4.3 公式法(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

参考答案与提示 (2n+1)。n为整数，.2n+1也是整数。.9(2n+1)一定 15.(1)证明：3m+n=b 是9的倍数。.两个连续的3的倍数的平方差一定是 ,mn=名，a是实数， 9的倍数。 .b=a(3m+n),c=amn,b2-12ac=[a(3m+n)P-12amn= 13.(1)解：2028=5082-506。(2)证明：设 d(9m2+6mn+n2)-12amn=d2(9m2-6n+m2)=a2(3m-n)2。 两个连续的偶数为2n,2(n+1),n为正整数，则完美 a,m,n是实数，a2(3m-n)2≥0。.b2-12ac为非负 数为[2(n+1)]2-(2n)2,.[2(n+1)]2-(2n)2=[2(n+1)- 数。(2)解：m,n不可能都为整数。理由：若m, 2n][2(n+1)+2n]=4(2n+1)。2n+1为奇数，.4(2n+1) n都为整数，可能有两种情况：m,n都为奇数；m,n 能被4整除。.任意一个完美数都能够被4整除。 为整数，且其中至少有一个为偶数。①当m,n都为 (3)解：根据题意，得阴影部分的面积为42-22+82-6+ 奇数时，则3m+n必为偶数。由(1)知b=a(3m+n), …+282-26=(4-2)×(4+2)+(8-6)×(8+6)+…+(28-26)× a为奇数，.a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾。 (28+26)=2×(4+2)+2×(8+6)+…+2×(28+26)=2×(2+4+6+ ②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 8++26+28)=2x14x(2+28】=-420。 mn必为偶数。由(I)知c=amn,又，a为奇数， 2 :ammn必为偶数，这与c为奇数矛盾。综上所述，m, 14解：(1)13292-8x11,172-32-8x35。 (2)规 n不可能都为整数。 律：任意两个奇数的平方差是8的倍数。证明：设m, 第五章分式与分式方程 n为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1,则(2m+ 1分式及其基本性质（第1课时） 1)2-(2n+1)2=[(2m+1)+(2n+1)][(2m+1)-(2+1)]=4(m- n)(m+n+1)。当m,n同是奇数或偶数时，(m-n)一定 1-312号n品4 m-x 为偶数，所以4(m-n)一定是8的倍数；当m,n为一 5.B6.D7.C8.(1)x≠4(2)x≠±5 奇一偶时，(m++1)一定为偶数，所以4(m++1)一定 9.x≠1且x≠-4.10.m≤3且m≠0。 是8的倍数。所以任意两个奇数的平方差是8的倍数。 11.解：m>1。x2-2x+m=(x-1)2+m-1,若x无论 15.解：(1)9x3-2=x(9x2-y2)=x(3x-y)(3x+y）。 取什么值时，(x-1)P+m-1≠0，必须m-1>0,m>1。 当x=10,y=10时，3x-y=3×10-10=20,3x+y=3×10+ 12.解：(1)当+=0时，分式-b无意义。 10=40,.六位数密码可以是102040或104020或 x+a 201040或204010或401020或402010。(2)x= x=-2,-2+=0。a=2。当x-b=0时，分式-b的值 25,这个六位数密码为242527，.24=25-1,27=25+2， x+a 将多项式x3+px2+qx因式分解后，得到的因式分别 为0，又当x=1时，此分式的值为0,1-b=0。b= 为(x-1),x,(x+2),x3+px2+qx=x(x-1)(x+2)。 1。.a的值为2，b的值为1。(2)当a=2,b=1时， x(x-1)(x+2)=x3+x2-2x,p=1,9=-2。 分式2a=4 16.解：(1)原式=d2-4+4-6a+8=(-4)-6a+12= 品者。“分式年的值为正禁数，x+1日 (a-2)(a+2)-6(a-2)=(a-2)(a-4)。(2)由条件可得 或x+1=2或x+1=4。∴x=0或x=1或x=3。.整数x的 (a2-b2)c2=(2-b2)(+b2),.(2-b2)(a2+b2-c2)=0。.d2- 值为0或1或3。 b2=0或d+b2-c2-0。.a=b或d+b2=c2。△ABC是等腰 13.解：由题意，知提速前列车跑完全程所用的时 三角形或直角三角形。 间为101，提速后跑完全程所用的时间为测山。 17.(m+4)(m-4)18.7(m+2)(m-2)19.(x+ 3)(x-3) 提速后列车跑完全程节省了1500-1500 。t450h。 3公式法（第2课时） 14.1(答案不唯一)15.0（答案不唯一）16.A 1.x(x-3)22.(y+1)0-1)(x+1)23.1804.a+3b 1分式及其基本性质（第2课时）】 5.B6.D7.C 1.×或÷（答案不唯一）2. ,3.3x+1 &④4a-1y2)e-2y3)2+g ,12 4.1 1 6.D7.C8.D 4)-7b-2y x-Y 9.(1)-3c 9.(1)(x+2y)3(x-2y)(2)(a-b)4(3)(a+b)A 2d 2熟品 (4)解：原式=[(x2+3x)-2][(x2+3x)+4]+9=(x2+3x+1)）2。 (3)解：原式=(2y+x)(2y-x)=2y+x 10.(1)121(2)90000 (x-2y)2 2y-x1 11.解：小强猜想的结论是正确的。n(n+1)(n+ 10w品6子②2驶，昌 2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n2+3m)(n2+3n+2)+ 11.解：由题意，知加人mg糖之前糖水的含糖率 1=(n2+3n+1)2,且n是任意正整数。.(n2+3n+1)一定 也是一个正整数。.任意四个连续的正整数的积与1 为 -。:加入mg糖之后，糖水的质量为(a+m)g, 的和一定是一个完全平方数。 12.2(-3y)213.±1214.D 其中含糖为(b+m)g,∴此时含糖率为+m。由分式 a+m 8口数学 八年级下册（北师大版） 公式法（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题因式分解：x(x2-4x)2+8x(x2-4x)+16x。 【分析】先提出公因式x,剩余的式子(x2-4x)2+8(x2-4x)+16中将x2-4x看成一个整体， 16=42,8=2×4,则符合完全平方公式的特征，x2-4x和4可以分别看成公式中的“a”和“b”, 再利用完全平方公式因式分解即可。 【解答】x(x2-4x)2+8x(x2-4x)+16x=x[(x2-4x)2+2×4(x2-4x)+42]=x(x2-4x+4)2=x[(x-2)2]2= x(x-2)4。 【点拨】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解。对一个多项式因式分解，首 先要考虑提公因式，然后再看能否利用公式法因式分解。能否用公式法因式分解要根据多项 式的特征决定，正确找到公式中的“α”和“b”；分解后的各个因式，能分解的还要继续分 解，能合并同类项的要进行合并。 基础巩固飞达标闯关 1.因式分解：x3-6x+9x= 2.因式分解x2(y2-1)+2x(2-1)+(2-1)的结果是 3.若xy=5,-b=6,则xya2-2abxy+xyb2的值是 4.有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为α，b的长方形卡片6张， 边长为b的正方形卡片9张。用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 5.下列各式是完全平方式的是() A.x2-2xy+4y2 B.x2+8xy+16y2 C.m2+mn+n2 D.a2+2ab+462 6.若x2+kx+4是完全平方式，则k的值为() A.2 B.4 C.±2 D.±4 7.如果M=x2-2xy+y2+1,那么M的值为() A.M≥0 B.M≤0 C.M≥1 D.M≥-1 8.将下列各多项式因式分解。 (1）8a-4a2-4。 (2)(x+y)2-4(x+y-1)。 *9r2。 (④）-号M+2b-2d。 2 因式分解 第四章 能力提升螂综合拓展 9.将下列多项式因式分解。 (1)(x2+2xy)2-(2y+4y2)2。 (2)42b2-4ab(a2+b2)+(d2+b2)2。 (3)2(a2+b2)(a+b)2-(a2-b2)2。 (4)(x2+3x-2)(x2+3x+4)+9。 10.利用因式分解计算下列各题。 (1)8002-1600x789+7892。 (2)202+202×196+982。 *11.小强在学习中发现：1×2x3×4+1=25=52;2x3×4×5+1=121=112;…于是小强猜想得出 了“任意四个连续的正整数的积与1的和一定是完全平方数”的结论。小强的这个结论是否 正确？如果正确，请你证明这个结论；如果不正确，请说明理由。 中考链接©真题演练 12.(2025·烟台)因式分解：2x2-12xy+18y2= 13.(2024·淄博)若多项式4x-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是。 14.(2024广西)如果a+b=3,ab=1,那么b+2db2+ab3的值为（) A.0 B.1 C.4 D.9 15.(2024-福建)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=b,mm=c。 a a (1)求证：b2-12ac为非负数。 (2)若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数？请说明你的理由。 93