精品解析：2025年山西省临汾市浮山县中考一模数学试题

2025年山西省临汾市浮山县中考一模数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”在古城三件宝中，漆器列为首．它外观古朴雅致、构造精细、漆面光洁，手感细腻滑润，为漆器中之精品．如图是平遥推光漆器螺钿镶嵌梅兰竹菊吉祥六角笔筒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某校在3月20日开展了“传承书法风采，共创魅力校园”活动，在这次活动中五位评委给甲同学的综合评估成绩分别为10，7，8，9，10．下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为8 B. 众数为9 C. 中位数为9 D. 中位数为8 5. 戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 6. 大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售．当这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同．设这种衬衣每件原价为元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在等腰直角三角形中，，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 12. 粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为______．（结果精确到0.01） 13. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为______． 14. 如图，在中，为直径，切于点，连接交于点，连接，若，，则______． 15. 如图，在正方形中，是边上的一点，连接，的平分线与交于点，连接交于点，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. （位似作图是一种利用位似变换的性质进行作图的方法，它的基本步骤包括：①确定位似中心；②连接位似中心和原图的关键点；③根据相似比确定新图形的关键点；④顺次连接上述确定的各点，得到放大或缩小的图形． 已知：如图，点和． 请根据上述材料，用尺规作图的方式作，使得和关于点位似（在点的异侧，点A，B，C的对应点分别为点，且相似比为． 作图后，请完成下列任务： 任务一：小明发现和有一定的关系，请你帮助小明写出这一关系：______． 任务二：小明在改变了的形状和点的位置后，发现上述结论依然成立，你能证明这一结论吗？ 18. 2024年12月4日，春节申遗成功，标志着国际社会对中国传统文化的认可，增强了文化自信，促进了文化的传承与保护．某校开展以“蛇年献瑞闹新春，文化争锋传薪火”为主题的春节知识竞赛，赛后随机抽取了部分学生的成绩进行调查，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图． （2）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为______度． （3）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． （4）赛后，学校又开展了以“动物生肖”为主题的演讲比赛，主题由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着灵蛇、祥龙、骏马，依次记作S，L，M，卡片除正面字样不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录生肖后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题是同一个生肖的概率． 19. 小张与小王一起承包土地作为果园基地，果园里种植了苹果树和梨树，一共棵．已知去年每棵苹果树平均产果千克，每棵梨树平均产果千克，果园总产量为千克，果园里种植了多少棵苹果树和多少棵梨树？ 20. 《黑神话：悟空》选取的山西古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇．隰县小西天是临汾市的一处佛教寺院，它以布局新颖、精巧玲珑、格调别致而著称．某“综合与实践”小组开展利用标杆来测量摩云阁AB的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量，测量报告如下： 课题 测量摩云阁的高度 成员 组长： 组员：、、、 测量工具 卷尺、标杆等 测量 示意图 1．选取与摩云阁底部在同一水平地面上的，两点，分别垂直地面竖立两根高度相同的标杆和，且摩云阁、标杆和在同一竖直平面内． 2．从标杆后退一定距离到处，从处观察点，点，，在同一直线上． 3．从标杆后退一定距离到处，从处观察点，点，，也在同一条直线上，且，，，，在同一条直线上． 测量数据 标杆，的高度 两标杆间隔 标杆到点的距离 标杆到点的距离 请你根据以上测量数据，帮助该小组求出摩云阁的高度． 21. 下面是小明的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 今天，我们学习了锐角三角函数，知道在直角三角形ABC中，正弦等于对边比斜边，如；余弦等于邻边比斜边，如；正切等于对边比邻边，如；其中的对边分别为a，b，c． 我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系式： 正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即． 我认真思考，探究过程如下： 【探索证明】 已知：如图，在锐角三角形中，的对边分别为a，b，c． 求证：． 证明：如图，过点A作于点， 则． 都是直角三角形． 在中，，即， ∴． 在中，，即， ． ， 即． 的对边分别为b，c， ． …… 任务： （1）帮助小明将材料中的证明过程补充完整． （2）已知在锐角三角形中，，则的周长为______（参考数据： 22. 学科实践 驱动任务： “天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究． 研究步骤： （1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面． （2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道． 问题解决： （1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式． （2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到） 23. 综合与实践 问题情境： 如图1，在Rt中，是斜边上的中线． 初步探究： （1）如图2，将沿方向平移，当点落在点的位置时，D，B的对应点分别是、，连接、．“笃学”小组发现四边形的形状是矩形，请你证明这一结论． 深入思考： （2）“勤思”小组将绕点顺时针旋转得到，、的对应点分别是N，M，如图3，当时，与交于点E，与，分别交于点P，Q，请判断与的关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）若，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山西省临汾市浮山县中考一模数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，多项式除以单项式，积的乘方运算，完全平方公式的应用，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3. “平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”在古城三件宝中，漆器列为首．它外观古朴雅致、构造精细、漆面光洁，手感细腻滑润，为漆器中之精品．如图是平遥推光漆器螺钿镶嵌梅兰竹菊吉祥六角笔筒，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，可得选项D的图形． 故选：D． 4. 某校在3月20日开展了“传承书法风采，共创魅力校园”活动，在这次活动中五位评委给甲同学的综合评估成绩分别为10，7，8，9，10．下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为8 B. 众数为9 C. 中位数为9 D. 中位数为8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，众数，根据中位数以及众数的定义求解即可． 【详解】解：将五位评委给甲同学的综合评估成绩从小到大排列为：7，8，9，10，10． ∴中位数为9，众数为：10 故选∶C 5. 戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 6. 大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长． 【详解】解：∵为的黄金分割点， 故选：B． 7. 某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售．当这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同．设这种衬衣每件原价为元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同，列出方程即可． 【详解】解：设这种衬衣每件原价为元，由题意，得：； 故选C． 8. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，掌握其性质和准确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点F，根据角平分线的性质得出，即可求的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，      由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在等腰直角三角形中，，以为直径画半圆交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．设中点为点O，连接，先证得，再根据阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：设中点为点O，连接， ∵是半圆的直径， ∴O是半圆的圆心，， ∵是等腰直角三角形， ∴D是中点． ∴， ∴， ， ， ∴阴影部分的面积， ， ， 故选：A． 10. 如图，在中，，，和的平分线分别交BC于点E，F，与交于点，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质．在取点，使，连接，，交于点，证明四边形是菱形，利用勾股定理求得，再证明四边形是平行四边形，由此可以求出长． 【详解】解：在取点，使，连接，，交于点， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则； ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12. 粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为______．（结果精确到0.01） 【答案】0.93 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知，随着试验次数的增加，种子发芽率逐渐稳定在0.93附近， ∴可估计这种农作物种子的发芽率为0.93， 故答案为：0.93． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键；根据k的几何意义求出，进而求出，再根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：由题意知：四边形是矩形， 点在的图象上， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 14. 如图，在中，为直径，切于点，连接交于点，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质等，由圆周角定理得，由切线的性质得，即得，利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径，切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，是边上的一点，连接，的平分线与交于点，连接交于点，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，作，交于点，先利用勾股定理求出，再根据角平分线的性质定理可得，证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后利用勾股定理可得，，最后证出，可得的长，证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，求一个根的算术平方根等知识． （1）先求负整数指数幂，零指数幂，求一个根的算术平方根，然后再进行加减运算即可． （2）先对分式进行化简，然后代数值计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 当时， 原式 17. （位似作图是一种利用位似变换的性质进行作图的方法，它的基本步骤包括：①确定位似中心；②连接位似中心和原图的关键点；③根据相似比确定新图形的关键点；④顺次连接上述确定的各点，得到放大或缩小的图形． 已知：如图，点和． 请根据上述材料，用尺规作图的方式作，使得和关于点位似（在点的异侧，点A，B，C的对应点分别为点，且相似比为． 作图后，请完成下列任务： 任务一：小明发现和有一定的关系，请你帮助小明写出这一关系：______． 任务二：小明在改变了的形状和点的位置后，发现上述结论依然成立，你能证明这一结论吗？ 【答案】如图，即为所作图形． 任务一：； 任务二：成立，改变了的形状和点的位置后， 证明：由作图知， ． ． ． ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作位似图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 作图：连接并延长，截取，按照同样的方式确定点的位置，再顺次连接即可； 任务一：利用两边成比例且夹角相等证明，得到，即可证明； 任务二：同任务一证明即可． 【详解】解：任务一：， 由作图知， ∵， ∴， ∴， ∴； 任务二：略 18. 2024年12月4日，春节申遗成功，标志着国际社会对中国传统文化的认可，增强了文化自信，促进了文化的传承与保护．某校开展以“蛇年献瑞闹新春，文化争锋传薪火”为主题的春节知识竞赛，赛后随机抽取了部分学生的成绩进行调查，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图． （2）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为______度． （3）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． （4）赛后，学校又开展了以“动物生肖”为主题的演讲比赛，主题由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着灵蛇、祥龙、骏马，依次记作S，L，M，卡片除正面字样不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录生肖后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题是同一个生肖的概率． 【答案】（1）补全条形图如下： （2）108 （3）1080人 （4）甲、乙两位选手演讲的主题是同一个生肖的概率 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，用样本估计总体，画树状图或列表法求概率； （1）由D等级人数和占比求出抽取的总人数，再求出B等级的学生人数，补全条形统计图即可； （2）由乘以B等级所占百分比即可得到扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数； （3）先求出抽查达到“优秀”等级的学生人数所占百分比，再乘以即可； （4）列表求出总的情况数，再求出甲、乙两位选手演讲的主题是同一个生肖的情况数，最后求概率即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生总人数为：（人）， B等级的学生人数为：（人）， 图略； 【小问2详解】 解：扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：108； 【小问3详解】 解：由题意可得：（人）． 答：估计该校参加竞赛的学生中达到“优秀”等级的学生为1080人． 【小问4详解】 解：根据题意可画如下表格： 甲 乙 S L M S L M 由表格可知：共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题是同一个生肖的情况有3种，分别是，，， 甲、乙两位选手演讲的主题是同一个生肖． 19. 小张与小王一起承包土地作为果园基地，果园里种植了苹果树和梨树，一共棵．已知去年每棵苹果树平均产果千克，每棵梨树平均产果千克，果园总产量为千克，果园里种植了多少棵苹果树和多少棵梨树？ 【答案】果园里种植了棵苹果树，棵梨树． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 设果园里种植了棵苹果树，棵梨树，根据题意列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设果园里种植了棵苹果树，棵梨树， 根据题意，得， 解得， 答：果园里种植了棵苹果树，棵梨树． 20. 《黑神话：悟空》选取的山西古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇．隰县小西天是临汾市的一处佛教寺院，它以布局新颖、精巧玲珑、格调别致而著称．某“综合与实践”小组开展利用标杆来测量摩云阁AB的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量，测量报告如下： 课题 测量摩云阁的高度 成员 组长： 组员：、、、 测量工具 卷尺、标杆等 测量 示意图 1．选取与摩云阁底部在同一水平地面上的，两点，分别垂直地面竖立两根高度相同的标杆和，且摩云阁、标杆和在同一竖直平面内． 2．从标杆后退一定距离到处，从处观察点，点，，在同一直线上． 3．从标杆后退一定距离到处，从处观察点，点，，也在同一条直线上，且，，，，在同一条直线上． 测量数据 标杆，的高度 两标杆间隔 标杆到点的距离 标杆到点的距离 请你根据以上测量数据，帮助该小组求出摩云阁的高度． 【答案】摩云阁的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，运用等角的三角函数值相等是解题的关键． 由题意得：都是直角三角形，设摩云阁的高度为，由，得到，由，得到，再由即可求解． 【详解】解：由题意得都是直角三角形． 设摩云阁的高度为． 在中，， ． ， 在中，． ． 在中，， ． ， 在中，． ． ， ． 解得． 答：摩云阁的高度为． 21. 下面是小明的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 今天，我们学习了锐角三角函数，知道在直角三角形ABC中，正弦等于对边比斜边，如；余弦等于邻边比斜边，如；正切等于对边比邻边，如；其中的对边分别为a，b，c． 我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系式： 正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即． 我认真思考，探究过程如下： 【探索证明】 已知：如图，在锐角三角形中，的对边分别为a，b，c． 求证：． 证明：如图，过点A作于点， 则． 都是直角三角形． 在中，，即， ∴． 在中，，即， ． ， 即． 的对边分别为b，c， ． …… 任务： （1）帮助小明将材料中的证明过程补充完整． （2）已知在锐角三角形中，，则的周长为______（参考数据： 【答案】（1）证明：如图，过点A作于点， 则． 都是直角三角形． 在中，，即， ∴． 在中，，即， ． ， 即． 的对边分别为b，c， ， 同理可得， ∴． （2）． 【解析】 【分析】题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键； （1）根据题意及三角函数的定义可进行求解； （2）根据题中所给正弦定理可得a、c的长，进而问题可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 即的周长为． 22. 学科实践 驱动任务： “天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究． 研究步骤： （1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面． （2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道． 问题解决： （1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式． （2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到） 【答案】（1）所求抛物线的表达式为；（2）通过隧道的车辆应限制高度为． 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意，建立平面直角坐标系．设所求抛物线的表达式为．根据题意可得．得出点的坐标为，点的坐标为．再根据待定系数法即可求出抛物线的表达式． （2）分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G．由题可知，，求出点G，H的坐标分别为．再根据该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系． 设所求抛物线的表达式为． 根据题意可得． 点的坐标为，点的坐标为． 将点的坐标分别代入．得， 解得， 所求抛物线的表达式为． （2）解：如图，分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G． 由题可知，， 点G，H的横坐标分别为． 当时，． 点G，H的坐标分别为． 该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有， ． 答：通过隧道的车辆应限制高度为． 23. 综合与实践 问题情境： 如图1，在Rt中，是斜边上的中线． 初步探究： （1）如图2，将沿方向平移，当点落在点的位置时，D，B的对应点分别是、，连接、．“笃学”小组发现四边形的形状是矩形，请你证明这一结论． 深入思考： （2）“勤思”小组将绕点顺时针旋转得到，、的对应点分别是N，M，如图3，当时，与交于点E，与，分别交于点P，Q，请判断与的关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：在中，是斜边的中线， ∴， 由平移可知， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：．理由如下： 由平移性质得，， 由旋转性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，则； （3）四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边中线得，由平移可知，那么，故四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形； （2）由平移性质和旋转性质得，，利用直角三角形的两个锐角互余可推导出，进而可得； （3）连接，先根据直角三角形的性质得到，，利用锐角三角形函数定义得到，，进而解直角三角形分别求得，，，，然后由求解四边形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵是斜边上的中线， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴四边形的面积为 ． 【点睛】本题考查了旋转，平移的性质，直角三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，熟练掌握知识点并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $