2026年江苏省南京市中考数学二轮模拟练习卷

2026年江苏省南京市 中考数学二轮模拟练习卷 一、单选题 1．实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（    ） A． B． C． D． 2．2026南京北岸马拉松约有71000人报名，用科学记数法表示71000是（   ） A． B． C． D． 3．已知点在一次函数的图像上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 8．设一元二次方程的两个实数根分别是和，则_____． 9．若圆锥的底面半径长为6，母线长为12，则其侧面展开图的圆心角度数是______°． 10．如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 11．若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 12．图1是放在水平桌面上的酒杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，，D是的中点．当酒杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将酒杯绕点F缓缓倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内白酒的最大深度是______． 13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为________． 14．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 15．某厂工业废气年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为______． 16．如图，在Rt中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P． 求证：PA•PB=PC•PD．    19．按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别，为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______，______； (2)抽样调查数据的中位数所在类别为______类； (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． 20．为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． (1)在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： (2)当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 21．如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 22．如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时，，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．求小桌板桌面的宽度（参考数据，，） 23．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是______，______； (3)已知，．若该函数的图像与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 24．折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年江苏省南京市 中考数学二轮模拟练习卷》参考答案 1．C 【分析】本题考查了数轴、整式的加减、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，，，再比较与的大小，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，，， ， ∴， ∴在这四个代数式中，结果最小的是， 故选：C． 2．C 【分析】只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，其中，当原数绝对值大于10时，等于原数的整数位数减1． 【详解】解：∵是五位整数，将小数点向左移动4位可得，， ∴． 3．D 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图像上， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，异号， ∴ 故选：D． 4．D 【分析】由，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 5．A 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴． ∴四边形是矩形 ∴ ∵菱形，对角线轴 ∴ ∵菱形的面积为， ∴ 故选：D． 7．x≥3 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 8． 【分析】先根据韦达定理求出，，再代入求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴根据韦达定理，，， ∴． 9．180 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长，利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为． 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，根据弧长公式可得 解得． 10．50 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解． 【详解】解：如图，连接． ， ． 是的直径，是的弦，且， ， ． 11．或/或 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 12．/ 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识．以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内白酒的最大深度是的最大值，即可求解． 【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图， ∵，， ∴， ∴，故当最大时，最大； ∵高脚杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． ∴轴，， 则，，， ∴，， ∴，则， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大，最大值为， 此时，的最大值为， ∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示， 则此时酒杯内白酒的最大深度就是图1中的最大值， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，依题意得，根据点得，由旋转的性质得，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5，由此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为5， ∴， ∵点， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14． 【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 15． 【分析】本题主要考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用，熟练掌握利用平均变化率公式 建立方程是解题的关键． 根据平均每年减少的百分率 ，依次表示出一年后和两年后的废气排放量，再根据两年后排放量为144万立方米这一条件，列出方程． 【详解】解：设平均每年废气排放量减少的百分率为x， 根据题意列方程得， 故答案为：． 16．或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重点是利用分类讨论思想分析与的对应角关系． 根据勾股定理求出，分和，利用对应边成比例讨论即可． 【详解】在Rt中，，，，是的中点， ，， 当， ，即， 解得； 当， ，即， 解得， 或， 故答案为：或． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ∴； （2）解：， ， ， ， ，， ∴． 18．见解析 【分析】连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论． 【详解】连接AC、BD． ∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△ACP∽△DBP，∴，∴PA•PB＝PC•PD．    【点睛】本题是通过相似三角形的性质来证明相交弦定理，关键是根据圆周角定理求出相等的角． 19．(1)64，120，30 (2) (3)人，建议合理即可 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，中位数等知识点，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）先由A的人数除以占比求出总人数，再由总人数乘以的占比即可求解，再由总人数减去组的人数即可求解； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可，建议合理即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ∴， 故答案为：64，120，30； （2）解：总人数人，则中位数为第和人视力的平均数，而组人，组人， ∴中位数在组， 故答案为：； （3）解：（人）， 学校可以定期组织视力检查，增加户外活动时间，培养正确的读写姿势和用眼习惯等． 20．(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有：，共1种， ∴能够让小灯泡发光的概率为． 故答案为：． （2）解：根据题意， 可以画出如下的树状图 ： 由树状图可以看出， 所有可能出现的结果共有 12 种， 这些结果出现的可能性相等， 能够让灯泡发光的有 6 种结果， 能够让灯泡发光的概率为： ． 21．(1) (2)当时，有最大值，最大值为242平方米 【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案； （2）将关于的二次函数写成顶点式，则可得答案． 【详解】（1）解：设矩形的边长为x米，则，， ∴矩形的面积， 由题意可得， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为242平方米． 【点睛】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，正确地列式，会求二次函数的最值，是解题的关键． 22．小桌板桌面的宽度约为 【分析】延长交于点E，延长交于点F，设，则，解直角三角形得到，，则可得到；解直角三角形得到，根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点E，延长交于点F， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：小桌板桌面的宽度约为． 23．(1)见解析 (2)、 (3)或 【分析】（1）根据根的判别式即可证明； （2）计算当时的函数值即可； （3）结合图像，分类讨论进行解题． 【详解】（1）证明：当时， ， ， ∴不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； （2）解：当时，； 当时，； ∴该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是、； （3）解：当时，抛物线开口向上，经过定点、，如图， 点在第一象限，要使该函数的图像与线段恰有1个公共点， 则有； 当时，抛物线开口向下，经过定点、，如图， 点在第二象限，要使该函数的图像与线段恰有1个公共点， 则点只能在抛物线内部， 即时，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 24．(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可， ∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分， ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $