精品解析：安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期期中质量测评数学试题 A卷

临化中学2025—2026学年（下）高一期中质量测评 数学试题A卷 命题人：王露杰 审题人：屈金涛 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 向量 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量加法的三角形法则计算. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得. 故选：A. 2. 已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为( ) A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知两边之和与第三边，直接套用余弦定理公式求出两边之积，再代入面积公式计算. 【详解】由余弦定理可得，所以. 所以． 故选：A． 3. 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积公式可得答案. 【详解】设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则 圆台的侧面积为，解得 故选：C 4. 已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质结合投影向量的定义可求得结果. 【详解】因为、是夹角为的两个单位向量，则， 由平面向量数量积的定义可得， 又因为，， 所以， 所以， 所以在上的投影向量为. 5. 平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两边平方，结合得到，计算出，由基本不等式求出时，最大为，得到答案. 【详解】因为满足，， 所以， 所以，所以, 由夹角公式得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，在上单调递减， 所以， 即时，最大为， 此时． 故选：D 6. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】连接，与交于点，连接，易证，得，由平面利用线面平行的性质定理可得，即可求得. 【详解】如图，连接，与交于点，连接. 因为为的中点，所以，由四边形是平行四边形，可得， 则，所以，所以． 又平面平面，平面平面，所以，所以． 故选：D． 7. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性表示，表示出向量和向量，再由向量的数量积的运算律化简可得选项. 【详解】由已知得：，设，所以， 又点C、O、E三点共线，所以，解得，所以， 又， 所以， 所以，即，所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性表示和向量的数量积的应用，属于中档题. 8. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 在复平面内，对应的点位于第三象限 C. 的虚部为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先对化简，求出复数，然后逐个分析判断即可 【详解】解：由，得， 所以，所以A错误； 所以在复平面所对应点在第三象限，所以B正确； 的虚部为2，所以C错误； ，所以D正确， 故选：BD 10. 正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（ ） A. 是正六面体 B. 正方体的边长为2 C. 与正方体的表面积之比是 D. 平面与相交所得截面的面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出图形可判断A；设正方体的边长为a，求出的体积，求出可判断B；求出正方体的表面积，的表面积可判断C；画出截面，且是菱形，求出面积可判断以D． 【详解】对于A，如图，是各棱长均相等的正八面体，所以A错误； 对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两个四棱锥的高都为，则的体积为，所以，所以B正确； 对于C，正方体的表面积是，的各个侧面的棱长都为等边三角形，所以的表面积是，所以，所以C正确； 对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点， 且相等，，四边形是菱形，，其面积为，所以D正确． 故选：BCD. 11. 如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（ ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线线垂直可证线面垂直，可判断A；根据三棱锥体积公式可知当时，体积最大，即可判断B；设的中点为，连接，为点到的距离，求出可判断C；根据线面垂直可知点到平面的距离为，即可判断D. 【详解】A：因为，，且，，平面，所以平面，故A正确； B：由已知三棱锥的体积， 所以当，即时，三棱锥的体积最大，最大值为，故B正确； C：当时，是等边三角形，且是以为底的等腰三角形， 设的中点为，连接，    则，即为点到的距离，，故C正确； D：当时，，，且，，平面， 故平面，则就是点到平面的距离，且，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则，几何法求向量的模. 【详解】如图，由，∴四边形OACB为菱形． 连接OC、AB，则，设垂足为D． ∵ ，，∴在中， ． ∴ 故答案为： 13. 如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】延长AM，交BC于点D，因为M为的重心，所以D为BC的中点，且， 则 . 14. 如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由已知可得向量与向量共线，设，根据向量线性运算法则可得，，由此可得，根据平面向量基本定理可得，，由此可得结论. 【详解】由已知向量与向量共线，故可设， 所以， 因为，所以， 故， 所以， 又， ，不共线， 由平面向量基本定理可得，，， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，与的夹角是 （1）计算； （2）当与的夹角为钝角时，求的取值范围. 【答案】（1）（2）且 【解析】 【分析】（1）把模转化为向量的平方； （2）两向量的数量积为负，但要去除两向量反向的情形。 【详解】由题意， （1）， ∴， ， ∴。 （2），， 又时，与方向相反， ∴且。 【点睛】本题考查求向量的模，向量的夹角问题。求向量的模通常平方后转化为向量积运算，两向量夹角为锐角，则，但时，的夹角为锐角或零角，两向量夹角为钝角，则，但时，的夹角为钝角或平角。解题时要注意。 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值. 【解析】 【分析】 （1）利用向量垂直的坐标表示可求得，结合的范围可求得的值； （2）将函数化简为，根据的范围可求得的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为， 所以， 于是， 又，所以； （2） . 因为，所以， 从而 于是，当，即时，取到最大值2； 当，即时，取到最小值. 【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解. 17. 在中，分别是角的对边，且． （1）求角B的大小； （2）若，，求a的值． 【答案】（1）（2）1或3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式,再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后,由不为0,即可得到的值,根据B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （2）利用余弦定理得到,配方后把b,及的值代入,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值． 【详解】解：（1）由正弦定理得,得 , 代入, 即, 化简得：, , , , ,, 又∵角B为三角形的内角,； （2）将,,, 代入余弦定理,得 , , 或． 【点睛】本题主要考查了正弦与余弦定理以及三角函数和差角公式的运用,属于中等题型. 18. 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． （1）求证：平面 （2）若，求四棱锥的表面积． （3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 【答案】（1）证明：取中点，连， 因为点为中点， ，且， 同时因为分别是边的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面平面， 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连，利用中位线定理证明四边形是平行四边形，即可得到，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）通过勾股定理逆定理证明，，结合三角形面积公式即可运算求解； （3）由题意得，，从而可将面积比转换为线段比的平方即可运算求解。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， 根据对称性有，而， 所以， 所以， 所以， 而， 四棱锥的面积. 【小问3详解】 由（1）知平面， 平面平面，平面， ，， 又，，. 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明: ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面， ∴平面平面. （2）证明： 由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点是的中点，结合可得点是的中点.根据题中条件，在平面内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临化中学2025—2026学年（下）高一期中质量测评 数学试题A卷 命题人：王露杰 审题人：屈金涛 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 向量 （ ） A. B. C. D. 2. 已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为( ) A. B. C. 4 D. 3. 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 4. 已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 在复平面内，对应的点位于第三象限 C. 的虚部为 D. 10. 正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（ ） A. 是正六面体 B. 正方体的边长为2 C. 与正方体的表面积之比是 D. 平面与相交所得截面的面积是 11. 如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（ ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则等于________． 13. 如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 14. 如图，在中，，分别在线段，上，且，，，交于点，若，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，与的夹角是 （1）计算； （2）当与的夹角为钝角时，求的取值范围. 16. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 17. 在中，分别是角的对边，且． （1）求角B的大小； （2）若，，求a的值． 18. 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． （1）求证：平面 （2）若，求四棱锥的表面积． （3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $