期末复习讲义01 平面向量及其应用10大考点【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期末复习讲义01 平面向量及其应用 【考点一】平面向量的概念 【考点六】平面向量加、减运算的坐标表示 【考点二】向量的加、减法运算 【考点七】平面向量数乘运算的坐标表示 【考点三】向量的数乘运算 【考点八】平面向量数量积的坐标表示 【考点四】向量的数量积 【考点九】平面几何中的向量与向量在物理中的应用举例 【考点五】平面向量基本定理 【考点十】余弦定理、正弦定理 一、平面向量的概念 1. 向量与数量的区别 向量：既有大小又有方向的量（如位移、速度、力）。 数量：只有大小、无方向的量（如温度、质量、功）。 2. 核心概念辨析（必考选填） 零向量：长度为0，方向任意；记作，与任意向量平行。 单位向量：长度为1的向量； 的单位向量为 （）。 平行向量（共线向量）：方向相同/相反的非零向量； 与任意向量共线。 相等向量：长度相等且方向相同（与起点无关）。 相反向量：长度相等、方向相反； 的相反向量为 ， 的相反向量仍是 。 易错警示 向量不能比较大小，但向量的模（）可以比较大小。 有向线段≠向量，仅是向量的几何表示工具。 二、平面向量的线性运算 1. 加法运算 三角形法则：首尾相接，。 平行四边形法则：共起点，以为邻边作平行四边形，对角线为和向量。 运算律： 交换律：； 结合律：。 2. 减法运算 法则：共起点，，差向量指向被减向量。 几何意义：。 3. 数乘运算 定义：（），长度 。 ： 与 同向； ： 与 反向； ：。 运算律： ； ； 。 4. 共线向量定理（核心考点） 向量与非零向量共线 存在唯一实数，使 。 三点共线推论：若共线，则 且 （为任意点）。 三、平面向量基本定理及坐标表示 1. 平面向量基本定理 若是不共线向量（基底），则平面内任一向量唯一表示为 。 基底不唯一，但需满足不共线；常选作为正交基底。 2. 坐标运算（高频必考） 设： 加减：； 数乘：； 数量积：； 模长：； 夹角公式：（为夹角）。 3. 平行与垂直的坐标条件 平行：；垂直：。 四、平面向量的数量积 1. 定义与几何意义 定义：（为夹角，）。 投影：在上的投影为 ； 投影向量为 。 2. 运算律与常用公式 运算律：交换律；分配律；无结合律、消去律。 常用公式： ； ； 。 3. 夹角与模长的范围（难点） 夹角： 为锐角 且不共线； 为钝角 且不共线。 模长最值：利用转化为函数最值问题。 五、平面向量的应用 1. 几何应用（高频解答题） 证明平行/垂直：转化为向量共线/数量积为0； 求长度/距离：利用模长公式； 求夹角：利用数量积夹角公式； 三角形“四心”向量表示： 重心：； 垂心：（）； 内心：（为三角形三边）； 外心：。 2. 解三角形（必考大题） （1）正弦定理 内容：（为外接圆半径）； 应用：①已知两角一边；②已知两边及其中一边对角；③边角互化。 （2）余弦定理 内容：；；； 推论：（求角）； 应用：①已知三边；②已知两边及其夹角；③判断三角形形状。 （3）面积公式 。 （4）实际应用 测量距离、高度、角度（仰角、俯角、方位角），步骤：建模→解三角形→还原实际问题。 3. 物理应用 力、速度的合成与分解：转化为向量加减/数乘运算 【考点一】平面向量的概念 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知向量.若三点共线，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用三点共线的概念进行求解. 【详解】若，，三点共线，则向量与共线， 因为，， 由共线条件可得：， 化简可得：，求解得：. 故选：A. 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 4．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义即可逐一判断各选项. 【详解】因等价于长度相等，方向相同. 对于A，由不能确定方向是否相同，故A错误； 对于B，与的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误； 对于C，当，且时，若的方向相反，则不成立，故C错误； 对于D，当且时，长度相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可. 【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 6．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 【考点二】向量的加、减法运算 7．（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法直接得到答案. 【详解】. 故选：C. 8．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 10．（24-25高一下·安徽淮北·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用平面向量加减运算求解即可． 【解答】 ． 11.（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）______． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 12．（24-25高一下·西藏山南·期末）若满足，则的最大值为______．最小值为______． 【答案】 5 1 【分析】由向量不等式及取等条件可得. 【详解】由向量加减法的几何意义可知， 由，得， 当方向相同时，， 当方向相反时，， 即的最大值为．最小值为. 故答案为：；. 【考点三】向量的数乘运算 13.（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（   ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算得，即得到线段长度的倍数关系． 【详解】因为，且E为中点， 所以， 则长度是的4倍. 故选：B. 14．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 15．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 16．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】在正方形中，，即， 则. 故选：A.    17.（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则__________． 【答案】 【分析】根据向量运算得，进而得，再根据向量模的关系求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 所以 故答案为： 18．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的______心． 【答案】重 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则， 取的中点为，如下图：    可得，所以动点必定在的中线所在直线上， 即点的轨迹一定通过的重心. 故答案为：重. 【考点四】向量的数量积 19.（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 20．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以. 21.（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 【答案】 【分析】利用向量三角形法则表示出向量，然后利用数量积求解即可. 【详解】由题意如图所示： 由，， 因为，所以， 所以 ， 故答案为：. 22．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积公式得出，再把模长转化为数量积计算求值. 【详解】因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 故答案为：. 23.（25-26高一上·安徽·期末）已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量数量积运算，结合已知条件，直接计算即可； （2）由（1）中所求数量积，结合数量积运算律，求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，解得，又，所以. （2）由（1）得，，故可得：， 则. 24．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，，用、作为基底表示出，，由得到即可求出； （2）由（1）可得，换元、利用基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）因为，，，、为线段、上的点，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 即， 即， 即， 所以， 当时，，解得； （2）由（1）可得， 因为，， 所以，即，所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【考点五】平面向量基本定理 25.（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 26．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 27.（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】/0.125 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 28．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 29.（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析 【分析】（1）由向量基本定理可得，； （2）由向量基本定理可得，故，，而有公共点，所以三点共线. 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 30．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，以及向量的线性运算，用基底表示向量，求出参数值； （2）根据向量模长与向量数量积的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）设，因为，所以， 可知， 当时，解得，即，所以. （2）由得， 在中，，所以， 所以， 可知，当且仅当时，即时取等号， 可得，即，所以的最小值为. 【考点六】平面向量加、减运算的坐标表示 31.（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解． 【详解】依题意，则． 故选：D． 32．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量减法的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 故选：C 33．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【详解】由，，，得， 所以. 故选：B 34．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干中的定义即可求得结果. 【详解】因为B绕点A沿顺时针方向旋转即B绕点A沿逆时针方向旋转， 因为点，，所以， 根据题干定义， 得点P的坐标为， 故选：D 35.（25-26高一上·湖南衡阳·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________． 【答案】4 【分析】结合图象建立直角坐标系，得出向量，，坐标，利用向量关系列方程组求出，进而求解． 【详解】设图中方格单位为1，建立下图所示直角坐标系， 则，， ， ， ，解得， ． 故答案为：4． 36．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】由向量共线的坐标运算求解. 【详解】点在线段的延长线上，与方向相反， 由，则有， 设，则，即， 解得，故点的坐标为. 故答案为： 【考点七】平面向量数乘运算的坐标表示 37.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 38．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量平行的坐标表示可得，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】已知，，若， 则，解得或， 因为“”不一定能得出“”，但“”一定能得出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 39.（25-26高一上·山西忻州·期末）设向量，若，则实数___________． 【答案】 【分析】根据“若，则”，解出的值； 【详解】，， 则实数， 解得， 故答案为：. 40．（24-25高一下·河北承德·期末）已知向量，，，若，则_______． 【答案】/ 【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】由, 因为，，所以, 故答案为： 41.（24-25高一下·湖南·期末）已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中 (1)若 且， 求的坐标; (2)若 且与 的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，由，可得，解方程求得值． （2）求出，由与的夹角为锐角可得，解得的范围，而当与共线且方向相同时，求出对应的的值，从而得到的取值范围． 【详解】（1），， 故可设，由，可得， 解得， 或． （2），， ， 与的夹角为锐角， ， ，． 而当与共线且方向相同时，，， 解得， 故的取值范围为． 42．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． (1)若，求向量的坐标； (2)求面积的最大值； (3)若，求角θ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得的坐标，然后利用向量的坐标运算求得. （2）先求得，也即求得的纵坐标，然后求得三角形面积的表达式，再根据三角函数的最值来求得面积的最大值. （3）先求得的坐标，然后根据O，Q，P三点共线列方程求得θ. 【详解】（1）由题意知， 当时，， 则， 所以当时，的坐标为． （2）由向量旋转可知，， 又为等边三角形，则可看作由绕点A沿逆时针方向旋转得到的， 则 ， 所以， ， 因为，所以， 当且仅当，即时，取得最大值． （3）若，则 ． 由（2）知， 所以， 由O，Q，P三点共线可知 ， 化简整理得． 因为，，所以，则． 【考点八】平面向量数量积的坐标表示 43.（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 44．（25-26高一上·云南昆明·期末）若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，通过计算模的平方并利用垂直条件得出模长相等；对于B，直接展开数量积并代入已知条件求得定值；对于C，假设平行后利用基底不共线推出矛盾；对于D，则通过展开数量积验证其是否为零来判断垂直关系. 【详解】已知单位向量、的夹角为，因此且 A选项：，， ，， 故，A为真命题； B选项：，B为真命题； C选项：假设，则存在使， 整理得：， 由于与不共线（夹角为），则且， 此方程组无解，矛盾，故与不平行，C为假命题； D选项： 所以，D为真命题. 故选：C 45.（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 46．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 如图，建立平面直角坐标系， 又为等边三角形，所以， 则， 所以， 则. 47.（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1），又，，， 即， ，解得. （2）因为，， 又， ，即，解得. （3）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 48．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即. （2）由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 【考点九】平面几何中的向量与向量在物理中的应用举例 49.（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是重心，也是内心，是等边三角形，建立直角坐标系，写出点的坐标，设，求出，利用三角函数有界性求出的取值范围. 【详解】由，易知是重心， 又已知的内切圆圆心为，所以也是内心， 由三线合一可知是等边三角形. 如图，以为坐标原点，所在直线为y轴，平行于的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以取值范围是 故选：B 50．（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设航船方向与河岸夹角为，根据求出即可求解. 【详解】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 51.（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则_______． 【答案】/ 【分析】由题意作图，利用基底表示所求向量，根据向量数量积运算律以及夹角公式计算，可得答案. 【详解】 如图，由题意，是线段的中点，，则， 且， 所求为向量与向量的夹角， 则， 所以. 故答案为：. 52．（24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则_________. 【答案】/ 【分析】根据平面向量的线性运算和已知条件即可化简求出结果. 【详解】根据题意结合图象可得： ，， ，， . 故答案为：. 53.（24-25高一下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得最小值. （2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得的最小值. 【详解】（1）已知点的坐标为，为线段上的动点，设， 因为，且，， 则， 所以， 所以， 所以当时，最小，最小值为. （2）因为，且，的坐标为， 则，则， 又， 则， ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 则取得最小值为. 54．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 【考点十】余弦定理、正弦定理 55.（25-26高一下·全国·期末）已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 56．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简已知得，进而求得，利用面积公式求得，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 由及正弦定理得 ， 即，因为，所以，所以， 又，所以，所以，得，则， 所以由余弦定理可得，所以. 故选：D 57.（25-26高一上·福建莆田·期末）已知满足，，点在线段上，且，则______． 【答案】 【分析】利用几何法，作对称全等三角形，再结合等腰三角形性质，即可求解. 【详解】 取中点，连接，作三角形关于直线对称三角形， 然后再过点作，垂足为， 因为，， 所以， 又由，所以四边形是矩形， 即， 因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为： 58．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 59.（25-26高一上·广东深圳·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用正弦定理得，再根据辅助角公式、倍角公式化简，然后结合正弦函数的性质求值域即可. 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以，     则， 所以 ， 因为三角形ABC是锐角三角形，所以，得， 所以，则，即， 所以的取值范围为. 60．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）15 【分析】（1） 应用两角和的正弦值公式，再应用正弦定理计算求解； （2）（ⅰ）应用正弦定理结合诱导公式计算求解边长比；（ⅱ）应用余弦定理结合（ⅰ）的结论得出，再应用面积公式求解. 【详解】（1）， 由正弦定理，， 得. （2）（ⅰ）由正弦定理及， 得， 即， 又， 所以， 所以，即. （ⅱ）由余弦定理，， 把，，代入， 得， 即，解得， 所以， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义01 平面向量及其应用 【考点一】平面向量的概念 【考点六】平面向量加、减运算的坐标表示 【考点二】向量的加、减法运算 【考点七】平面向量数乘运算的坐标表示 【考点三】向量的数乘运算 【考点八】平面向量数量积的坐标表示 【考点四】向量的数量积 【考点九】平面几何中的向量与向量在物理中的应用举例 【考点五】平面向量基本定理 【考点十】余弦定理、正弦定理 一、平面向量的概念 1. 向量与数量的区别 向量：既有大小又有方向的量（如位移、速度、力）。 数量：只有大小、无方向的量（如温度、质量、功）。 2. 核心概念辨析（必考选填） 零向量：长度为0，方向任意；记作，与任意向量平行。 单位向量：长度为1的向量； 的单位向量为 （）。 平行向量（共线向量）：方向相同/相反的非零向量； 与任意向量共线。 相等向量：长度相等且方向相同（与起点无关）。 相反向量：长度相等、方向相反； 的相反向量为 ， 的相反向量仍是 。 易错警示 向量不能比较大小，但向量的模（）可以比较大小。 有向线段≠向量，仅是向量的几何表示工具。 二、平面向量的线性运算 1. 加法运算 三角形法则：首尾相接，。 平行四边形法则：共起点，以为邻边作平行四边形，对角线为和向量。 运算律： 交换律：； 结合律：。 2. 减法运算 法则：共起点，，差向量指向被减向量。 几何意义：。 3. 数乘运算 定义：（），长度 。 ： 与 同向； ： 与 反向； ：。 运算律： ； ； 。 4. 共线向量定理（核心考点） 向量与非零向量共线 存在唯一实数，使 。 三点共线推论：若共线，则 且 （为任意点）。 三、平面向量基本定理及坐标表示 1. 平面向量基本定理 若是不共线向量（基底），则平面内任一向量唯一表示为 。 基底不唯一，但需满足不共线；常选作为正交基底。 2. 坐标运算（高频必考） 设： 加减：； 数乘：； 数量积：； 模长：； 夹角公式：（为夹角）。 3. 平行与垂直的坐标条件 平行：；垂直：。 四、平面向量的数量积 1. 定义与几何意义 定义：（为夹角，）。 投影：在上的投影为 ； 投影向量为 。 2. 运算律与常用公式 运算律：交换律；分配律；无结合律、消去律。 常用公式： ； ； 。 3. 夹角与模长的范围（难点） 夹角： 为锐角 且不共线； 为钝角 且不共线。 模长最值：利用转化为函数最值问题。 五、平面向量的应用 1. 几何应用（高频解答题） 证明平行/垂直：转化为向量共线/数量积为0； 求长度/距离：利用模长公式； 求夹角：利用数量积夹角公式； 三角形“四心”向量表示： 重心：； 垂心：（）； 内心：（为三角形三边）； 外心：。 2. 解三角形（必考大题） （1）正弦定理 内容：（为外接圆半径）； 应用：①已知两角一边；②已知两边及其中一边对角；③边角互化。 （2）余弦定理 内容：；；； 推论：（求角）； 应用：①已知三边；②已知两边及其夹角；③判断三角形形状。 （3）面积公式 。 （4）实际应用 测量距离、高度、角度（仰角、俯角、方位角），步骤：建模→解三角形→还原实际问题。 3. 物理应用 力、速度的合成与分解：转化为向量加减/数乘运算 【考点一】平面向量的概念 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知向量.若三点共线，则（    ） A． B． C．3 D．4 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 4．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【考点二】向量的加、减法运算 7．（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·安徽淮北·期末）（   ） A． B． C． D． 11.（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）______． 12．（24-25高一下·西藏山南·期末）若满足，则的最大值为______．最小值为______． 【考点三】向量的数乘运算 13.（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（   ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 14．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 17.（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则__________． 18．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的______心． 【考点四】向量的数量积 19.（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 21.（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________. 22．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 23.（25-26高一上·安徽·期末）已知，且. (1)求向量与的夹角； (2)求. 24．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 【考点五】平面向量基本定理 25.（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 26．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 27.（25-26高一上·江苏无锡·期末）如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 28．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 29.（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 30．（25-26高一上·浙江杭州·期末）如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 【考点六】平面向量加、减运算的坐标表示 31.（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（    ）． A． B． C． D． 35.（25-26高一上·湖南衡阳·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________． 36．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【考点七】平面向量数乘运算的坐标表示 37.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 38．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）已知向量，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39.（25-26高一上·山西忻州·期末）设向量，若，则实数___________． 40．（24-25高一下·河北承德·期末）已知向量，，，若，则_______． 41.（24-25高一下·湖南·期末）已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中 (1)若 且， 求的坐标; (2)若 且与 的夹角为锐角，求实数的取值范围. 42．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． (1)若，求向量的坐标； (2)求面积的最大值； (3)若，求角θ． 【考点八】平面向量数量积的坐标表示 43.（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·云南昆明·期末）若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（） A． B． C． D． 45.（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 46．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 47.（25-26高一上·山东日照·期末）已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 48．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线． (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标． 【考点九】平面几何中的向量与向量在物理中的应用举例 49.（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 51.（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则_______． 52．（24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则_________. 53.（24-25高一下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点. (1)若，设为线段上的动点，求的最小值； (2)若，向量，向量，求的最小值. 54．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【考点十】余弦定理、正弦定理 55.（25-26高一下·全国·期末）已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 56．（25-26高一上·广东深圳·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 57.（25-26高一上·福建莆田·期末）已知满足，，点在线段上，且，则______． 58．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 59.（25-26高一上·广东深圳·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 60．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $