精品解析：江西省抚州市2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

24---25学年下学期期中学习质量检测九年级数学学科检测卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，展示了中华传统文化的魅力．影片截止2025年4月3日，票房突破155亿元，数据155亿用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：B． 3. 如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据左视图进行观察即可得到答案． 【详解】解：左视图为， 故选：B． 4. 乌鸦喝水是我们从小就熟知的寓言故事，下面（ ）幅图比较符合故事情节． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据题意可知，水瓶里原有一部分水（未满），石子投入瓶中，这时水位会上升，上升至瓶口后乌鸦喝到水，此时水位会下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】解：根据分析可得，D选项比较符合故事情节 故选：D ． 5. 某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次） 0 1 2 3 4 5 人数（人） 1 2 9 12 10 6 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3次 B. 中位数是3次 C. 平均数是3.5次 D. 样本容量是40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，中位数，众数，样本容量．解题关键是掌握加权平均数、中位数的计算方法、众数和样本容量的定义． 根据加权平均数和中位数的计算方法，求出平均数和中位数可判断B、 C，根据众数和样本容量的定义判断A、D即可． 【详解】解：A. 出现次数最多的数据是次（人），因此众数是次，故该选项不符合题意； B. 排在第个和第个数据是，则中位数为，故该选项不符合题意； C. 平均数（次），故该选项符合题意； D. 样本容量，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中放置了一个正方体木盒的侧面展开图（木板厚度忽略不计）．已知， ，则该正方体木盒能装进的细木棒的最大长度是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，直角坐标系两点之间的距离，勾股定理与最短路径问题，先由直角坐标系求出正方形的边长为，再画出正方体最短路径图，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 由图形可得正方形的边长为， 如图，正方体纸盒能装进的小木棒，最大长度为， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 绝对值小于2的所有整数的和是_______． 【答案】0 【解析】 【分析】找出绝对值小于2的所有整数，求出之和即可． 【详解】解：绝对值小于2的所有整数有，0，1，之和为． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 9. 公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 10. 观察下列关于x的单项式，探究其规律：… 按照上述规律，第10个单项式是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据题意得到规律进行解答即可． 【详解】解：由题意可得：第个单项式为， 故第10个单项式是， 故答案为：． 11. 如图，电流表中，把指针旋转中心计为点，针尖为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点，连接．若，，则指针的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的计算，勾股定理的运用，掌握锐角三角函数值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，如图所示，过点作于点，得到，由锐角三角函数的计算得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，如图所示，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴指针的长度是， 故答案为： ． 12. 已知点，的半径为，切于点，点为上的动点，当是等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题的关键．根据题意画出图形分三种情况讨论：当点在轴上，，，当点是切点时，，进而可以解决问题． 【详解】解： 如图，连接， ，的半径为， ，， ， 切于点， ， ∴ ， ， ， ， ； 当时，连接交轴于点，连接 切于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ 切于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 综上所述：当P的坐标为或 故答案为：或． 三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零次幂、特殊三角函数值、乘方及算术平方根进行求解即可． （2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） （1）在图1中，作出中边上的高； （2）在图2中，作出一个菱形． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接即可； （2）延长交于点，令交于点，连接，，则四边形为所求． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即是中边上的高； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等腰三角形的性质，菱形的判定是解题的关键． 15. 南丰县隶属江西省抚州市，有优美的自然景观和深厚的人文历史．彤彤一家在南丰游玩后，打印了四张景观照片（照片除所拍风景不一样外其他均相同），分别是曾巩文化园（记作A）、观必上乐园（记作B）、赣东第一高峰军峰山（记作C）、潭湖生态养生岛（记作D），将这四张照片背面朝上放在桌面上，洗匀． （1）彤彤从这四张照片中随机抽取一张，则抽到军峰山的概率为 ； （2）彤彤从这四张照片中随机抽取两张，并在这两张照片的背面写上祝福语分别送给爸爸和妈妈．请用列表法或画树状图法求彤彤抽取的两张照片中有观必上乐园和曾巩文化园的概率． 【答案】（1） （2）彤彤抽取的两张照片中有观必上乐园和曾巩文化园的概率是 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到东峰的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及彤彤抽取的两张照片中有观必上乐园和曾巩文化园的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到东峰的结果有1种， 彤彤从这四张照片中随机抽取一张，抽到东峰的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中彤彤抽取的两张照片中有观必上乐园和曾巩文化园的结果有2种， 彤彤抽取的两张照片中有观必上乐园和曾巩文化园的概率是． 16. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）面积为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （1）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （2）分别求出、的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 把 代入 中，得， ， 轴， ∴点的横坐标为 把代入，， ∴ ∴面积为． 17. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若 ，的半径为，求的长度． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ∴. ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的证明，求弧长，解题的关键是掌握圆心角定理，切线的判定定理； （1）连接，根据是的直径，得出，易得，结合，推出，则，即可求证是的切线； （2）根据弧长公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵的半径为， ∴ ∴的长度为 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 下面是井冈山中学数学兴趣小组在完成项目“测量井冈山主火炬雕塑中火把的长度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量测量井冈山主火炬雕塑的长度 项目背景 井冈山南山公园火炬广场“星火相传”主题雕塑群，主火炬雕塑到地面的垂直高度，寓意毛泽东同志34岁上井冈山建立革命根据地，雕塑底座高为，标志着井冈山革命根据地1927年创立，主火炬雕塑建在高为的花岗岩高台上．“星火相传”主题雕塑群不仅是井冈山红色文化的象征性地标，更是中国革命精神与现代艺术结合的典范，为了让大众更深入地了解雕塑，井冈山中学数学兴趣小组开展了测量主火炬雕塑中的相关实践活动． 测量工具 测角仪、卷尺 测量示意图 测量过程 1．在示意图1中，高台面与地面平行，测得； 2．示意图2中，在高台上的处放置测角仪，测角仪高度为，测得火炬顶部的仰角为，把测角仪向右平移9米到处（在同一平面内）．测得火炬顶部的仰角为． 根据项目报告，完成以下测量目标： （1）如图1，求的度数； （2）如图2，小田根据表中测量数据，计算火把长度的过程： 解：在和中，，． ，，，． ∴可设，则 ， ； ． （3）请你补全求解长度的过程． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） （3） 解：在和中，，． ，， ，． ∴设，则，； ， ，即， 如图，作交于点，延长交于点， ， 四边形是矩形， ， 由题可知，， 由（1）知， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，三角形内角和定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设的顶点为，过点作于点，交的延长线于点，求出，得到； （2）利用解直角三角形的应用即可得到答案； （3）求出，即，作交于点，延长交于点，推出四边形是矩形，，求出，由（1）知，得到 ，求出． 【小问1详解】 解：如图，设的顶点为，过点作于点，交的延长线于点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在和中，，． ，， ，． ∴可设，则，； ； 故答案为：； 【小问3详解】 略 19. “千年瓷都”景德镇享誉中外，某公司团建在景德镇旅游数日，离开时在当地瓷厂购买了数件青花瓷碗、玲珑瓷茶杯作为纪念品．已知购买3件青花瓷碗和2件玲珑瓷茶杯需220元，购买5件青花瓷碗和4件玲珑瓷茶杯需390元． （1）每件青花瓷碗和玲珑瓷茶杯价格分别为多少元？ （2）该公司计划购进青花瓷碗和玲珑瓷茶杯两种纪念品共100件，且总费用不超过4100元，那么最多能购进青花瓷碗多少件？ 【答案】（1）每件青花瓷碗价格为50元，每件玲珑瓷茶杯的价格为35元 （2）最多能购进青花瓷碗40件 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是关键． （1）设每件青花瓷碗价格为x元，每件玲珑瓷茶杯的价格为y元，购买3件青花瓷碗和2件玲珑瓷茶杯需220元，购买5件青花瓷碗和4件玲珑瓷茶杯需390元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购进m件青花瓷碗，则购进件玲珑瓷杯，总费用不超过4100元，据此列不等式并解不等式即可． 【小问1详解】 设每件青花瓷碗价格为x元，每件玲珑瓷茶杯的价格为y元， 由题意得： 解得：. 答：每件青花瓷碗价格为50元，每件玲珑瓷茶杯的价格为35元. 【小问2详解】 设购进m件青花瓷碗，则购进件玲珑瓷杯，由题意得： 解得： 答：最多能购进青花瓷碗40件. 20. 课本再现 我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于．通过度量或剪拼可得出这一结论，图1，2分别是两位同学剪拼后得到的图形． 定理证明 （1）请你用图3证明“三角形的内角和是”； 已知：． 求证： ． 深入探究 （2）如图4，为确定四边形的内角和，你可以作辅助线 ，通过三角形内角和定理得出四边形的内角和 度； 结论应用 （3）如图5，在中，，为的中点，点在上，且，求的长． 【答案】 （1）证明：如图，过点作， 则，， ， ，即； （2）连接，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，由平角的定义得出，从而得出，即可得证； （2）连接，由（1）可得：，，结合，，计算即可得出答案； （3）由勾股定理得出，证明，得出，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）四边形的内角和是， 证明：如图，连接， 由（1）可得：，， ，， ， 四边形的内角和是； 故答案为：连接，． （3）在中，， ， 为的中点， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 近年来，短视频平台成为青少年获取信息，娱乐放松的重要渠道．为更好地了解青少年对短视频内容的偏好，引导平台优化内容推荐算法，某知名短视频平台开展了专项调查． 调查对象与方法： 目标群体：至周岁注册用户 抽样方式：从平台数据库中随机抽取名活跃用户 数据收集：通过用户问卷与后台观看记录结合的方式，统计用户标记为“最喜欢”的视频类别 分类标准：类：知识科普；类：娱乐搞笑；类：生活技能；类：其他． 初步数据整理：平台整理出部分数据，绘制成了如下条形统计图和扇形统计图． 根据以上统计信息，请你回答下列问题： （1）样本容量 ， ， ； （2）该平台拟计划对某区域内名该平台青少年用户开展一次“生活技能”互动教学活动，请根据样本数据估计大约需要准备多少份教学活动材料（每名用户一份材料）． （3）短视频中的娱乐搞笑类内容因其轻松幽默的特性吸引了广泛受众，但部分视频因价值引导取向不当，对社会文化生态和青少年成长构成潜在风险．如何规范此类内容，营造健康的上网环境，请你提出可供实施的建议． 【答案】（1） （2）大约需要准备份教学活动材料 （3）完善监管机制；强化平台责任；家庭和学校引导；鼓励正向创作；社会共治等 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据条形统计图求得的值，根据类的人数除以总人数求得的值，用类的占比，求得的值； （2）根据样本估计总体，用乘以类的占比，即可求解． （3）根据题意写出建议，言之有理即可． 【小问1详解】 解：，，则， 故答案为： ． 【小问2详解】 答：大约需要准备份教学活动材料 【小问3详解】 完善监管机制；强化平台责任；家庭和学校引导；鼓励正向创作；社会共治等 22. 综合与实践 问题情境：如图，是学校操场一角的学生课外劳动基地示意图，，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量米， 米，根据学校开展劳动教育的需要，现要对该土地进行种植区域划分，设计如下方案： 方案设计：如图，①取的中点，在的区域内种植西红柿；②过点作的垂线交抛物线于点，测得 米，又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角． 方案实施：学校课程中心的老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2． （1）请求出抛物线的函数表达式； （2）为了保证种植前期菠菜和豆角幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个形状的遮阳网，交于点，如图．当菠菜育苗区的面积是豆角育苗区的面积的倍时，请求出此时点的坐标； （3）为方便师生培育蔬菜，需要在上设置一个喷灌点，按的路径铺设水管，当图（）中遮阳网的面积最大，水管 的长度最短时，请你直接写出点的位置坐标． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）依题意，，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得，代入解析式求得，即可求解； （3）过点作轴于点，设，则，设的面积为，则，得出关于的关系，进而根据二次函数的性质，得出，进而根据轴对称的性质，得出当在上时，，此时的长度最短，进而求得直线的解析式，令，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，，，代入，得， 解得： ∴抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 ∵菠菜育苗区的面积是豆角育苗区的面积的倍，， 点到直线的距离为，即 将代入抛物线中，得 ∴ 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点， ∵， ，是的中点 ∴ ∴ 设，则 设的面积为，则 ∵ ∴有最大值 当时,有最大值 ∴ ∵是的中点，，则关于对称， ∴ ∴当在上时，，此时的长度最短， 设直线点的解析式为，代入 ∴ ∴， 将代入，得 ∴此时 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 （1）【模型发现】 在学习“全等三角形”后，数学兴趣小组发现了一些全等的基本图形，我们称其为模型．如图，已知，，，过点作直线，作于点，于点，则：，得，所以．通过作直角，构造全等三角形，此图形特点为直线上有三个直角，我们把此数学模型称为“一线三垂直”模型．若，，则的长是 (用含，的式子表示)． （2）【类比应用】 如图2，三角形纸片中，，，过点在的内部作一条射线，分别过点，作其垂线，垂足分别为，．若，．求纸片内切圆的半径． （3）【拓展变式】 如图3，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的坐标是，点在的正半轴上含原点运动，点在的正半轴上含原点运动，且．设阴影部分的面积为． ①当时，的值是否会变化？若变化，说明理由，若不变，求出的值用含的式子表示； ②当时，请直接写出的最大值 和最小值 (用含的式子表示)． 【答案】（1） （2） （3）①②，． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、求特殊三角形的内切圆的半径，解直角三角形的应用，熟练掌握以上性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应边相等解答； （2）证明得对应边相等，求得，勾股定理求得的长，进而求得内切圆的半径； （3）①过点作轴于点，轴于点，证明得出，即可得出； ②证明，得出，根据，进而求得的最小值与最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ． 又， ． ． ． 在和中， ． ． ， ． ， ． ． 在中， 纸片内切圆的半径． 【小问3详解】 解：①过点作轴于点，轴于点， ． ∵点的坐标是， ． ， ． ∴ ． ∴； ②如图， ∵点的坐标是， ∴，即， 同理可得， ∴ ∴ ∴ ∴当时，取得最大值为 当取得最大值时，取得最小值， ∵点在的正半轴上含原点运动，点在的正半轴上含原点运动， ∴当在原点时，取得最大值，即取得最大值 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴最小值为 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24---25学年下学期期中学习质量检测九年级数学学科检测卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，展示了中华传统文化的魅力．影片截止2025年4月3日，票房突破155亿元，数据155亿用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 3. 如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 乌鸦喝水是我们从小就熟知的寓言故事，下面（ ）幅图比较符合故事情节． A. B. C. D. 5. 某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次） 0 1 2 3 4 5 人数（人） 1 2 9 12 10 6 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3次 B. 中位数是3次 C. 平均数是3.5次 D. 样本容量是40 6. 如图，在平面直角坐标系中放置了一个正方体木盒的侧面展开图（木板厚度忽略不计）．已知， ，则该正方体木盒能装进的细木棒的最大长度是（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 绝对值小于2的所有整数的和是_______． 8. 因式分解：=_____． 9. 公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为_______． 10. 观察下列关于x的单项式，探究其规律：… 按照上述规律，第10个单项式是____． 11. 如图，电流表中，把指针旋转中心计为点，针尖为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖为点，连接．若，，则指针的长度是______． 12. 已知点，的半径为，切于点，点为上的动点，当是等腰三角形时，点的坐标为_____． 三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、化简： （1）； （2）． 14. 如图，在平行四边形中，为的延长线上一点，且．请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹） （1）在图1中，作出中边上的高； （2）在图2中，作出一个菱形． 15. 南丰县隶属江西省抚州市，有优美的自然景观和深厚的人文历史．彤彤一家在南丰游玩后，打印了四张景观照片（照片除所拍风景不一样外其他均相同），分别是曾巩文化园（记作A）、观必上乐园（记作B）、赣东第一高峰军峰山（记作C）、潭湖生态养生岛（记作D），将这四张照片背面朝上放在桌面上，洗匀． （1）彤彤从这四张照片中随机抽取一张，则抽到军峰山的概率为 ； （2）彤彤从这四张照片中随机抽取两张，并在这两张照片的背面写上祝福语分别送给爸爸和妈妈．请用列表法或画树状图法求彤彤抽取的两张照片中有观必上乐园和曾巩文化园的概率． 16. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 17. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若 ，的半径为，求的长度． 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 下面是井冈山中学数学兴趣小组在完成项目“测量井冈山主火炬雕塑中火把的长度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量测量井冈山主火炬雕塑的长度 项目背景 井冈山南山公园火炬广场“星火相传”主题雕塑群，主火炬雕塑到地面的垂直高度，寓意毛泽东同志34岁上井冈山建立革命根据地，雕塑底座高为，标志着井冈山革命根据地1927年创立，主火炬雕塑建在高为的花岗岩高台上．“星火相传”主题雕塑群不仅是井冈山红色文化的象征性地标，更是中国革命精神与现代艺术结合的典范，为了让大众更深入地了解雕塑，井冈山中学数学兴趣小组开展了测量主火炬雕塑中的相关实践活动． 测量工具 测角仪、卷尺 测量示意图 测量过程 1．在示意图1中，高台面与地面平行，测得； 2．示意图2中，在高台上的处放置测角仪，测角仪高度为，测得火炬顶部的仰角为，把测角仪向右平移9米到处（在同一平面内）．测得火炬顶部的仰角为． 根据项目报告，完成以下测量目标： （1）如图1，求的度数； （2）如图2，小田根据表中测量数据，计算火把长度的过程： 解：在和中，，． ，，，． ∴可设，则 ， ； ． （3）请你补全求解长度的过程． （结果精确到，参考数据：，，） 19. “千年瓷都”景德镇享誉中外，某公司团建在景德镇旅游数日，离开时在当地瓷厂购买了数件青花瓷碗、玲珑瓷茶杯作为纪念品．已知购买3件青花瓷碗和2件玲珑瓷茶杯需220元，购买5件青花瓷碗和4件玲珑瓷茶杯需390元． （1）每件青花瓷碗和玲珑瓷茶杯价格分别为多少元？ （2）该公司计划购进青花瓷碗和玲珑瓷茶杯两种纪念品共100件，且总费用不超过4100元，那么最多能购进青花瓷碗多少件？ 20. 课本再现 我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于．通过度量或剪拼可得出这一结论，图1，2分别是两位同学剪拼后得到的图形． 定理证明 （1）请你用图3证明“三角形的内角和是”； 已知：． 求证： ． 深入探究 （2）如图4，为确定四边形的内角和，你可以作辅助线 ，通过三角形内角和定理得出四边形的内角和 度； 结论应用 （3）如图5，在中，，为的中点，点在上，且，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 近年来，短视频平台成为青少年获取信息，娱乐放松的重要渠道．为更好地了解青少年对短视频内容的偏好，引导平台优化内容推荐算法，某知名短视频平台开展了专项调查． 调查对象与方法： 目标群体：至周岁注册用户 抽样方式：从平台数据库中随机抽取名活跃用户 数据收集：通过用户问卷与后台观看记录结合的方式，统计用户标记为“最喜欢”的视频类别 分类标准：类：知识科普；类：娱乐搞笑；类：生活技能；类：其他． 初步数据整理：平台整理出部分数据，绘制成了如下条形统计图和扇形统计图． 根据以上统计信息，请你回答下列问题： （1）样本容量 ， ， ； （2）该平台拟计划对某区域内名该平台青少年用户开展一次“生活技能”互动教学活动，请根据样本数据估计大约需要准备多少份教学活动材料（每名用户一份材料）． （3）短视频中的娱乐搞笑类内容因其轻松幽默的特性吸引了广泛受众，但部分视频因价值引导取向不当，对社会文化生态和青少年成长构成潜在风险．如何规范此类内容，营造健康的上网环境，请你提出可供实施的建议． 22. 综合与实践 问题情境：如图，是学校操场一角的学生课外劳动基地示意图，，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量米， 米，根据学校开展劳动教育的需要，现要对该土地进行种植区域划分，设计如下方案： 方案设计：如图，①取的中点，在的区域内种植西红柿；②过点作的垂线交抛物线于点，测得 米，又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角． 方案实施：学校课程中心的老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2． （1）请求出抛物线的函数表达式； （2）为了保证种植前期菠菜和豆角幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个形状的遮阳网，交于点，如图．当菠菜育苗区的面积是豆角育苗区的面积的倍时，请求出此时点的坐标； （3）为方便师生培育蔬菜，需要在上设置一个喷灌点，按的路径铺设水管，当图（）中遮阳网的面积最大，水管 的长度最短时，请你直接写出点的位置坐标． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 （1）【模型发现】 在学习“全等三角形”后，数学兴趣小组发现了一些全等的基本图形，我们称其为模型．如图，已知，，，过点作直线，作于点，于点，则：，得，所以．通过作直角，构造全等三角形，此图形特点为直线上有三个直角，我们把此数学模型称为“一线三垂直”模型．若，，则的长是 (用含，的式子表示)． （2）【类比应用】 如图2，三角形纸片中，，，过点在的内部作一条射线，分别过点，作其垂线，垂足分别为，．若，．求纸片内切圆的半径． （3）【拓展变式】 如图3，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的坐标是，点在的正半轴上含原点运动，点在的正半轴上含原点运动，且．设阴影部分的面积为． ①当时，的值是否会变化？若变化，说明理由，若不变，求出的值用含的式子表示； ②当时，请直接写出的最大值 和最小值 (用含的式子表示)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $