精品解析：天津市河北区2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题

河北区2024-2025学年度第二学期期中高一年级质量检测 数 学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中，正确的是（ ） A 两个单位向量一定相等 B. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C. 共线的单位向量必相等 D. 若与不共线，则与都是非零向量 2. 已知i为虚数单位，如果复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 2i B. C. 2 D. 4 3. 如果两条直线与没有公共点，那么与（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 4. 已知向量，且点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 在中，，，，则的最大内角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. D. 3 9. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D 等腰直角三角形 10. 如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上． 11. 已知i是虚数单位，复数的共轭复数是__________． 12. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则__________． 13. 一个底面积为1正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为____________． 14. 已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数_________． 15. 在平面四边形中，，则___________；___________. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 17. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量与向量垂直，求实数k的值； （3）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 18. 如图，在中，，，P为AB边上一点，且． （1）设，求实数x，y值； （2）若与的夹角为，求的值． 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2024-2025学年度第二学期期中高一年级质量检测 数 学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中，正确的是（ ） A 两个单位向量一定相等 B. 两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C. 共线的单位向量必相等 D. 若与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案. 【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确. 故选：D 2. 已知i为虚数单位，如果复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 2i B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数，再求其虚部. 【详解】因为，所以，其虚部为2. 故选：C 3. 如果两条直线与没有公共点，那么与（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中两条直线的位置关系，即可求解. 【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线. 故选：D. 4. 已知向量，且点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求解即可. 【详解】因为，点，所以点的坐标为. 故选：A 5. 如图所示，表示水平放置的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图和原图间的关系可求答案. 【详解】由图可得的底边为2，高为4，所以的面积是4. 故选：B 6. 在中，，，，则的最大内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定最大角，再利用余弦定理可求答案. 【详解】因为，，，所以为最大角， ，因为，所以. 故选：B 7. 如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用锥体体积公式求解即可. 【详解】在正方体中，平面， 且该正方体的棱长为，则， 故，即三棱锥的体积是. 故选：B. 8. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由图求出复数，结合复数乘法可得答案. 【详解】由图可知，所以， 所以. 故选：A 9. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由推导可得的平分线垂直于边BC，进而可得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即，令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形. 故选：D 10. 如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可求答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理可得，即， 因为点C测得塔顶A的仰角为，所以. 故选：C 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上． 11. 已知i是虚数单位，复数的共轭复数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用共轭复数可得答案. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数是. 故答案为： 12. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理结合大边对大角可求答案. 【详解】由正弦定理可得，， 因为为三角形的内角，由可得，所以或（舍）. 故答案为： 13. 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知正四棱柱对角线长即为球的直径，根据对角线长的计算公式可求得四棱柱的高. 【详解】由题意可知正四棱柱的对角线长即为球的直径， 因为该球的表面积为，所以球的半径， 正四棱柱的底面积为1，则底面边长为1， 设正四棱柱的高为h，则 ，即 解得 ， 故答案为： . 14. 已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得，求解即可. 【详解】向量在上的投影向量为， 则，于是， 所以，所以，解得. 故答案为：. 15. 在平面四边形中，，则___________；___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据求出B的大小，从而可判断△ABC的形状，从而求出；再求出，从而求出∠ACD的大小，再根据即可求出． 【详解】∵， 又，故， ∵，故， ∴为等边三角形，则； ∵，∴，又，∴， 得， ∴， 根据以上分析作图如下： 则∠BCD=150°， 则 ． 故答案为：1； 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值； （3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为零可求答案； （2）根据纯虚数的特征可求答案； （3）根据第四象限内点的特征可求答案. 【小问1详解】 由z是实数，得，解得，或． 【小问2详解】 由z是纯虚数，得解得． 【小问3详解】 由z在复平面内对应的点在第四象限，得 由解得或；由解得， 所以m的取值范围为． 17. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量与向量垂直，求实数k的值； （3）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【答案】（1）， （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案； （2）利用数量积为0可求参数； （3）利用向量平行的坐标表示可求答案. 【小问1详解】 由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． 【小问2详解】 由已知，得， ， 又向量与向量垂直，所以， 即，解得． 【小问3详解】 由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 18. 如图，在中，，，P为AB边上一点，且． （1）设，求实数x，y的值； （2）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1），． （2）-8 【解析】 【分析】（1）根据和向量减法法则得到，得到答案； （2）根据（1）和，利用向量数量积乘法法则计算出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，故，． 【小问2详解】 ， 故 ． 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算可得； （2）由正弦定理计算可得； （3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理知，， 所以，即， 解得或（舍负），所以． 【小问2详解】 由正弦定理知，， 所以， 所以． 【小问3详解】 由余弦定理知，， 所以，， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $