)(b-c)。5.3(m+2)(m 2)6.(1)①x2(1+x)(1-x)②x2-4(x+2)(x-2)(2)①解：原式 =b(a2-4b)=b(a+2b)(a-2b)；②解：原式=(a-b)(x2-y2)=(a-b) (x+y)(x-y)。7.3a-48.D9.D10.(x2+4)(x+2)(x-2) 11.C12.D13.x2-1(答案不唯一)14.2415.(1)解：原式=ab(a2 16)=ab(a+4)(a-4);(2)解：原式=(x-y+3x)(x-y-3x)=-(4x y)(2x+y);(3)解：原式=(x-y)(x+2)(x-2)。16.解：原式=(198 +202)×(198-202)=400×(-4)=-1600.17.解：(1)a2-b2=(a+ b)(a-b)。(2)由题意，可得a2-b2=12。∴.a2-b2=(a+b)(a-b)=12。 ab=3…a+6=4。③)原式-200 第2课时运用完全平方公式因式分解 知识储备 (a+b)2(a-b)2 21 基础练 1.B2.C3.(1)4(2)±64.(1)①(2x)22xyy2(2x+y)2②@ (a+b)552(a+b-5)2(2)(x-3)25.A6.(1)2(x+1)2(2)2m (x-y)27.(1)解：原式=a(a-3b)2；(2)解：原式=-b(1-2b+b2)=- b(1-b)2;(3)解：原式=(x-y+1)2.8.D9.410.等边11.(1)a +b2(2)412.(1)解：原式=(a-b)(a2-)=(a-b)2(a十b)；(2)解： 原式=(x+2)(x-2)2;(3)解：原式=(x十y-2)2.13.(1)C(2)(x -2)(3)解：设x2+2x=y,则原式=y(y+2)+1=y2十2y+1=(y+1)2 =(x2十2x+1)2=(x十1)4。 微专题四利用十字相乘法因式分解 1.【问题解决】(1)(x十1)(x十4)(2)(x一1)(x一5)(3)(x十8)(x-1) (4)(x-9)(x+3)【拓展训练】(1)(2x+1)(x+1)(2)(x-1)(3x-2) 2.2(x+1)(x-6)3.x(x+3)(x-1) 重点强化专题（一）因式分解的五点关注 1.解：(1)原式=x(x-2y+1);(2)原式=(m一2)(m2-2m+1)=(m-2) (m-1)2.2.解：(1)原式=[2(a+b)]2-12=(2a+2b+1)(2a+2b-1): (2)原式=4(9x2-12xy+4y2)=4[(3x)2-2×3.x·2y+(2y)2]=4(3x 2y)2.3.解：(1)原式=-4m2n(m2+4n2+4mn)=-4mn(m+2n)2； (2)原式=(b-1)2(6a-2)=2(b-1)2(3a一1)。4.解：(1)原式=[(5a十 3b)+(3a+5b)][(5a+3b)-(3a+5b)]=(8a+8b)(2a-2b)=16(a+b)(a -b);(2)原式=(a+1)[(a+1)2-2(a+1)+1]=(a+1)[(a+1)-1]2= a(a+1)。5.解：(1)原式=x2(y-x)=x2(y2+x2)(y2-x2)=x2(y2+ x2)(y十x)(y-x)；(2)原式=(m2)2-2·m2·9+92=(m2-9)2=[(m十 3)(m-3)]2=(m十3)2(m-3)2；(3)原式=(x-y)(x2-9)=(x-y)(x+ 3)(x—3)。 第四章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)C(2)不彻底(x-3)(3)解：设x2一2=y。则原式=y(y-4) +4=y2-4y十4=(y-2)=(x2-2-2)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2。 考点过关 1.D2.D3.B4.D5.C6.B7.368.x(答案不唯一)9.(1)150 (2)3600(3)13210.(1)解：原式=x2(1-x2)=x2(1十x)(1-x); (2)解：原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2;(3)解：原式=[3(x+y)] 6(x+y)+1=(3.x+3y-1)2;(4)解：原式=992+2×99×1+1=(99+ 1)2=1002=10000.11.解：(1)(x2y-xy2)-(x-y)=28xy(x-y) (x-y)=28(x-y)(xy-1)=28。.xy=15,.14(x-y)=28。.x-y =2。(2)x2+y2=(x-y)2+2xy=22+2×15=34;(x+y)2=x2+2xy+y =34+2×15=64,.x+y=士8.12.解：(1)n+6n十4(2)①S1=(n +2)(n+6)=n2+8n+12,S2=(n+8)(n+4)=n2十12n+32。②S2+4=n +12m十32+4=n2+12n+36,,n2+12n+36=n2+12n+62=(n+6)2,. S2+4可以化为一个完全平方式。13.解：(1)132-102=(13+10)(13- 10)=69.69÷3=23,.能被3整除。(2)(2n+3)2-(2n)2=(2n+3十 2n)(2n十3-2n)=3(4n十3)，∴.能被3整除。(3)设这个数为n,比n大9 的数为n十9。(n十9)2一n=(n十9十n)(n+9一n)=9(2n十9)，∴.能被9整除。 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式及其相关概念 基础练 2x+1_2×1+1_ 1.C2.A3.24.-0.55.解：当x=1时，x-3=1-3 3 x=2时，2+}22+1=5；当x=-1时，2+-2X1)士1=号 x2-322-3 x2-3(-1)2-3-2 6.B7,600是8.C9.Dx<5(2)任意实数10.81L.二 x2-36 (答案不唯一) 22第2课时 运用完 十”+十+十十十 知识储备 a2+2ab+b2= a2-2ab+b2= 01基础练 心增必备知识梳理一 知识点一 直接运用完全平方公式因式分解 1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的 是 () A.x2+x+1 B.x2-2x+1 C.x2-x-1 D.x2+2x-1 2.把下列多项式因式分解，结果正确的是() A.a2-2a-1=(a-1)2 B.4a2-2a+1=(2a-1)2 C.4a2+4a+1=(2a+1)2 D.a2-b2=(a-b)2 3.填空： (1)若x2一4x+a能用完全平方公式因式分 解，则数a= ； (2)【T3(1)变式】若x2+bx+9能用完全平方 公式因式分解，则数b= 4.（1)(答题模板)完成下列因式分解的过程： ①4x2+4xy+y2; 解：原式= 十2· ②(a+b)2-10(a+b)+25: 解：原式=(a+b)2-2· (2)(2025·甘肃)因式分解：x2-6x十9= 知识点二先提公因式后运用完全平方公式因 式分解 5.多项式2x3一4x2十2x因式分解为 A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)2 C.x(2x-1)2 D.x(2x+1)2 67 入年级数学下册·BS 全平方公式因式分解 6.因式分解： (1)(2025·兰州)2x2+4x十2= (2)(2025·绥化)2m.x2-4m.xy+2my2= 7.【教材P119例3变式】把下列各式因式分解： (1)a3+9ab2-6a2b; (2)-b+2b2-b3; (3)(x-y)2+2(x-y)+1。 易错点○ 因考虑问题不全面而导致漏解 8.若a2+(m-3)a十4能用完全平方公式因式 分解，则常数m的值为 () A.1或5 B.1 C.-1 D.7或-1 【点拨】熟练掌握完全平方公式的结构特，点，第一项是 a,第三项是2，中间第二项应加上或减去2a的2倍。 02综合练 膏关键能力提升一 9.若a-2b=一2，则a2-4ab+4的值是 10.【易错】已知a,b,c是△ABC的三边长，且满 足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,则△ABC 是 三角形。 11.【数形结合思想】现有甲、乙、丙三种不同的 长方形纸片（边长如图）。 甲 丙 (1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为 (2)乐乐要用这三种纸片紧密拼接成一个大 正方形，先取甲纸片1块再取乙纸片4 块，还需取丙纸片 块。 12.把下列各式因式分解： (1)a2(a-b)+b2(b-a); (2)(x2+4)2-16x2; (3)(x+y)2-4(x十y-1)。 03素养练 学科素养培育 13.【新中考·解题方法型阅读理解题】 在因式分解中，把多项式中某些部分看 作一个整体，用一个新的字母代替（即换 元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构， 而且能使式子的特点更加明显，便于观察如 何进行因式分解，我们把这种因式分解的方 法称为“换元法”。下面是小涵同学用换元 微专题四 利用十 1.【阅读理解】由多项式乘法：(x十p)(x十q)= x2十（p十q)x十pq,将该式从右到左使用，即 可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： + x2十(p十q)x十pq=(x十p)(x十q),示例： 因式分解：x2+5x十6=x2十(2十3)x+2× 3=(x+2)(x+3)。 【问题解决】因式分解： (1)x2+5.x+4= (2)x2-6x+5= 法对多项式(x2一4x+1)(x2一4x+7)+9 进行因式分解的过程。 解：设x2一4x=y,则 原式=(y十1)(y十7)十9…第一步 =y2十8y十16…第二步 =（y十4)2…第三步 =(x2一4x十4)2。…第四步 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运 用了因式分解的 A.提公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻 底，请你写出该因式分解的最后结果： (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+ 2x十2)十1进行因式分解。 字相乘法因式分解 (3)x2+7x-8 (4)x2-6.x-27= 【拓展训练】因式分解： (1)2x2+3x+1= (2)3.x2-5x+2= 2.因式分解：2x2-10x-12= 3.把多项式x3十2x2一3x因式分解，结果为 助学助教优质高数68