精品解析：天津市河北区2025-2026学年第二学期期中高一年级质量检测数学

河北区2025-2026学年度第二学期期中高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则、、、四点构成平行四边形 B. 两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 C. 若、都是单位向量，则 D. 向量与是两平行向量 【答案】D 【解析】 【分析】利用共线向量的定义可判断A选项的正误；利用向量相等的定义可判断BC选项的正误；利用平行向量的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若，则、、、四点共线或、、、四点构成平行四边形，A错； 对于B选项，两向量相等的充要条件它们的方向相同、长度相等，且向量没有起点，B错； 对于C选项，若、都是单位向量，但、的方向 不一定相同，故、不一定相等，C错； 对于D选项，向量与是相反向量，它们是平行向量，D对. 故选：D. 2. 已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 1或-4 C. D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 棱台的所有侧棱延长后交于一点 C. 正棱锥的各条棱长都相等 D. 直四棱柱是长方体 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台性质逐项判断即可得. 【详解】对A：棱柱的侧面是平行四边形，故A错误； 对B：由棱台定义可知，棱台的所有侧棱延长后交于一点，故B正确； 对C：正棱锥的各条侧棱长都相等，但不一定与底面边长相等，故C错误； 对D：直四棱柱侧棱垂直底面，但底面不一定是矩形，故D错误. 4. 已知点，，，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则， 因为，所以，得， 故点D的坐标为 5. 如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直观图可得，， 所以原图形为 所以，，，， ，， 所以原图形的周长是. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则A等于（ ） A. 30°或150° B. 60°或120° C. 60° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解.利用正弦值求三角形内角时，需要考虑角的取值 【详解】由正弦定理，得，． 又，，，或120°． 故选：B 7. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（ ） A. 9 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由图可知， 所以. 故选：B. 8. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱体积计算公式即可求解. 【详解】当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形， 设的面积为，则， 水的体积， 当底面水平放置时，水的形状为直三棱柱，设水面高为， 则有，得， 即当底面水平放置时，水面高为9． 故选：C． 9. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 10. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 【答案】B 【解析】 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 11. 是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理得，， 因为，所以 13. 已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影向量公式代入即可求解. 【详解】为一个单位向量，. 与的夹角为，且在上的投影向量为. . ，即. 故答案为：4 14. 实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，如图所示，则剩下几何体的表面积是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知几何体的表面积为圆锥表面积与挖去圆柱侧面积的和，再应用圆柱、圆锥的侧面积和表面积求法求面积. 【详解】由题意，几何体的表面积为圆锥表面积与挖去圆柱侧面积的和， 又圆柱底面半径为，高为2，则其侧面积为， 圆锥的母线长为，底面周长为，则其表面积为， 所以几何体的表面积为. 故答案为： 15. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理，求得，求得的值，再由，且，设，得到和，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 【小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 17. 已知向量，． （1）若，求实数的值；并求出此时与同向的单位向量的坐标； （2）若，，，且，，三点共线，求实数的值． 【答案】（1），与同向的单位向量的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）由列方程，化简求得的值.利用向量的坐标运算求得与同向的单位向量的坐标. （2）先求得，然后根据三点共线列方程，化简求得的值. 【小问1详解】 , 由于，所以. ， 所以，与同向的单位向量的坐标为. 【小问2详解】 ， 由于三点共线，所以， 所以. 18. 如图，在中，，，，M是的中点，N是边上一点，且，与交于点P. （1）若，求x，y的值； （2）求的值； （3）求的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将通过向量线性运算分解为和的线性组合，对比系数直接得到的值； （2）利用中点性质把用、表示，代入数量积公式结合已知边长和夹角计算结果； （3）利用共线定理得到点对应的向量系数，再用向量夹角公式计算的余弦值. 【小问1详解】 由，得，因此：， 对比，得：. 【小问2详解】 因为是中点，所以，因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 ∠MPN是向量与的夹角，也即的夹角， 由（2）， 所以，， 由（1）， 所以，， 由夹角公式： ， ​​即 的余弦值为. 19. 在中，角的对边分别为，若，其中， （1）求角的大小； （2）若的面积为． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由便得到，进行数量积的坐标运算便可得到，从而得出； （2）①利用余弦定理及三角形面积公式计算可求；②利用正弦定理求得，再由三角恒等变换计算可求的值. 【小问1详解】 因为，则， 又， 所以， 由正弦定理得， 即， 又是内角，则, 所以，即, 又是内角，则. 【小问2详解】 ①在中，，由（1）及余弦定理得 ， 又，， 联立解得，或（舍去）； ②由正弦定理可得，， 因为，，所以， 所以， 由可知， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025-2026学年度第二学期期中高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则、、、四点构成平行四边形 B. 两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 C. 若、都是单位向量，则 D. 向量与是两平行向量 2. 已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 1或-4 C. D. 0或 3. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧面可以是三角形 B. 棱台的所有侧棱延长后交于一点 C. 正棱锥的各条棱长都相等 D. 直四棱柱是长方体 4. 已知点，，，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则A等于（ ） A. 30°或150° B. 60°或120° C. 60° D. 30° 7. 如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量对应的复数分别为，则（ ） A. 9 B. C. 5 D. 8. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，则当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 9. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 11. 是虚数单位，复数______． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则______. 13. 已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则_________． 14. 实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，如图所示，则剩下几何体的表面积是_____. 15. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 17. 已知向量，． （1）若，求实数的值；并求出此时与同向的单位向量的坐标； （2）若，，，且，，三点共线，求实数的值． 18. 如图，在中，，，，M是的中点，N是边上一点，且，与交于点P. （1）若，求x，y的值； （2）求的值； （3）求的余弦值. 19. 在中，角的对边分别为，若，其中， （1）求角的大小； （2）若的面积为． ①求的值； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $