精品解析：江西抚州市2025-2026学年度下学期学生学业水平监测卷 九年级数学（期中）

2025-2026学年度下学期学生学业水平监测试卷 九年级数学（期中） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 四个有理数，0，，4，其中最小的有理数是（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】根据有理数大小比较法则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ，，， ， 因此最小的有理数是． 2. 从“两弹一星”到“天河”超算，中国科技不断刷新“中国速度”，“天河二号”持续计算速度可达每秒33900000000000000次，若连续运行10分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】B 【解析】 【分析】先换算时间单位，计算总计算次数，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）改写结果，即可得到答案． 【详解】 10分钟 秒， 总计算次数为：， 根据科学记数法的定义改写结果，即． 3. 中国的剪纸艺术博大精深，石榴象征“各民族像石榴籽一样紧紧相拥”，表达团结和谐的时代精神，如图是石榴的剪纸图，既是轴对称，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称，又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意. 【点睛】轴对称图形的关键是找到对称轴，中心对称图形的关键是找到对称中心. 4. 米斗为古时称量粮食之器具，形制古朴，口阔底敛，藏市井烟火，载千年农耕文脉，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由图可知，所给几何图形的俯视图应满足“大正方形里有一个小正方形（大正方形为上开口，小正方形为下底面）”和“大正方形和小正方形的对应顶点用实线连接（即折角处的线）”， 选项中满足要求的只有D选项． 5. 央视2026年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骑”应运而生，设计融传统纹样与时代风华．现将印有这四个吉祥物的四张卡片背面朝上洗匀，小临随机抽取一张后放回洗匀，小川再随机抽取一张，则两人抽到相同吉祥物的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：用A，B，C，D分别表示卡片上的四种吉祥物，列表如下： 小川 小临 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 如表，共有16种等可能的事件，其中两人抽到相同吉祥物的有4种， 故两人抽到相同吉祥物的概率为． 6. 如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，当时，两种情形，确定解析式，然后判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， 当时，如图， ∴； 当时，如图， ∵点以的速度从点出发沿运动， ∴， ∴， ∴； 选项符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 8. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 9. 已知点，若点A在过点且与x轴平行的直线上，线段的长为________． 【答案】 1 【解析】 【分析】先根据轴，得到点A与点P的纵坐标相等，求出，进而得到点A的坐标，再求解即可． 【详解】解：∵点A在过点且与x轴平行的直线上， ∴，， ∴， ∴． 10. 以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由工程问题公式：工作量工作效率工作时间， 由题意，可知甲工作组的工作效率为每天做x个，乙工作组的工作效率为每天做个， 由“甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等”，列方程， 得． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在同一条直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数，勾股定理等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，…的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，…都是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线过点，的函数表达式为． 则，解得：， 函数表达式为． ∵的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …， 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为：. 12. 如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）计算：． （2）如图，在中，，，D、E、F分别是、、边上的中点．求证：四边形是正方形． 【答案】（1） （2） 证明：∵D、E、F分别是、、上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先求零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后进行加减运算即可． （2）由三角形中位线的判定定理和性质得出，，再根据，进而可得出，再由即可判定． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 16. 如图，点C是以为直径的半圆上任意一点，连接，，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图中，画出的中线； （2）在图中，画出的角平分线． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图与圆的有关性质，解题的关键是利用直径所对圆周角为直角、三角形重心、中位线及等腰三角形性质等知识，找到作图所需的关键点． （）连接，利用是中点，是中点，故三角形中线交于一点，确定为中点，从而得到中线； （）先在等腰三角形中三线合一连接并延长，找到的中点，再连接交于，利用“等弧所对圆周角相等”的性质，得到为的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出两点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用图象法直接作答即可. 【小问1详解】 解：由题意，， ∴， ∴，， 把，代入，得 ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，或. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分 共24分） 18. 如图是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一条直线上，；测得，，，连接． （1）求证：； （2）求雕塑的高（即点E到直线的距离）．（精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） 证明：， ，， ， ， ， ； （2）雕塑的高约为 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到、，进而得到，再利用三角形内角和定理求出； （2）过点E作，交于点F，利用和求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作，交于点F， 在中，，， ， ， 在中，， ， 雕塑的高约为． 19. 为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； （2）该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1） 甲种滑动变阻器单价为34元，乙种滑动变阻器单价为44元 （2） 此次至少需购买20个甲种滑动变阻器 【解析】 【分析】（1）根据二元一次方程组的购买问题关系：总价格=单价×数量，分别设甲、乙两种滑动变阻器的单价为x元，y元，再根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意，设购买a个甲种滑动变阻器，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，乙种滑动变阻器的单价为y元， 则， 解得， ∴甲种滑动变阻器的单价为34元，乙种滑动变阻器的单价为44元； 【小问2详解】 解：设购买a个甲种滑动变阻器，则购买个乙种滑动变阻器 由题意，得， 解得， ∴此次至少需购买20个甲种滑动变阻器． 20. 如图，中，，以为直径的半交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是半的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又是半的半径， ∴是半的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等边对等角，得到和，从而得到，进而推出，借助，即可证明结论； （2）连接，通过（1）中的平行关系得到D为中点，通过等腰三角形三线合一的性质，得到，，利用勾股定理求出，再借助三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1），得， ∴， 又点O是的中点，即， ∴，即点D是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1），， （2）八年级的成绩更好， 理由为： 因为八年级成绩的中位数为，九年级成绩的中位数为，由于，所以八年级的成绩更好； （3）两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查统计图的应用、众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． （1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）利用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 在八年级的成绩中出现次，次数最多， 故； 九年级成绩中D组人数为人， 中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人． 22. 已知抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，直接写出线段取得最大值时p的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）代入点坐标，待定系数法求解析式即可； （2）（i）先通过对称轴公式求出D的坐标，设出点P的坐标，利用等腰直角三角形的性质，确定的中点与点P和点D的关系，并构建方程求出点P的坐标，即可计算求出各线段长，进而计算出面积； （ii）待定系数法求出直线的解析式，从而表示出点N的坐标，进而用含p的式子表示，得到关于p的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可． 【小问1详解】 解：代入和，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：（i）由（1），得抛物线的对称轴为直线， ∴， 如图，设的中点为，则，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴； （ii）设直线：， 代入，，得， 解得， ∴， 由题意，得，， ∴， ∵， 当时，取得最大值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转缩放问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，，相交于点O． （1）如图1，证明：； （2）由（1）得可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为，k的值为________； （3）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【类比探究】 （4）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．求的值． 【答案】（1） 证明：由正方形的性质，可得，，， ∴， ∴； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，通过和都是等腰直角三角形即可证明相似关系； （2）利用勾股定理，求出与的关系即可求出k； （3）利用旋转的性质，得到，再利用正方形的性质得到两个三角形中对应的直角相同，即可得到，从而求出比例； （4）类比（3）中的证明方式，先用菱形的性质求出，再利用垂直平分线的性质得到，从而借助等边对等角求出，再借助外角性质求出，即可得到，再通过，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的值，即可利用相似三角形的性质求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由正方形的性质，可得， ∴； 【小问3详解】 解：由旋转的性质，可得， 又由正方形的性质，可得， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：由旋转的性质，可得， 由菱形的性质，可得， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期学生学业水平监测试卷 九年级数学（期中） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 四个有理数，0，，4，其中最小的有理数是（ ） A. B. 0 C. D. 4 2. 从“两弹一星”到“天河”超算，中国科技不断刷新“中国速度”，“天河二号”持续计算速度可达每秒33900000000000000次，若连续运行10分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 3. 中国的剪纸艺术博大精深，石榴象征“各民族像石榴籽一样紧紧相拥”，表达团结和谐的时代精神，如图是石榴的剪纸图，既是轴对称，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 米斗为古时称量粮食之器具，形制古朴，口阔底敛，藏市井烟火，载千年农耕文脉，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 央视2026年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骑”应运而生，设计融传统纹样与时代风华．现将印有这四个吉祥物的四张卡片背面朝上洗匀，小临随机抽取一张后放回洗匀，小川再随机抽取一张，则两人抽到相同吉祥物的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长，点以的速度从点出发沿运动，同时点以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接和，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 9的算术平方根是_____． 8. 因式分解：______． 9. 已知点，若点A在过点且与x轴平行的直线上，线段的长为________． 10. 以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“抚州采茶戏”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个、甲工作组做100个所用的时间与乙工作组做80个所用的时间相等．若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在同一条直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________． 12. 如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）计算：． （2）如图，在中，，，D、E、F分别是、、边上的中点．求证：四边形是正方形． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 16. 如图，点C是以为直径的半圆上任意一点，连接，，点是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图中，画出的中线； （2）在图中，画出的角平分线． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分 共24分） 18. 如图是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一条直线上，；测得，，，连接． （1）求证：； （2）求雕塑的高（即点E到直线的距离）．（精确到，参考数据：，，） 19. 为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； （2）该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 20. 如图，中，，以为直径的半交于点D，过点D作于点E． （1）求证：是半的切线； （2）若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________；__________，__________； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 22. 已知抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，直接写出线段取得最大值时p的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转缩放问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，，相交于点O． （1）如图1，证明：； （2）由（1）得可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为，k的值为________； （3）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【类比探究】 （4）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $