精品解析：北京市八一学校教育集团2025-2026学年第二学期期中练习 八年级数学

北京市八一学校教育集团2025－2026学年第二学期期中练习 八年级数学 注意事项 1．本试卷共8页，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共16分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 2. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断． 【详解】解：A、对于一部分自变量的值，有多个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； B、对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，故选项符合题意； C、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； D、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 3. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. 3，3，3 D. 4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】A、，可以构成直角三角形，则此项符合题意； B、，不可以构成三角形，则此项不符题意； C、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意； D、，不可以构成直角三角形，则此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 4. 若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可． 【详解】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360° ∴正多边形的边数是360°÷45°=8． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键． 5. 若、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较正比例函数的函数值大小，根据，可得y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，且， ∴， 故选：B． 6. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 矩形对角线互相平分且相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，命题正确，故选项不符合题意； B、根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，命题正确，故选项不符合题意； C、根据矩形的性质，矩形对角线互相平分且相等，命题正确，故选项不符合题意； D，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，命题错误，故选项符合题意． 7. 我国经典数学著作（九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系索其末，委地三尺、去本八尺而索尽、问索长几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（10尺），竹梢折断后触地，触地处到竹根的距离是3尺，求折断后竹子剩余的直立高度？如果折断后竹子剩余的直立高度尺，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折断后竹子剩余的直立高度尺，则折断的部分为尺，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：由题意得，在中，， ∴． 8. 如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在上，， ∵， ∴． 9. 直线经过一、二、四象限，则直线的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线经过一、二、四象限判断出k、b的符号，进而可得出直线经过的象限． 【详解】解：∵直线过第一、二、四象限， ∴，， ∴，， ∴直线经过第一、二、三象限． 10. 如图，在中，是中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积（ ） A. 先减小，再增大 B. 先增大，再减小 C. 逐渐减小 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可证明，，设，，，根据，即可判断． 【详解】解：连接，过点E作于点M，过点E作于点N， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， ∵，是中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，，则， ∴ ， ∴在动点运动的过程中，的面积不变． 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是， 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形，，，的平分线交的延长线于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，利用平行线的性质得出内错角相等，结合角平分线的定义证明为等腰三角形，得出，进而求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴． 13. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形相关性质求出对应边的长度． 连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故答案为：． 14. 如图，已知函数和的图象，则方程组的解为___． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系． 15. 如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DPBQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PBDQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∵BE=2AB=12，BC=AD=5， ∴CE==13． ∴PC+PB的最小值为13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 16. 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】先读懂函数图象，获取相关信息，再利用行程问题的数量关系进行计算，根据图象纵坐标的最大值判断①；根据速度路程时间计算小华的速度判断②；求出小华行驶米所需时间，结合出发时刻计算相遇时刻判断；计算小华跑步到达学校所需时间，推算到达时刻与小明比较判断． 【详解】解：由图象可知，路程的最大值为， 小明家和学校距离米，故①正确； 小华乘坐公共汽车的时间为（分钟）， 小华乘坐公共汽车的速度是（米/分），故②正确； 当时，小华行驶的时间为（分钟）， 小华在时出发，即后分钟，为， 相遇时刻为经过分钟，即，故③错误； 当小华跑步速度为米/分时， 所需时间为（分钟）， 小华出发时间不变，仍为， 小华到达学校时的值为， 由图象可知小明到达学校时的值为， 他们可以同时到达学校，故④正确. 综上所述，正确的有①②④． 三、简答题（第18、19题每4分，第17、21题每题5分，第22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 已知，，求的值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式把所求式子变形为，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 19. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 【答案】证明：如图所示，连接，， ∵四边形是平行四边形， ，， ； ∵， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ，为平行四边形的对角线， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定证明即可． 【详解】略 20. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点在上，点在上）； 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵平分，∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（____________）（填推理依据） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（____________）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（___________）（填推理依据） （3）当满足_______时，菱形是一个正方形（添加一个符合要求的条件）． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求． （2） 线段垂直平分线的性质；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得平分，是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的定义可得，，利用平行线的判定可得，，进而可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论； （3）根据正方形的判定方法添加即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（线段垂直平分线的性质） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）（填推理依据） 【小问3详解】 满足时，菱形是一个正方形，理由： ∵四边形为菱形，， ∴菱形是一个正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴， 轴于，两点． （1）求点， 的坐标； （2）画出该函数的图象； （3）若点， 连接， ， 求的面积． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为； （2） 如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法． （1）分别令求解即可； （2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可； （3）根据三角形的面积求出即可． 【小问1详解】 解：令，则，解得， 令，则， 所以，点的坐标为， 点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵，点的坐标为，点的坐标为， ， ． 22. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD. ∵DF=CE， ∴DF+DE=CE+ED， 即:FE=CD. ∵点F、E在直线CD上 ∴AB=FE，AB∥FE. ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵BE⊥CD，垂足是E， ∴∠BEF=90°. ∴四边形ABEF是矩形. (2) OF =. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论． 【详解】(1)略 (2)解:∵四边形ABEF是矩形O， ∴∠AFC=90°，AB=FE. ∵AB=6，DE=2， ∴FD=4. ∵FD=CE， ∴CE=4. ∴FC=10. 在Rt△AFD中，∠AFD=90°. ∵∠ADF=45°， ∴AF=FD=4. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°. ∴. ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， ∴O为AC中点 在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF=AC=. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 23. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】（1）0 （2） 函数图象如图所示． （3）0，0；； 【解析】 【分析】（1）把代入即可求得； （2）先描点，再连线即可； （3）观察图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：当时，， ∴． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：观察该函数图象： 当时，函数有最大值是0． 对于图象上两点，若，则． 对于函数，当时，的取值范围是． 24. 【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）分母有理化：__________； （2）比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． 【小问3详解】 解：， ， ∴，， ∴． 25. 在正方形中，为射线上一点（不与点重合），为中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、． （1）依题意补全图形，并证明． （2）判断和的关系并证明． 【答案】（1） 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴． （2） 解：，．证明如下： 过点作交延长线于点，连接，与交于点，则， 由（1）可知，， ∴， 由旋转可得，， 在和中，， ∴， ∴，，， ∵为中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，． 【解析】 【分析】（1）依题意画图即可，四边形是正方形，可得，则，再由旋转可得，则，即可证明结论； （2）先证明，再证明，可得是等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，对于点与图形给出如下定义：为图形上任意一点，、两点间距离的最小值称为点与图形的“近点距离”特别的，当点在图形上时，点与图形的“近点距离”为零．如图，点． （1）点与线段的“近点距离”是__________；点与线段的“近点距离”是__________． （2）点是直线上任意一点，点与线段的“近点距离”为； ①当时，求的值． ②当时，将线段绕点逆时针转得到线段，点与线段的“近点距离”为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1； （2）或；②或 【解析】 【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理即可求解； （2）①分直线在线段上方和直线在线段下方，分别求解即可； ②分，，，四种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵，，， ∴点与线段的“近点距离”是， 点与线段的“近点距离”是． 【小问2详解】 解：当直线在线段上方时， ∵， ∴直线解析式为， 如图，设直线与轴、轴分别交于点、，过点作于点，过点作轴，过点作于点，则为点与线段的“近点距离”， 由直线，当时，，当时，，即， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 把代入得，， 解得； 当直线在线段下方时， 如图，设直线与轴、轴分别交于点、，过点作于点，过点作交延长线于点，则为点与线段的“近点距离”， 同理可得，点坐标为， 把代入得，， 解得； 综上所述，的值为或． ∵， ∴， ∵线段绕点逆时针转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴直线解析式为， 当直线经过点时， 把代入得，， 解得， 当直线经过点时， 把代入得，， 解得， 当时，由图可得点与线段的“近点距离”为点到直线的距离，点与线段的“近点距离”为点到直线的距离， 此时，即，不符合题意； 当时，由图可得点与线段的“近点距离”与点与线段的“近点距离”均为点到直线的距离，此时，即，符合题意； 当时，直线与线段相交，此时，即，不符合题意； 当时， 如图，当时，过点作垂直于直线于点，过作垂直于直线于点，则，，取的中点，连接，， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 解得； 如图，当时，即， 同理可得，四边形是矩形， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴； ∴当时，； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校教育集团2025－2026学年第二学期期中练习 八年级数学 注意事项 1．本试卷共8页，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共16分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. 3，3，3 D. 4，5，6 4. 若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 若、是正比例函数（为常数，且）图象上的两点，那么与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 矩形对角线互相平分且相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7. 我国经典数学著作（九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系索其末，委地三尺、去本八尺而索尽、问索长几何？”题意是：有一根竹子原高1丈（10尺），竹梢折断后触地，触地处到竹根的距离是3尺，求折断后竹子剩余的直立高度？如果折断后竹子剩余的直立高度尺，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8 9. 直线经过一、二、四象限，则直线的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积（ ） A. 先减小，再增大 B. 先增大，再减小 C. 逐渐减小 D. 不变 二、填空题（本题共12分，每小题2分） 11. 将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是___________． 12. 如图，在平行四边形，，，的平分线交的延长线于点，则的长为______． 13. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成A，两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为_____． 14. 如图，已知函数和的图象，则方程组的解为___． 15. 如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为__________． 16. 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 三、简答题（第18、19题每4分，第17、21题每题5分，第22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分） 17. 计算：． 18. 已知，，求的值． 19. 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 20. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点在上，点在上）； 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵平分，∴ ∵是线段的垂直平分线， ∴，，（____________）（填推理依据） ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形．（____________）（填推理依据） ∵， ∴为菱形．（___________）（填推理依据） （3）当满足_______时，菱形是一个正方形（添加一个符合要求的条件）． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴， 轴于，两点． （1）求点， 的坐标； （2）画出该函数的图象； （3）若点， 连接， ， 求的面积． 22. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 23. 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． （1）下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 24. 【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）分母有理化：__________； （2）比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） （3）已知，求的值． 25. 在正方形中，为射线上一点（不与点重合），为中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、． （1）依题意补全图形，并证明． （2）判断和的关系并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于点与图形给出如下定义：为图形上任意一点，、两点间距离的最小值称为点与图形的“近点距离”特别的，当点在图形上时，点与图形的“近点距离”为零．如图，点． （1）点与线段的“近点距离”是__________；点与线段的“近点距离”是__________． （2）点是直线上任意一点，点与线段的“近点距离”为； ①当时，求的值． ②当时，将线段绕点逆时针转得到线段，点与线段的“近点距离”为，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $