精品解析：湖南益阳市赫山区2026年中考数学模拟试题

2026年中考数学模拟试题 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自已的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如果，则的值是（ ） A. B. C. 26 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 2025年12月26日，西安至延安高铁开通运营，至此中国高铁运营里程突破50000000米，将数据50000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵科学记数法要求，对原数，将小数点向左移动7位可得到满足要求的，对应， ∴． 3. 中国鼓是中国的传统乐器，历史源远流长．如图所示是一面八角鼓，鼓面是正八边形，侧面为矩形，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 鼓面是正八边形，且从上面看该八角鼓时，看到的图形即为鼓面的形状，   其俯视图是正八边形. 观察选项可知，A选项为正八边形，符合题意. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 已知关于的方程无实数根，则实数的取值可能是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用判别式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的方程无实数根， ∴， ∴， ∴实数的取值可能是． 6. 某班5名男同学在一次排球双手垫球训练中的垫球次数（单位：次）分别为，，，，，这组数据的中位数是（ ） A. 52 B. 45 C. 42 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，解题思路为根据中位数的定义，对已排序的数据找到对应位置的数即可得到结果． 【详解】∵将一组数据从小到大排列后，若数据个数为奇数，最中间的数就是这组数据的中位数， 本题中数据已经按从小到大排列，共有个数据，为奇数个， ∴中位数是第个数据， 由题可知第个数据为， 即这组数据的中位数是． 7. 分式方程的解是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，然后检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， ， ， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 8. 如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段位于地面之上，为圆形拱门的最高点，测得，点是圆形拱门左边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在 中，， ， 与 都是弧所对的圆周角， . 9. 如图，直尺的宽为，把含的三角板的直角顶点置于直尺的边上，两直角边与直尺的另一边交于点，若的长为，当斜边与平行时，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作于点H，则四边形是矩形，则，证明，解直角三角形求出的长，再证明，得到，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H，则四边形是矩形， ∴； ∵是等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，轴表示单词听写的总数量，轴表示正确率．，，，四个点依次描述小明同学连续四次英语单词听写的情况，其中，两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则小明听写正确的数量最多的一次是（ ） A. 第一次 B. 第二次 C. 第三次 D. 第四次 【答案】C 【解析】 【分析】根据“听写正确的数量等于总数量和正确率的积”和反比例函数与不等式的关系，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为且， 由图可知，四次听写正确的数量分别为，，，， 则小明听写正确的数量最多的一次是第三次． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 【答案】 > 【解析】 【分析】 【详解】由数轴可知， 在原点的左侧， ， . 【点睛】 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 某弹簧在不挂物体时的长度是．下表描述了在弹簧弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量的对应关系．当所挂物体质量为时，弹簧长度为__________． 物体的质量 1 2 4 弹簧长度 15.5 16 17 【答案】16.5 【解析】 【详解】解：由题意可得，是的一次函数，设. 已知弹簧不挂物体时长度为 ，即当时，，因此. 将 代入解析式得： . 解得. 因此函数解析式为 . 当 时， . 14. 在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，电路由一个电子元件连接，则在一定时间段内，该电路中电流能够正常通过的概率是__________． 【答案】 ##0.5 【解析】 【详解】解：由题意可知，电子元件有通电或断电两种状态，且这两种状态的可能性相等， 共有通电，断电，共2种等可能的结果，其中电流能够正常通过的结果只有通电1种情况， 故该电路中电流能够正常通过的概率是. 15. 如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为__________．（结果保留） 【答案】米 【解析】 【详解】解：由题意可知，旋转木马旋转一周的时间为240秒，对应的圆心角为， 秒旋转的圆心角度数为， 根据弧长公式，其中，， 该木马旋转的路径长为（米）． 16. 在平面直角坐标系中，若存在实数，使得，则称为点的“特定点值”．如图，矩形三个顶点的坐标分别为． （1）则点的“特定点值”等于__________． （2）若点是矩形边上的动点，则下列关于点的“特定点值”的结论正确的是__________．（填写序号） ①当点在边上时，随着的增大而增大； ②当点在边上时，则； ③在矩形边上有且只有一个点的“特定点值”为． 【答案】 ①. ②. ①② 【解析】 【分析】（1）根据新定义，代入，求得的值，即可求解； （2）将代入，根据正比例函数的性质即可判断①；②将，代入，即可判断②；根据题意得出，进而画出图形，得出存在两个点的“特定点值”为，即可判断③． 【详解】解：（1）∵， ∴ 解得： 即点的“特定点值”等于； （2）∵ ∴ ①当点在边上时，，即，则随着的增大而增大，故①正确 ②当点在边上时，，，则，故②正确； ③当，即 ∴ 如图， 当时， 解得，，此时在边上， 当， 此时在边上， 在矩形边上有2个点的“特定点值”为，故③不正确． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19、20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解不等式组 （1）； （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式， ， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 18. 以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ （1）以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） （2）请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 【答案】（1）② （2） 解：原式 ， 当时，原式． 【解析】 【分析】（1）第②步计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）先计算小括号内的分式减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解：观察可知，第②步出现错误，错误原因是计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； 【小问2详解】 略 19. 国家卫健委启动“体重管理年”行动后，某校兴趣小组为了解该校学生体重指数情况，．通过随机调查，形成了如下不完整的调查报告． 调查目的 1．了解本校初中生BMI体重指数； 2．给同学提出更合理建议． 调查方式 抽样调查 调查对象 调查内容 同学，你的BMI体重指数在哪个范围？__________． A．偏瘦： B．正常： C．超重： D．肥胖： 请根据自身情况选择最符合的一项，感谢参与！ 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查__________．学生，__________．，__________．； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，估计身体“超重”和“肥胖”学生的总人数，并给这一部分学生一些合理建议．（至少提出一条合理建议） 【答案】（1）50；18；20 （2） 补充条形统计图如图所示， ； （3）该校学生中身体“超重”和“肥胖”学生的总人数约为570人；该校学生健身时间普遍较短，建议增加健身时间，增强自身体质． 【解析】 【分析】（1）用A类别的人数除以A类别所占百分比可求得；根据D类别的人数除以总人数即可求得的值； （2）用总人数减去其它类别的人数即可得出C类别的人数，补全条形统计图即可； （3）根据样本数据估计总体即可；写出一条评价，合理即可． 【小问1详解】 解：类别的人数为10名，类别所占百分比为， （名， ∴所抽取的学生总人数为50名； ， ∴； ， ∴； 【小问2详解】 解：（名； 【小问3详解】 解：（人）， 估计身体“超重”和“肥胖”学生的总人数约为570人； 该校学生健身时间普遍较短，建议增加健身时间，增强自身体质． 20. 2026年某联赛点燃了球迷的热情，促进了消费．某商店在某场比赛前，购进100件“加油”帽和80件“助威”服，共花费4400元；在第二场比赛前，该商店又购进150件“加油”帽和160件“助威”服，共花费7800元． （1）求“加油”帽和“助威”服的单价； （2）第三场比赛前，该商店计划购进“加油”帽和“助威”服共300件，购进费用不超过7000元，则该商店至少购进“加油”帽多少件？ 【答案】（1）“加油”帽的单价为20元，“助威”服的单价为30元； （2）该商店至少购进“加油”帽200件 【解析】 【分析】（1）设“加油”帽的单价为x元，“助威”服的单价为y元，根据前两场比赛购买的费用建立方程组求解即可； （2）设购进“加油”帽m件，则购进“助威”服件，根据购进费用不超过7000元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设“加油”帽的单价为x元，“助威”服的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：“加油”帽的单价为20元，“助威”服的单价为30元； 【小问2详解】 解：设购进“加油”帽m件，则购进“助威”服件， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：该商店至少购进“加油”帽200件． 21. 如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． （1）证明：是的切线； （2）过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，再证明，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到的度数，再由切线的性质得到的度数，再根据四边形的内角和为360度可得到答案． 【小问1详解】 证明略 【小问2详解】 解：由（1）得，是的切线 ∵， ∴， 由切线的性质可得， ∴． 22. 某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； （2）上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 【答案】（1） （2）能在上午11:20前到达 【解析】 【分析】(1) 过点作于点，利用及方向角求出的长，即为最短距离． (2) 在中，利用和求出的长，再计算骑行所需时间与 20分钟比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 监测员从处沿正南方向骑行到处， 为正南方向，为东西方向， 从到沿北偏西方向，， ， 在中，， ， 他与湿地监测站之间的最短距离为． 【小问2详解】 解：在中，，， 点位于的南偏西方向， ， ， 骑行速度为， 所需时间， 分钟， 从骑行回需要11.25分钟， 出发，经过11.25分钟后为11:11:15， 能在上午11:20前到达． 23. 如图1，点是正方形边上的动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交的延长线于点．边分别与相交于点． （1）证明：． （2）已知正方形的边长为1，设． ①求的值；（结果用含的式子表示） ②如图2，连接，当线段的长度取得最大值时，求的值． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， 、、三点共线， ， ， 在中，， ， 在和中： ， ， ， ． （2）① ；② 【解析】 【分析】(1) 利用正方形性质和旋转性质，通过角的关系证明对应角相等，再用AAS证明三角形全等． (2) ①先利用全等和相似求出，再通过作垂线构造相似三角形求出，进而求出比值． ②利用二次函数求出最大时a的值，再用勾股定理求出的三边长，利用面积法求出点M到的距离，最后在直角三角形中用正切定义求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：正方形的边长为，， ，， 由（1）知， ，， 、、、四点共线， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作直线于点， ，， 、、三点共线， 四边形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：， 当时，取得最大值， 此时， 由①知， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 过点作于点， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， 点在外部， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ． 24. 如图，二次函数的图象与轴相交于两点，开口向下的二次函数图象经过两点． （1）求两点的坐标； （2）如图1，图象关于轴对称，图象与轴交于点．点分别是图象上的两个动点，且点在直线的上方．过点作轴的垂线交于点，交轴于点．设和的面积分别为和，若（为常数，且），求证：； （3）如图2，图象的最低点与的最高点之间的距离等于12．点是图象上在对称轴右边的动点．过点作轴的平行线与图象的另一个交点为（点不重合），与图象的交点分别为（点不重合，且点在的左侧）．若，求的长． 【答案】（1）， （2） 证明：∵与关于 x 轴对称，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 直线的解析式为， 设 ，其中 ， ∵ 过点 E 作 轴的垂线，交于点 H，交x轴于点 D， ∴ H的坐标为 ，D的坐标为 ， ∴ ，， ∵ ，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （3）或 【解析】 【分析】（1）令解一元二次方程，即可求得抛物线与轴交点坐标． （2） 先求出点坐标及直线、解析式，设点横坐标为，用表示、相关线段长，利用三角形面积公式分别表示、，化简后求比值． （3） 根据最低点与最高点距离为12求出参数的值，得到解析式；设点横坐标，利用对称性表示、、、，根据列方程求解． 【小问1详解】 解：令，则， 因式分解得， 解得，， 在左侧， ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 最低点为， 设， 开口向下且经过 、 两点， ， ， 最高点为， 由题意得， 解得， ， 对称轴为直线，且、关于对称轴对称， 设，则，，其中， 点、在上，轴， 点、的纵坐标为， 令， ， ， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， 又， ， ， ， ， 即， 当 时： ， ， ， ， ， ， ； 当 时： ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟试题 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自已的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如果，则的值是（ ） A. B. C. 26 D. 2. 2025年12月26日，西安至延安高铁开通运营，至此中国高铁运营里程突破50000000米，将数据50000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国鼓是中国的传统乐器，历史源远流长．如图所示是一面八角鼓，鼓面是正八边形，侧面为矩形，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知关于的方程无实数根，则实数的取值可能是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 1 6. 某班5名男同学在一次排球双手垫球训练中的垫球次数（单位：次）分别为，，，，，这组数据的中位数是（ ） A. 52 B. 45 C. 42 D. 38 7. 分式方程的解是（） A. B. C. D. 8. 如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段位于地面之上，为圆形拱门的最高点，测得，点是圆形拱门左边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直尺的宽为，把含的三角板的直角顶点置于直尺的边上，两直角边与直尺的另一边交于点，若的长为，当斜边与平行时，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，轴表示单词听写的总数量，轴表示正确率．，，，四个点依次描述小明同学连续四次英语单词听写的情况，其中，两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则小明听写正确的数量最多的一次是（ ） A. 第一次 B. 第二次 C. 第三次 D. 第四次 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 12. 计算：__________． 13. 某弹簧在不挂物体时的长度是．下表描述了在弹簧弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量的对应关系．当所挂物体质量为时，弹簧长度为__________． 物体的质量 1 2 4 弹簧长度 15.5 16 17 14. 在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，电路由一个电子元件连接，则在一定时间段内，该电路中电流能够正常通过的概率是__________． 15. 如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为__________．（结果保留） 16. 在平面直角坐标系中，若存在实数，使得，则称为点的“特定点值”．如图，矩形三个顶点的坐标分别为． （1）则点的“特定点值”等于__________． （2）若点是矩形边上的动点，则下列关于点的“特定点值”的结论正确的是__________．（填写序号） ①当点在边上时，随着的增大而增大； ②当点在边上时，则； ③在矩形边上有且只有一个点的“特定点值”为． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18、19、20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解不等式组 （1）； （2） 18. 以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ （1）以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） （2）请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 19. 国家卫健委启动“体重管理年”行动后，某校兴趣小组为了解该校学生体重指数情况，．通过随机调查，形成了如下不完整的调查报告． 调查目的 1．了解本校初中生BMI体重指数； 2．给同学提出更合理建议． 调查方式 抽样调查 调查对象 调查内容 同学，你的BMI体重指数在哪个范围？__________． A．偏瘦： B．正常： C．超重： D．肥胖： 请根据自身情况选择最符合的一项，感谢参与！ 调查结果 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查__________．学生，__________．，__________．； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，估计身体“超重”和“肥胖”学生的总人数，并给这一部分学生一些合理建议．（至少提出一条合理建议） 20. 2026年某联赛点燃了球迷的热情，促进了消费．某商店在某场比赛前，购进100件“加油”帽和80件“助威”服，共花费4400元；在第二场比赛前，该商店又购进150件“加油”帽和160件“助威”服，共花费7800元． （1）求“加油”帽和“助威”服的单价； （2）第三场比赛前，该商店计划购进“加油”帽和“助威”服共300件，购进费用不超过7000元，则该商店至少购进“加油”帽多少件？ 21. 如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． （1）证明：是的切线； （2）过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 22. 某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． （1）求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； （2）上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 23. 如图1，点是正方形边上的动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交的延长线于点．边分别与相交于点． （1）证明：． （2）已知正方形的边长为1，设． ①求的值；（结果用含的式子表示） ②如图2，连接，当线段的长度取得最大值时，求的值． 24. 如图，二次函数的图象与轴相交于两点，开口向下的二次函数图象经过两点． （1）求两点的坐标； （2）如图1，图象关于轴对称，图象与轴交于点．点分别是图象上的两个动点，且点在直线的上方．过点作轴的垂线交于点，交轴于点．设和的面积分别为和，若（为常数，且），求证：； （3）如图2，图象的最低点与的最高点之间的距离等于12．点是图象上在对称轴右边的动点．过点作轴的平行线与图象的另一个交点为（点不重合），与图象的交点分别为（点不重合，且点在的左侧）．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $