广东阳江市第三中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷，覆盖数列、导数、排列组合等核心知识，解答题注重综合应用，如导数切线与垂直结合、数列证明与求和，体现数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线焦点、等差数列前n项和|基础巩固，考查概念理解| |多选题|3/18|等比数列性质、函数极值点|能力区分，需综合分析| |填空题|3/15|直线与曲线交点、等差数列中位数|情境简洁，聚焦计算| |解答题|5/77|导数切线与垂直、排列组合限制条件、数列证明与求和、导数单调性证明不等式|层次递进，19题结合单调性证明不等式，体现逻辑推理与数学思维|

1 2 A A 9 BD 单选题 3 4 5 C C B 多选题 10 BC 1 6 7 8 B D C 11 ABD 保密 ★ 启用前 阳江三中2025--2026学年度第二学期期中考试 高二 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2026年4月28日 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。) 1．抛物线的焦点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．记为等差数列的前n项和，若，，则（     ） A．11 B．9 C．8 D．5 3．已知是等比数列的前n项和，若，，则（     ） A．127 B．63 C． D． 4．等差数列的前n项和为，满足，则（     ） A． B． C． D．均为的最大值 5．在曲线上的点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 6．5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（     ） A．24 B．48 C．72 D．96 7．在等比数列中，，是函数的极值点，则（     ） A． B．3 C． D． 8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（     ） A． B．3 C． D．4 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．已知等比数列的公比为，前n项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（     ） A．有两个极值点 B．有一个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 11．若函数与函数的图象关于y轴对称，则（     ） A．与有相同的零点 B．为偶函数 C．与有相同的极值点 D．对任意的，都有 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若直线与曲线有且仅有一个公共点，则__________. 13．将10个数从小到大排列，若这列数成等差数列，且所有奇数项的和为30，所有偶数项的和为40，则这列数的中位数等于__________. 14．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。） 15．(13分)已知，在处的切线与垂直， (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 16．(15分)从等人中选出人排成一排. (1)三人不全在内，有多少种排法？ (2)都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答） 17．(15分)设为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求. 18．(17分)已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 19．(17分)设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $阳江三中2025-2026学年度第二学期高二数学期中考试试题解析 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。） 1.抛物线y=的焦点坐标是() 4 A.（0,1 B.(0,2 C D.go 】A【详解】抛物线方程为y三，标准形式：4y,可得2D=4,解得p=2,焦点坐标 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2=2,S,=35,则a=() A.11 B.9 C.8 D.5 【答案】A【详解】等差数列a,中，由3，=35，得a+a)=35,即7a,=35,解得a,=5, 2 4-2=7,所以4=4+8-2d=1n 而4=2，则公差d=0:-=3 3.已知Sn是等比数列an}的前n项和，若a-2a4=0,a=1,则S,=() A.127 B.63 C.127 63 D. 64 32 【答案】c【详解】设等比数列a的公比为，则4，-2a,=ag2-2ag=g0-2g)=0,所以g=号(g=0舍去)， 所以S,= 127 64 2 4.等差数列an}的前n项和为Sn,满足S<S,S。>S,则() A.a+ao=0 B.ao<0 C.S>0 D.Sg,S1o均为Sn的最大值 【答案】C【详解】由题意4，=S,-3,>0,a,=S,-S。<0,所以5，-17a+a-17×2a=17a,>0.散C正确. 2 2 无法判断ao的正负，故A、B、D错误 5.在曲线f(x=ln2x-1)+1上的点(1，)处的切线方程为() A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 B【详解】x=。2,=X名2，所以过点40的切线方程为：J-12北 2x-y-1=0 6.5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为() A.24 B.48 C.72 D.96 试卷第1页，共3页 【答案】B【详解】将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为4！. 由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为：4×2=24×2=48。 7.在等比数列a,}中，4，a,是函数f(x)=x+4r2+9x-1的极值点，则4，=() 3 A.-4 B.3 C.±3 D.-3 【答案】D【详解】由)-=式+4r+9x-1,则了()=+8x+9,因为在等比数列a,中，，4是函数)的 极值点，所以a+a,=-8,a3a,=9,故a=9,且a3<0,a1<0,故a,=ag2<0,故a5=-3. 8.若直线y=x+b是曲线y=ln2x+I)的切线，也是曲线y=ln(4x+1)的切线，则k=() A.2In2 B.3 C.4In2 D.4 【答案】C【详解】设直线y=c+b与曲线y=ln(2x+I)、曲线y=ln(4x+1)分别相切于点P(x,y),，Q(x2,2), 2x+146,+,所以4x+1=4x+2 股图E2x+,则子g4x+,g四吸2 ，即-=号因为-方=(4，+小-加2+1=a4+2引-2+=数-h2,故 2x,+1 k==In2=4In2 龙2-x 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.已知等比数列{an}的公比为9，前n项和为Sn,若a,+a;=5,a4+a6=135,则() A.a=4 1 B.9=3 C.an=2×3- 4 D.3=4- 1 【答案】BD【详解】依题， a70+9)=135·解得8，放A错误，B正痛： a,(1+q2)=5 (9=3 则a=g-,及-ag:0-9-0r-.故c错误，D正降 1-q 10.已知函数f(x)=x3+x+1,则() A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有一个零点 C.点(O,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 【答案】BC【详解】选项A:'(x)=3x2+1,则∫'(x)>0恒成立，故f(x)单调递增，故∫(x)不存在两个极值点，故选 项A错误选项B:f(-)=-1<0,f)=3>0,又∫(x)单调递增，故f(x)有一个零点，故选项B正确， 选项C:f(-x)+f(x)=2,f(O)=1,故点(O,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故选项C正确， 选项D:令x+x+1=2x,即x-x+1=0,令gx)=x-x+1,g(x=3x2-1,则令f"x)=3x2+1=2,则x=士5，当 31 9停-则当戏斜车为2切点为马，则方程为： 43.,） 3’9 9+1=2(x-3),与y=2x不相等 试卷第1页，共3页 当x=-5时同样切线方程不为y=2x,故选项D错误 3 11.若函数y=g(x)与函数f(x)=xe的图象关于y轴对称，则() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)+g(x)为偶函数 C.∫(x)与g(x)有相同的极值点 D.对任意的x∈R,都有f(x)+g(x)≥0 【答案】ABD【详解】由函数y=g()与函数f(x)=xe的图象关于y轴对称，得g(x)=f(-x)=-xe, 对于A,由f(x)=0,得x=0,由g(x)=0,得x=0,则f(x)与g(x)有相同的零点，A正确； 对于B,f(x)+g(x)=xe-xe,则f(-x)+g(-x)=-xe+xe=f(x)+g(x), f(x)+g(x)为偶函数，B正确；对于C,由f(x)=xe,求导得f'(x)=(x+1)e,当x<-1时，f'(x)<0,当x>-1, f'(x)>0,函数f(x)有唯一极值点-1，由g(x)=-xe,求导得g'(x)=(x-1)e,当x<1时，g'()<0, 当x>1,g'(x)>0,函数g(x)有唯一极值点1，C错误；对于D,令f(x)+g(x)=x(e-e),函数y=e,y=-e都是 R上的增函数，则y=e-e是R上的增函数，当x≥0时，e-ex≥0，则f(x)+g(x)≥0， 由f(x)+gx)为偶函数，得当x≤0时，f(x)+g(x)≥0，因此xeR,都有f(x)+g(x)≥0，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.若直线y=2x与曲线y2=x+a有且仅有一个公共点，则a= 【答案】6【详解1联立方程组。可得4r--a=0,因为当线y=2x与曲线y=+a有且仅有一个 y2=x+a' 公共点，所以△=（←-1）2-4×4x(a)=0,解得a=- 16 13.将10个数从小到大排列，若这列数成等差数列，且所有奇数项的和为30，所有偶数项的和为40，则这列数的中 位数等于 【答案】7【详解】S。-10aa。-=5a,+a6)=30+40=70,所以4，+4，=14，所以这列数的中位数等于 2 a5+6=7 2 4.若函数了心=rt名有两个极值，则实数a的取值范用明 【答案】B5,+回)【详解】：函数八时=r+号阳定义规为e,f动-2-产-+2。 x3 :函数f(x)=nx+-在(0，+o)有两个极值，了=-ar+2=0在(0，+o有两个不相等的实数根， xx x3 即r-ax+2-0在(0，+)有两个不相等的实数很，令8=-a+2,对称为x-分要使-a+2=0在0+m) △=a2-8>0 有两个不相等的实数根，则需满足 0 ,解得a>2√2，综上，实数a的取值范围为2V2,+o 8(0)=2>0 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。） 试卷第1页，共3页 15.13分)已知fx=x-lnr+a,fx在x=1处的切线与x-2y=0垂直， (1)求实数a的值；(2)求fx)在区间1，©上的值域. 【详解】(1)由f(x)=x-lnx+“求导得f(x)=1-1-0 xx2’ 2分 则f(x在x=1处的切线的斜率为-a, 3分 因切线与x-2y=0套直，改-a×分-1，解得a=2 5分： (2)由(1)可得f=1-12=产--2-c+1x-2) .6分； x x2 x2 因xe[1,e,则当1<x<2时，f'(x)<0,当2<x<e时，f'(x)>0,故函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2，e)上单调递 增， 8分，又f0=3f2=3-ln2,f0e)=c-1+2, 10分： e>0,即fl)>f(e), 12分： e e 故f(x在区间[1，上的值域为[3-n2,3] 13分 16.(15分)从A,B,C等7人中选出5人排成一排 (1)A,B,C三人不全在内，有多少种排法？ (2)A,B,C都在内，且A,B必须相邻，C与A,B都不相邻，都多少种排法？ (3)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答） 【详解】(1)从7人中任选5人排列共有A种不同排法， 2分 A,B,C三人全在内有CA种不同排法， 4分 由间接法可得A,B,C三人不全在内共有A)-CA;=1800种不同排法： 5分 (2)因A,B,C都在内，所以只需从余下4人中选2人有C种不同结果，A,B必须相邻，有A种不同排法， 7分，由于C与A,B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有 A种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有A种不同排法，9 分 由乘法原理可得共有CAAA?=144种不同排法； 10分： (3)分四类：第一类：所选的5人无A、B,共有A=120种排法； 11分； 第二类：所选的5人有A、无B,共有CC,A=360种排法； 12分； 第三类：所选的5人无A、有B,共有CC4A=480种排法； 13分 第四类：所选的5人有A、B,若A排中间时，有CA=240种排法， 14分： 试卷第1页，共3页 若A不排中间时，有CC,CA;=360种排法，共有C(A+C,CA)=600种排法： 综上，共有1560种不同排法 15分 17.(15分)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a,=9,S,=25 (1)求数列{an}的通项公式； ②记山，=，，工为数列，}的前项和，求T andntl 【详解】(1)等差数列{an}中，a,=9,S=25, a1+4d=9 54+5g4=25 3分，解得4=1，d=2,5分 ∴.an=a1+(n-l)d=2n-1neN） .7分 2),=2,6-2n-2n*2a-12m*1 1 _1(1-1 11分： aa .15分 8Q7分已知数列a，a,2a=a,+ (I)求证：数列(an-1为等比数列，并求数列{an}的通项公式： (2)求数列nan}的前n项和Sn。 【详解】(1)2an1=an+1,.an+1-1=。(an-1 2分 且a-1=。 3分：因此，{口-是以；为首项，2为公比的等比 数列 5分1-月a=1+ 7分： a由a做得8分5-042+2付t份 10分 令-周+=1+2日++a-8* 两式相减得： )m) 13分； 国 ”=2-"+2.15分所以，S=m+D+2-n+2 2 2 2” 17分 19.(17分)设函数f(x)=e2-2ax. (1)讨论∫(x)的单调性； (2)i证明：当a>0时，f)≥na-g+3 22 试卷第1页，共3页 【详解】(1)函数f(x=e2-2ax的导数为f"(x)=2e2r-2a=2e2r-a, 1分 当a≤0时，e2r-a>0恒成立，故∫'(x)>0,所以∫(x)在R上单调递增；…3分； 0>0时，令)=0，得xna.4分，当r<ha时，f')<0,∫)单调递减 5分； 当x>na时，()>0，fx)单调递增 .6分； 综上所述：当a≤0时，)在R上单调递增：当a>0时，fe)在，na 单调递减 在na,tn 单调递 增 7分 (2)由(1)知，当a>0时，f(x)在x= 血a处取得最小值， 8分 f(号lna）=e-alna=a-alna因此，对任意xeR,有f)≥a-alna 。。。。。 10分； 只需证明aana2na-号+兰，欧 2+a-(a+)na-3≥ 3è0 11分； 令ga)=a )+a-(a+lna-3a>0求导得ga=a+1-1na-=a-na- ，12分： g”（a=1-1+1-a2-a+1之0，故g(a0）在(0，+0）)上单谓递增…14分月 由g')=1-n1-1=0知，当0<a<1时，g(a)<0,当a>1时，g'(a>0, 所以g(a)在(0,1）单调递减，在(L,十o∞)单调递增.… 15分 以@)在a1处取得最小值g0+1-0-子=0 Γ2 16分 因此eo0,耳2a-号+度立，等号当：=1且x-宁动1=0时取得 17分 试卷第1页，共3页