福建南平市政和县第一中学2025-2026学年第二学期八年级数学阶段学情自测

**基本信息** 八年级数学期中自测以勾股定理为核心，通过梯子安全距离、华表雕龙展开等情境题，考查几何直观、空间观念与应用意识，基础巩固与创新应用梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|直角三角形判定、正方体展开图角度|生活情境（梯子底端距建筑物5m求长度）| |填空题|6/24|勾股定理应用（吸管露杯外长度、蚂蚁爬行最短路径）|空间图形展开（圆柱、正方体表面路径计算）| |解答题|9/86|综合应用（翻折问题、动态点最值、广义勾股数辨析）|创新性（广义勾股数概念判断）、实践性（旗杆荡球最低点高度计算）|

福建省政和一中2025-2026学年第二学期八年级数学阶段学 情自测 参考答案 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.) 1.B 2.D 3.B 4.B 5.A 6.D 7.B 8.B 9.D 10.C 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分，把最后答案直接填题中的横线 上.) 11.2 12.120cm㎡ 13.2 14.213 cm 15.5 16. 6.5 已知DE=DF=I7Cm,DC⊥EF,根据等腰三角形三线合-，DC平分EF,即 三、解答题（本 EC=FC 题2个小题，每 小题8分，共16 在Rt△DCE中，由勾股定理得： 分解答时应写出 必要的文字说 EC=√DE2-DC=√V172-82=V289-64=√225=15Cm 明、证明过程或 演算步骤) 因此EF=2EC=30cm。 17.解： △DEF的面积S=号×EF×DC=号×30×8=120cm2。 18. 解：①如图： ②由勾股定理可知，三边 正好为勾股弦，即22+32 =(√13)2 B .:是Rt△，即直角三角形.( 8分) 19. 解：·.'CD=6cm,AD=8cm,∠ADC=90°， ∴.AC=V62+82=10cm. ·.·102+242=262 ∴.△ABC为直角三角形，∠ACB=90°. ,四边形ABCD的面积=S△ABC-S△ACD-号× 10×24-3 ×6×8=96. 20. 解：（1)是梯形， 梯形的面积= 2a+0)(a+)=2×号×ab+号 c2, a2+2ab+b的=ah+安2， a2+b2=c2; (2)如图所示，图形可以证明， a 根据题意：△AOD经过翻折得到△AED .AE=OA=10,DE=OD ·.四边形OABC是长方形 .AB=OC=8,BC=OA=10 21解： 在Rt△ABE中，BE=VAE2-AB2= V102-82=6 .CE=BC-BE=10-6=4 .E(4,8) CD=OC-OD=8-OD 在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2 即有：(8-0D)2+42=DE2=0D2 解得0D=5 .D(0,5) 22.解： 作AE⊥OM于E,BF⊥OM于F。 则∠OEA=∠BFO=90°。 ·.'∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°， .∴.∠AOE=∠OBF。 在△AOE和△OBF中， （∠OEA=∠BFO ∠AOE=∠OBF OA=OB ∴.△AOE≌△OBF(AAS), .OE=BF,AE=OF。 ·.·AE+BF=CD=17米， .·.OE+OF=17米 又.·EF=EM-FM=AC-BD=10-3= 7米， 且OF=OE+EF, .0E+(0E+7)=17, 即20E=10, .0E=5米， .∴.0F=12米。 ·∩M-OF上F1M-19上3-15米 在Rt△AOE中，由勾股定理得： OA2=AE2+OE2 =122+52 =144+25 =169 ..0A=13米。 ·.ON=OA=13米（绳索长度不变）， .MN=OM-ON=15-13=2米。 答：小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN为2米。 23. 解：(1)上述解题过程，从第二步开始出现错误； 故答案为：二； (2)第一步到第二步时，直接两边除以a2一b2,但未 考虑a2-b2=0的情况； 故答案为：未考虑a2-b2=0的情况： (3).'a2c2-b2c2=a-b4, .c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) .c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0. .(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, .a2-b2=0或a2+b2-c2=0, .c2=a2+b2或a2=b2 当c2=a2+b时，该三角形是直角三角形 当a2=b2,即a=b时，该三角形是等腰三角形 ,:.△ABC是直角三角形或等腰三角形 24. 解：(1).∠ 北 ADC=45° +45°=90° ,∠ACD= 45°+15°= 60°， .∴.tan∠ACD =8 √3， .CD=300米， .AD=300V3(米) .点D与点A的距离是300V3米； (2)作DH⊥AB于H,小明的朋友在15分钟内不能通 过隧道AB,理由如下 .·△ADH是等腰直角三角形 .AD2=AH2+DH2=2AH2 DH=AH=2AD=150V6米)， 2 .∠BHD=90°，∠BDH=60°， ∴.BH=V3DH=450V2(米)， .∴AB=BH+AH=450V2+150V6≈450× 1.41+150×2.45=1002(米)， ·.小明的朋友从端点A以每分钟60米的速度步行，15 分钟行走的路程是60×15=900米，900<1002. ·小明的朋友在15分钟内不能通过隧道AB. 25. 解：(1)AC+CE =V(8-x)2+25 +Vx2+1; B (2)当A、C、E三点 共线时，AC+CE 的值最小； (3)如图所示，作BD=12,过点B作AB⊥BD,过 点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3, 连接AE交BD于点C,设BC=x,则AE的长即为 代数Vx2+4+√(12-x)2+9的最小值 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形A BDF. AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+ DF=3+2=5, 所以AE=VAF2+EF2=√122+5=13， 即Vx2+4+√(12-c)2+9的最小值为13. 故代数式V2+4+√(12-x)2+9的最小值为13. 福建省政和一中2025-2026学年第二学期八年级数学阶段学情自测 (时间:120分钟 满分:150分) 班级： 姓名： 成绩： 1、 选择题(本题10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A.4,5,6 B.1, , C.6,7,8 D.8,12,15 2.下列说法中正确的个数为 ( ) ①如果△ABC中,∠A+∠B=∠C,那么△ABC为直角三角形; ②若三角形三个内角度数之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形； ③若三角形三边长分别为3k，4k，5k(k>0)，则此三角形为直角三角形； ④若△ABC的三边长a,b,c满足 则此三角形为直角三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图是一个棱长为1的正方体的展开图，A，B，C是展开后小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 ( ) A.30° B.45° C.50° D.60° 4.要登上12m高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物5m，则梯子的长度至少为 ( ) A.12m B.13 m C:14m D.15m 5.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=1,点A 所对应的数为-1,AB在数轴上.若以点A 为圆心、AC的长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点 M 表示的数为 ( ) A. B. C.2 D. 6.如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方(从点A到点 C，B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16m，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为 ( ) A.10m B.12m C.16m D.20m 7.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠E=90°,AE=3,BE=4,则图中阴影部分的面积是 ( ) A.18 B.19 C.25 D.31 8.小红要求△ABC 最长边上的高，测得/AB=8cm,AC=6cm,BC=10cm，则可知最长边上的高是( ) A.48cm B.4.8cm C.0.48cm D.5cm 9.如图,在长方形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,连接AE,ED,将△ABE沿AE 翻折,使点 B 落在点 B'处,线段EB'交AD 于点 F,将△ECD沿DE 翻折,使点 C 的对应点 C'落在线段EB'上.若点 C'恰好为线段EB'的中点，则线段EF的值为 ( ) A.22 B. C. D. 10.我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数.如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即： 那么称m为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13 是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若x,其中x,y,z,m,n均为正整数,则x,y,z为一组勾股数；⑥一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数.结论正确的是 ( ) A.②③⑤⑥ B.①③④⑤ C.②⑤⑥ D.②④⑤⑥ 二、填空题(本题6个小题，每小题4分，共24分把最后答案直接填在题中的横线上.) 11.如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面直径为12cm，高为16cm，今有一根长22cm的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 cm. 12.若一个三角形的三边长度比为5：12：13，它的周长为60cm，则它的面积是 . 13.如图,已知在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆，面积分别记为 S₁，S₂，则S₁+S₂的值等于 . 14.如图，有一个棱长为4cm的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边AB 的中点 P处，发现上方顶点 C'处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点 P 爬行到顶点 C'处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为 . 15.如图所示,点A的坐标是(2,1),点B的坐标为(5,3),点C为x轴上一动点，则AC+BC的最小值是 . 16.如图,已知AB=12,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,AD=5,BC=10,点E是CD的中点,则AE 的长是 . 三、解答题(本题2个小题，每小题8分，共16分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图,已知在△DEF中,DE=DF=17cm,DC⊥EF,且DC=8cm,求△DEF的面积. 18.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断(1)中的三角形是否为直角三角形? 四、解答题(本题7个小题，每小题10分，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.如图，已知 26 cm,求四边形ABCD 的面积. 20.如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形. (1)请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； (2)请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形(画出图形，不用证明). 21.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8,在OC边上取一点D,将纸片沿AD 翻折,使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标. 22.如图，实心球(视为小黑点)从一个高为10m的高台A处，利用旗杆OM 顶部的绳索，划过 到达与高台A水平距离为17m、高为3m的矮台 B.求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点 MN的高度. 23.阅读下列题目的解题过程： 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足 试判断△ABC的形状. 解： ③ ∴△ABC是直角三角形. 解决下列问题： (1)上述解题过程，从第 步开始出现错误； (2)错误的原因为 ； (3)请你将正确的解答过程写下来. 24.有一条东西走向的隧道AB.小明在点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进300米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西( 方向上(点A,B,C,D在同一平面内). (1)求点D到点A的距离(结果保留准确值)； (2)小明的朋友从端点A 以每分钟60米的速度步行到端点B，请问他能否在15分钟内通过隧道A 25.如图,C为线段BD上的一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x..2.5.......(1)用含x的代数式表示AC+CE的长； (2)当点 C满足什么条件时，AC+CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请作出图形，求代数式 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $