精品解析：陕西西安市华山中学2025-2026学年度高一下学期期中质量检测数学试题

西安市华山中学2025-2026学年度第二学期期中质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 3 8. 中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. 64 B. 74 C. 52 D. 91 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 已知表示点，表示不同直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 11. 下列结论正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分，正确答案填在答题卡的横线上） 12. 已知复数（i为虚数单位），则______ 13. 已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为________． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______ 四、解答题（本题共5个小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF （1）证明:AF//平面BDG （2）证明:AB//EF 16. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 17. 如图所示，在四边形中，，， （1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； （2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 18. 在三角形中，角，，的对边长分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求三角形的面积； （3）在（2）的条件下，求边上的中线的长度． 19. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市华山中学2025-2026学年度第二学期期中质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的代数形式的乘法运算化简，求出其在复平面内对应点的坐标，即可得到答案． 【详解】，则在复平面内对应点的坐标为，所以位于第四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题． 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 3. 已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出原图和直观图，然后求面积. 【详解】如图，直观图的底边长度为原图形的底边长，高为原图形的高的一半乘以，故其直观图面积为. 故选：D. 【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题. 4. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模长得出向量，的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果. 【详解】由，得， 由，得， 则， 因此在上的投影向量为． 故选：A． 5. 在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，利用向量线性运算求解. 【详解】如图所示： ，， ， ， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 6. 下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项分析旋转图形可得旋转体的立体图，分析即可得答案. 【详解】解： A是上面一个圆锥，下面一个圆台，不符合； B是上下两个圆锥，中间一个圆柱，不符合； C是上面一个圆柱，下面一个圆锥，符合上图； D是两个圆锥，不符合. 故选：C 7. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据表面积公式和弧长公式列方程组求解可得. 【详解】记圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得. 故选：B 8. 中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（ ） A. 64 B. 74 C. 52 D. 91 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，m. 故选：C. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 已知表示点，表示不同直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线和平面位置关系的判定和性质，对选项进行判断. 【详解】当时，若，则有，故A选项错误； 若，则，又，则，故B选项正确； 若，由线面平行的性质定理，有，故C选项正确； 若，则与可能平行可能异面，故D选项错误. 故选：BC 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据复数的运算及相关概念一一判断可得； 【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确； 对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误； 复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误； 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确； 故选：AD 【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用三角形的性质，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】解：对于选项：在中，若，根据大边对大角，所以， 利用正弦定理，所以， 则，故选项正确． 对于选项：在锐角三角形中，，即， 故不等式恒成立，故选项正确． 对于选项：在中，， 由余弦定理可知：，因此有 ，即，因为，所以， 因此，所以或，即，或（舍去）， ，所以，故C正确． 对于选项：在中，若，，三角形面积 所以，解得， 所以， 由正弦定理，故选项错误． 故选：． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分，正确答案填在答题卡的横线上） 12. 已知复数（i为虚数单位），则______ 【答案】 【解析】 【分析】 首先化简，求出的共轭复数，再求模长即可. 【详解】， ，. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查复数的四则运算和共轭复数，属于简单题. 13. 已知正四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为正四棱台的侧面是等腰梯形， 又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为1， 所以侧面梯形的斜高为， 则四个梯形的面积为， 上下底的底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解. 【详解】，， ，由可得， 又，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题. 四、解答题（本题共5个小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF （1）证明:AF//平面BDG （2）证明:AB//EF 【答案】（1）证明：连接AC交BD于O,连接OG. 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC、BD互相平分. 又G为FC的中点，所以OG为三角形ACF的中位线，所以. 因为面,面,所以AF//平面BDG. （2）证明:因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB//CD. 因为面,面,所以AB//平面. 因为面,面面=EF. 所以AB//EF. 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于O,连接OG.利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF//平面BDG； （2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB//EF. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标公式求出； （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值； （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【小问1详解】 由，，得， 所以. 【小问2详解】 由，则， 因为，所以，解得. 【小问3详解】 由题可得，设与垂直的向量， 则，取，得，则， 所以，与向量共线的单位向量为， 因此，与垂直的单位向量的坐标或. 17. 如图所示，在四边形中，，， （1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积； （2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析旋转体的结构特征，结合圆锥、圆台的侧面积公式运算求解； （2）根据题意结合锥体、台体的体积公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知，四边形绕旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体， 过点作，垂足分别为，如下图所示： 易知，所以， 又，所以，可得； 故圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 母线长；高，母线长， 所以圆台的侧面积为， 圆锥的侧面积为，圆台的下底面面积为， 所以几何体的表面积为． 【小问2详解】 易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积， 即， 所以几何体的体积为． 18. 在三角形中，角，，的对边长分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求三角形的面积； （3）在（2）的条件下，求边上的中线的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得， 展开整理得， 又，所以解得，又因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得， 即，又，所以， 所以． 【小问3详解】 因为，所以， 即 ． 故. 19. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角关系，再利用辅助角公式求解即可； （2），由向量的数量积可得，由三角形的面积可得，结合余弦定理可求，可求周长； （3）不妨设，则.由余弦定理解方程组即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得 即：， 所以 所以，即，所以，得； 【小问2详解】 ， 因为， 所以， 由得： ，即， 由余弦定理得，即， 则，解得． 所以的周长为； 【小问3详解】 不妨设，则.由余弦定理得: ，① ，② ，③ 因为，所以，即，则， 由②③，，则 即 因为，所以，解得或(舍) 所以，得. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，从而推导出、，结合关系求得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $