精品解析：2026年山西省临汾市一模数学试题

数学（一） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年11月5日，我国首艘电磁弹射型航空母舰——福建舰，在海南三亚某军港正式交接入列，舷号18，标志着中国海军迈入“三航母”时代，福建舰的满载排水量为80000余吨．80000这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 从正面看如图所示的几何体，得到的形状图为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为（ ）． 0 1 2 8 A. 8 B. 7 C. 5 D. 10 9. 自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别是的边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “a与2的和是正数”用不等式表示为______． 12. 我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）____________． 13. 一个不透明的袋子中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了次后，发现有次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有_______个． 14. 如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 15. 在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成作答 （1）计算：； （2）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得． 第一步 移项，得． 第二步 合并同类项，得． 第三步 x系数化为1，得． 第四步 根据以上材料，解答下列问题： ①去分母的依据是不等式基本性质______；（填“1”或“2”或“3”） ②在解答过程中，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______； ③请直接写出不等式的正确解集． 17. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式的解集． 18. 书法是我国优秀传统文化瑰宝，一般分为行书、草书、隶书、篆书和楷书五大类，在每一大类中又细分若干小的门类．为了丰富学生课后服务课程，某校打算根据学生最喜爱的书法门类设置课程数量．计划设置行书、草书、隶书、篆书、楷书五个课程，现随机从全校的学生中抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与问卷调查的学生共有______人，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共有名学生，请根据统计数据，判断该校大约需要准备多少本篆书字帖才能满足学生使用；（注：选择篆书的同学每人一本篆书字帖） （3）假如你是校领导，请根据该校学生有意向学习书法的情况给出一条合理化建议． （4）李磊和王明分别从这五个课程里任选一种，请利用树状图或表格求他俩选同一种课程的概率．（行书、草书、隶书、篆书、楷书分别用、、、、表示） 19. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 20. 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．（参考数据：，，，） （1）图2中，______； （2）靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）．求乘客水杯的最大高度． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 斯库顿定理：如图1．在中，为的平分线，则．下面是该定理的证明过程： 证明：如图2，是的外接圆，延长交于点，连接． ∵为的平分线， ∴． ∵，（依据①__________________________） ．（依据②_________________________） 又， ． ． …… 任务： （1）证明过程中的依据是： ①__________________________________． ②__________________________________． （2）将证明过程补充完整： （3）如图3．在圆内接四边形中，对角线，相交于点．若，，，，，请利用斯库顿定理，直接写出线段的长． 22. 综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … （1）【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； （2）【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 23. 综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点的对应点为点． 【猜想证明】 （1）如图1，过点作交于点，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接、，当的面积为时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（一） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，比较四个数的大小，正数大于零，零大于负数，因此正数最大． 【详解】解：∵ 正数大于零，零大于负数， ∴ ， 故最大的数是， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算法则对选项逐一判断即可． 【详解】解：选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算正确，符合题意，选项正确； 选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，和不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除、合并同类项，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 3. 2025年11月5日，我国首艘电磁弹射型航空母舰——福建舰，在海南三亚某军港正式交接入列，舷号18，标志着中国海军迈入“三航母”时代，福建舰的满载排水量为80000余吨．80000这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 4. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴代数式有意义，需满足， 解不等式得． 5. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 6. 从正面看如图所示的几何体，得到的形状图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查从正面看简单组合体，熟练掌握从正面、左面、上面，三个方向看简单组合体的图形是解题的关键． 画出从正面看到简单几何体的图形即可求解． 【详解】解：从正面看简单几何体所看到的图形为 故选：A． 7. 如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，求余弦值等知识点．在中，由勾股定理得，求得，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：， 是直径， 直径为， ， 点的坐标为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由圆周角定理得：， ， 即的余弦值为． 故选：C． 8. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为（ ）． 0 1 2 8 A. 8 B. 7 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的计算是解题的关键．根据题意，运用待定系数法可得一次函数解析式，再令，代入计算即可． 【详解】解：∵秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， ∴设一次函数解析式为， 当时，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，得， 解得， ∴所挂物重为， 故选：B． 9. 自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，需要同学们挖掘隐含的条件．根据自行车的构造，可得四边形是梯形，，从而求出与的度数，代入扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，四边形是梯形，， ，， ，， 车轮的直径为， 半径， 则， ∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是． 故选：A． 10. 如图，在中，分别是的边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质及三角形面积的比例关系，解题的关键是利用中线分三角形面积为相等的两部分． 先根据中线性质确定与的面积关系，再确定与的面积关系，最后求出两者的面积比． 【详解】解：是的中线， ∴是中点，是中点， ∴，且， ∴，相似比为， ∴， 同理：， ∴， ∴， 是中线，，且， ∴， ∴． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “a与2的和是正数”用不等式表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用“a与2的和”即，再利用正数即大于0，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案为：． 12. 我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，掌握相关知识是解题的关键． 观察前面四幅图可知氢原子的个数是碳原子的2倍加2，据此规律求解即可． 【详解】解：第1种有机物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第2种有机物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第3种有机物的分子模型中，氢原子的个数为：， 第4种有机物的分子模型中，氢原子的个数为：， ， ∴第n种有机物的分子模型中，氢原子的个数为个， 烷烃的通式中的指的是． 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了次后，发现有次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有_______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据概率求数量．根据频率估计概率，摸到红球的频率为，以此估计红球概率，进而求出红球数量． 【详解】解：摸了1000次，摸到红球的次数为300次，因此摸到红球的频率为． 由于袋子中共有20个球，设红球有个，则摸到红球的概率为． 根据频率估计概率，有， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出平分， 则， 观察作图痕迹，得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 15. 在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=BE，再求出BE即可求解． 【详解】过E点作EG⊥AB于G点， ∵BE平分 ∴CE=EG, 设CE=EG=x, ∵, ∴AB= ∵S△ABC= S△ABE+S△BCE， 故 即 解得x=3 ∴CE=3, 延长CD交过B作BF⊥BC于F， ∵D是AB中点 ∴AD=BD 又AC∥BF ∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF ∴△ACD≌△BFD， ∴BF=AC=8, ∵AC∥BF ∴△CEO∽△FBO， ∴ ∴EO=BE=×=， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成作答 （1）计算：； （2）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得． 第一步 移项，得． 第二步 合并同类项，得． 第三步 x系数化为1，得． 第四步 根据以上材料，解答下列问题： ①去分母的依据是不等式基本性质______；（填“1”或“2”或“3”） ②在解答过程中，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______； ③请直接写出不等式的正确解集． 【答案】（1） （2）①2；②三；四；不等式的两边同除以时，不等号方向没有改变．③． 【解析】 【分析】（1）根据化简零指数幂、三角函数、化简绝对值、最简二次根式进行计算后合并同类项即可． （2）①根据不等式的性质，进行作答即可； ②根据解不等式的步骤，进行判断即可； ③去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：①去分母的依据是不等式基本性质2． ②在解答过程中，共出现三处错误，其中最后一处错误在第四步，错误的原因是不等式的两边同除以时，不等号方向没有改变； ③解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， x系数化为1，得． 17. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入求出的值可得反比例函数解析式，把代入所求反比例函数解析式得出的值，可得，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据，，结合图像找出一次函数图像在反比例函数图像下方时，横坐标对应的的取值范围即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点， ∴，， 解得：，， ∴反比例函数解析式为，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴由图像可知，的解集为或． 18. 书法是我国优秀传统文化瑰宝，一般分为行书、草书、隶书、篆书和楷书五大类，在每一大类中又细分若干小的门类．为了丰富学生课后服务课程，某校打算根据学生最喜爱的书法门类设置课程数量．计划设置行书、草书、隶书、篆书、楷书五个课程，现随机从全校的学生中抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参与问卷调查的学生共有______人，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共有名学生，请根据统计数据，判断该校大约需要准备多少本篆书字帖才能满足学生使用；（注：选择篆书的同学每人一本篆书字帖） （3）假如你是校领导，请根据该校学生有意向学习书法的情况给出一条合理化建议． （4）李磊和王明分别从这五个课程里任选一种，请利用树状图或表格求他俩选同一种课程的概率．（行书、草书、隶书、篆书、楷书分别用、、、、表示） 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）本 （3） 解：根据调查结果显示的统计图可知，学生喜欢书法的人数分布不均衡， 所以应考虑增加隶书教师的人数，减少篆书教师的人数． （4） 【解析】 【分析】（1）用草书的人数除以草书所占百分比即可求出调查的总人数，进而求出选择隶书的人数，补全统计图即可； （2）先求出样本中喜欢篆书的学生人数所占的百分比，即可估计出该校需要准备的篆书字帖满足名学生使用； （3）根据调查结果绘制的统计图得到一条合理建议即可； （4）画出树状图，求出所有的等可能情况数和他俩选同一种课程的情况数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵选择草书的学生有人，占调查总人数的， ∴调查的总人数为（人）， ∴选择隶书的学生有（人）， 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，选择篆书的学生有人， ∴（本）， 答：该校大约需要准备本篆书字帖才能满足学生使用． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中他俩选同一种课程的情况有种， ∴他俩选同一种课程的概率为． 19. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 20. 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．（参考数据：，，，） （1）图2中，______； （2）靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3，杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）．求乘客水杯的最大高度． 【答案】（1）125 （2） 【解析】 【分析】（1）过点B作，根据两直线平行，同旁内角互补的性质解答即可； （2）过点作的垂线交于点，利用在中，，求得即可解答，注意不要遗漏杯托E处凹陷的深度． 【小问1详解】 解：如图，过点B作， 则， ∵靠背垂直于地面，小桌板平行于地面， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线交于点， 由（1）可知， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴乘客水杯的最大高度约为． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 斯库顿定理：如图1．在中，为的平分线，则．下面是该定理的证明过程： 证明：如图2，是的外接圆，延长交于点，连接． ∵为的平分线， ∴． ∵，（依据①__________________________） ．（依据②_________________________） 又， ． ． …… 任务： （1）证明过程中的依据是： ①__________________________________． ②__________________________________． （2）将证明过程补充完整： （3）如图3．在圆内接四边形中，对角线，相交于点．若，，，，，请利用斯库顿定理，直接写出线段的长． 【答案】（1）①同弧或等弧所对的圆周角相等，②两角分别相等的两个三角形相似； （2）证明：∵，. . （3） 【解析】 【分析】（1）由图可知和所对的弧是同一条弧，根据同弧或者等弧所对圆周角相等可知结论；已知两角分别相等的两个三角形相似； （2）已知两角分别相等的两个三角形相似可知，进而得到比例关系，最后得出结论； （3）由斯库顿定理，得，从而求出的值，再根据两角分别相等的两个三角形相似可知：，进而得出的值，最后由线段和可知的值． 【详解】解：（1）①同弧或等弧所对的圆周角相等 ∵和所对的弧是同一条弧 ∴①应填：同弧或等弧所对的圆周角相等 ②两角分别相等的两个三角形相似 ∵题目中的结论是两个三角形相似，用的方式是三角形的两个角分别相等 ∴②应填两角分别相等的两个三角形相似 （2）略 （3） ∵. ∴弧弧 ∴ ∴平分. 由斯库顿定理，得 又∵，，，， ∴. 解得或（舍去）。 ∵, . ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ 【点睛】本题是一道阅读理解题，通过读材料运用已知条件得到斯库顿定理，理解并会运用斯库顿定理是解题的关键． 22. 综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … （1）【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； （2）【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 【答案】（1）任务1：， 任务2：当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米 （2） 【解析】 【分析】（1）任务1：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点，设抛物线的解析式是，用待定系数法求出函数表达式； 任务2：解方程求出的值，再根据求出水火箭飞行的水平距离； （2）任务3：由可知，设发射台的高度为米，则抛物线的解析式为，求出点、的坐标，分别求出当抛物线经过点、时的值，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 任务1：解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点， 设抛物线的解析式是， 可得：， 解得：， ； 任务2：当时， 可得：， 解得：，， ， ， 当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米； 【小问2详解】 解：，， ， ， 整理可得：， 设发射台的高度为米， 则抛物线的解析式为， 当抛物线经过点时，则米， 点的坐标为， 可得：， 解得：； 当抛物线经过点时，则， 点的坐标为， 可得：， 解得：， ． 23. 综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点的对应点为点． 【猜想证明】 （1）如图1，过点作交于点，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接、，当的面积为时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵将矩形沿所在直线翻折，点的对应点为点， ∴垂直平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，根据折叠的性质得出垂直平分，，，根据垂直平分线的性质得出，根据平行线的性质结合等角对等边可证明，进而得出，可得四边形是菱形； ②根据折叠的性质结合勾股定理得出，，设，在中，利用勾股定理列方程求出的值，即可求出菱形的周长； （2）分点在下方和上方两种情况，利用矩形的判定定理、折叠的性质及勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②∵将矩形沿所在直线翻折，点的对应点为点，点恰好落在边上， ∴，，，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 由①可知，四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 【小问2详解】 解：如图，当点在下方时，过点作，交于，交于，延长，交于， ∵，， ∴，即， ∵的面积为， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， ∴； 如图，当点在上方时，过点作于，交延长线于， 同理可得，，四边形是矩形，， ∴， ∵为的斜边， ∴， ∴， ∴此种情况不存在； 综上所述：的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $