精品解析：湖南省岳阳市2025-2026学年下学期期中质量检测 七年级数学

2026年上学期期中质量检测 七年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 2. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 已知，下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 4的算术平方根是2 B. 的立方根是3 C. D. 1的平方根是1 7. 小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．现对17进行如下操作：，这样对17只需进行3次操作后变成1，类似的，401变为1需要进行的操作次数是（ ） A. 2次 B. 3次 C. 4次 D. 5次 10. 设、、、均为整数，关于的多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为．下列结论： ①当时，则；②的值能被8整除； ③若，则的最大值为1；④若，．则． 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：2m·3m=______． 12. “的2026倍比小”用不等式表示为_____． 13. 若，，则________． 14. 利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 15. 为了激发学生学习数学的积极性，某校举行了主题为“学数学、用数学、爱数学”的知识竞赛活动，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分，大赛规定总分不低于80分获奖，伊伊想获奖，至少要答对_________道题． 16. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）若，则______； （2）若，则______； 三、解答题：（17、18题每题6分，19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，共72分） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 已知：，，且． （1）求的值； （2）求的值． 20. 在写课时作业时，嘉嘉和同桌淇淇针对一道题（如下图）产生了分歧．淇淇的说法正确吗？若正确，请你写出这道题的解答过程；若不正确，请说明理由． 21. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 22. 阅读下面的材料： 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：． 根据上面的材料回答下列问题： （1）______； （2）当时，求x的取值范围． 23. 阅读下列材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：，， 当，的最小值是2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】填空：_____=（ ）2； （2）【类比应用】①请直接写出为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ ②将变形为的形式，并求出的最小值； （3）【拓展升华】若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 24. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期中质量检测 七年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.13133 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，3是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，也是无理数，故此选项符合题意； D、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意． 2. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 3. 已知，下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原不等式正确，不符合题意； B、由可得，原不等式正确，不符合题意； C、由可得，原不等式正确，不符合题意； D、由可得，原不等式错误，符合题意； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐项进行计算即可得答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 4的算术平方根是2 B. 的立方根是3 C. D. 1的平方根是1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握相关定义是解题关键．根据算术平方根、平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、4的算术平方根是，原说法正确，符合题意； B、的立方根是，原说法错误，不符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、1的平方根是，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 7. 小明一家驾驶一辆小轿车外出旅游，经过某段高速公路时看到该段路对行驶车辆的限速规定如图所示，设小明家车辆经过该路段的速度为v千米/小时，则符合限速规定的v应 满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查看图列不等式，解题的关键是看懂图中最低和最高限速并作答．本题是看图列不等式，要不低于最低限速，自驾游的车属于小客车最高速不超过120，进而作答． 【详解】解：由图可知最低限速60， ∴， 又自驾游的车属于小轿车， 小轿车的最高速不超过120， 即， 综上， 故选：C． 8. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆圈的区别．根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组的解集为， 故选：D． 9. 对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．现对17进行如下操作：，这样对17只需进行3次操作后变成1，类似的，401变为1需要进行的操作次数是（ ） A. 2次 B. 3次 C. 4次 D. 5次 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的估值和对取整的定义的理解，其中理解题意是解题关键，本题应根据规定，每次取当前数的平方根并向下取整，直到结果为1．需逐步计算401经过各次操作后的结果，统计次数即可求解． 【详解】解：第1次操作：计算， 因，，故，向下取整得； 第2次操作：计算， 因，，故，向下取整得； 第3次操作：计算 ，直接取整得； 第4次操作：计算， 因，向下取整得； 综上，401经过4次操作后变为1， 故选C． 10. 设、、、均为整数，关于的多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为．下列结论： ①当时，则；②的值能被8整除； ③若，则的最大值为1；④若，．则． 其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法法则、平方差公式，先根据多项式乘法法则得到，，再逐个判断四个结论的对错，结合整数的性质统计正确结论的个数即可． 【详解】解：，一次项系数为， ， ，一次项系数为， ， 均为整数， ① 当时， ， ， 故①正确； ② ，， 为整数， 是整数， 能被整除， 故②正确； ③， ，即 ， ， 当时取等号，符合是整数的条件， 的最大值为， 故③正确； ④ 代入，， 得： 整理得：， 当，时， 满足所有条件， 此时， 故④错误； 综上，正确的结论有个． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 计算：2m·3m=______． 【答案】6m2 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式的法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式的法则，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题关键． 12. “的2026倍比小”用不等式表示为_____． 【答案】## 【解析】 【详解】解：根据题意得：． 13. 若，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 14. 利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据计算器按键顺序得到对应算式，再根据立方根和算术平方根的定义计算结果即可． 【详解】解：由按键顺序可得，所求算式为 根据立方根的定义可得， 根据算术平方根的定义可得， 则． 15. 为了激发学生学习数学的积极性，某校举行了主题为“学数学、用数学、爱数学”的知识竞赛活动，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分，大赛规定总分不低于80分获奖，伊伊想获奖，至少要答对_________道题． 【答案】18 【解析】 【分析】找出不等关系，正确列出一元一次不等式，解答即可． 【详解】解：设伊伊答对x道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解不等式得： ， 为正整数， 的最小值为． 16. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）若，则______； （2）若，则______； 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂的乘法． （1）利用新运算的规定进行运算即可； （2）利用新运算的规定进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）， ， ； 故答案为：9；． 三、解答题：（17、18题每题6分，19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】无解 【解析】 【详解】解：， 由①得， ， ， 由②得， ， 不等式组无解． 19. 已知：，，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）21 （2）17 【解析】 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方求得，；再利用完全平方公式变形求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，； ， 的值为21； 【小问2详解】 解：， 的值为17． 20. 在写课时作业时，嘉嘉和同桌淇淇针对一道题（如下图）产生了分歧．淇淇的说法正确吗？若正确，请你写出这道题的解答过程；若不正确，请说明理由． 【答案】 淇淇的说法正确，解答过程如下： ． 当时，原式． 【解析】 【分析】先判断淇淇的说法正确，利用平方差公式与完全平方公式进行整式的乘法运算，再合并，最后把代入计算即可． 【详解】略． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，平方差公式与完全平方公式的应用，熟记两个公式并灵活应用是解本题的关键． 21. 2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）至少购进5台A型智能机器人． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 22. 阅读下面的材料： 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：． 根据上面的材料回答下列问题： （1）______； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥ 【解析】 【分析】（1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得﹣1 故答案为：﹣1； （2）由题意得： 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 X≥ ∴x的取值范围为x≥． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 23. 阅读下列材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：，， 当，的最小值是2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】填空：_____=（ ）2； （2）【类比应用】①请直接写出为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ ②将变形为的形式，并求出的最小值； （3）【拓展升华】若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）9，3 （2）①当时，代数式的最小值为6；②，12 （3），理由如下： ， ， ； ，即． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）先将变形为的形式即可求解； （3）根据，进行判断即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为6； ②∵， ∵， ∴， ∴， ∴当时，代数式的最小值为12； 【小问3详解】 略 24. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查阅读理解，整式的加减运算，单项式乘多项式的应用，涉及代数式的值与x的取值无关问题解法，读懂题意，理解方法是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）先计算，再由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）设，由图可知，，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：，进而可得结论． 【详解】解：（1）， ∵关于x的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与x无关， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $