精品解析：四川内江市第六中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

内江六中2025—2026学年（下）高2027届第一次月考考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，联立式子即可求解. 【详解】，所以， ，所以， 所以. 故选：A. 2. 已知数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出数列的前四项的值，推导出数列是周期数列，结合周期性可得答案. 【详解】在数列中，，，则， ，，， 以此类推可知，，即数列是以为周期的周期数列， 所以，. 故选：C. 3. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的等比中项性质即可求解. 【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的等比中项性质可得：. 因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，设公比为q，则, 所以. 故选：B. 4. 已知数列是公差为的等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列定义，结合对数运算求出等比数列的公比，进而求得答案. 【详解】由数列是公差为的等差数列，得， 则，因此数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：A 5. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可． 【详解】数列和都为等差数列，且， 则， 故选：B． 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球 A. 55 B. 66 C. 110 D. 136 【答案】B 【解析】 【分析】由条件观察相邻两层球数的关系，即可求解. 【详解】设“三角垛”每一层球的个数构成数列， 由题意可知，，，，，…，， 这11项加在一起，得. 故选：B 7. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A. －1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 8. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出数列的前几项，找出数列的规律，再根据规律求出的值. 【详解】已知，因为，所以，. 根据，可得，化简得到. 因为，所以，. 同理可得. 通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）. 当时，. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得. 【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误； ，故B错误； 当时，，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若是等比数列，（c为常数），则必有 B. 若数列为等差数列，则为等比数列； C. 数列满足：，则 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为（c为常数），所以当时，， 当时，， 因为是等比数列，则也满足上式，即，解得，故A错误； 对于B，设数列为等差数列的公差为，则，又因为(常数)， 所以为等比数列，故B正确； 对于C，因为①，当时，， 当时， ②， 由得，则，当时，，不满足上式， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，即， 当时，，则，即， 故数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以，故D正确. 11. 如图，是边长为9cm的等边三角形，点、、依次将、、分成1：2的两部分，得到，依循相同的规律、、依次将、、分成1：2的两部分，得到，不断重复这个步骤，得到三角形，…，，…．若的面积记为，的面积记为，现给出下列四个结论，其中正确的有（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. 数列为常数列 C. 数列的前n项 D. 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，则该蚂蚁所爬行的总距离小于． 【答案】BCD 【解析】 【分析】从三角形的相似得到相似比，进一步得到面积比，从而得到相关数列的通项及前n项和，这样就可以判断每一个选项了. 【详解】对于A，显然∽∽， 在中，由余弦定理有， 所以：， 所以面积比，所以数列的公比为，故A不正确； 对于B，在中，， 所以. 同理， 同理可知数列是等比数列，公比为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由， 可得， 而， 所以，故C正确； 对于D，可知，即数列是首项为3，公比为的等比数列， 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行的总距离为， 而，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且对任意的正整数，，都有，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，当时， ，因为，所以，故， 所以数列为首项，公比的等比数列，则， 所以. 13. 正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，．前项和为，则的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出正项数列成等比数列的后7项的公比，求出及，再分组求和即得． 【详解】正项数列成等比数列的后7项的首项为，设公比为， 则，而，解得， 于是，显然， 所以． 故答案为： 14. 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】化简条件式得到，利用等差数列的通项公式化简得，把原不等式转化为恒成立，结合基本不等式和对勾型函数性质，即可求解. 【详解】由，，可得， 整理得，， 所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列. ，则， 又由恒成立，即，对恒成立， 令， 当时，，当时，， 由对勾函数的单调性，得，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列中，，． （1）求数列的通项公式： （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解方程组即可求得结果; （2）由（1）可知，从而利用分组求和即可求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意得， 解得， 所以． 【小问2详解】 因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 所以， 所以 ． 16. 设数列的前项和为，已知，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据等差数列的性质得，再由与的关系求数列的通项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 【小问2详解】 由（1）知 则 ， 所以数列的前项和为. 17. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）证明：为等差数列. （2）求的值和的通项公式. （3）若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1） ①， 当时，②， 式子①-②得， 故，故， 为正项数列，故，所以， 即，为公差为2的等差数列； （2），； （3） ， ③， 故④， 式子③-④得 ， 故. 【解析】 【分析】（1）根据时，得到，证明出为等差数列； （2）利用等差数列性质及得到，结合求出，并得到通项公式； （3），利用错位相减法求和，得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，为公差为2的等差数列， ，故， 中，令得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； 【小问3详解】 略 18. 已知数列的前n项和为，且，且. （1）证明数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若，求正整数k的所有取值. 【答案】（1） 因为，两边同时除以得，， 化简得，所以， 又，所以数列为以为首项，为公差的等差数列， 所以，. （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）本小问主要考查利用等差数列的定义来证明等差数列，两边同时除以，转化为所要求解数列的形式，通过定义判断即可； （2）由（1）可知的通项公式为等差乘等比数列的形式，利用乘公比错位相减即可求出前项和； （3）根据条件列出不等式，然后转化为函数，利用函数的单调性进行判断，从而求出正整数的所有可能的取值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，，所以， 则①， 又②， ①②得， 所以. 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知，，. 所以，. 由可得，，整理可得. 令，易知在上单调递增， 在上单调递增，所以，在上单调递增. 又，， ，， 所以，当时，有，即，在，时不成立. 所以k可取，，. 19. 若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”． （1）若等比数列为“A数列”，求的公比q； （2）若数列为“A数列”，且，． ①求证：； ②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值． 【答案】（1） （2）①证明：因为， 若，则； 若，则； 若，则， 可得； 综上所述：； ②1 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合等比数列通项公式分析求解； （2）根据题意结合等差数列通项公式可得.①可得，根据分析证明即可；②可得，赋值求的值或范围，根据，分析求解. 【小问1详解】 因为等比数列为“A数列”，则， 即，可得， 若上述方程对任意恒成立，则，且为定值， 所以的公比. 【小问2详解】 由题意可知：，且， 则数列是以首项为，公差为1的等差数列， 可得，即. ①略 ②因为，且是正项数列，则，即， 可得， 若对任意恒成立，即， 令，可得，可得， 且，则， 若，可得， 又因为， 可得， 所以符合题意； 若对任意恒成立，即， 令，可得，可得， 若，可得， 又因为， 可得，， 可得，所以符合题意； 综上所述：的最小值1. 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 1.数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025—2026学年（下）高2027届第一次月考考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在等差数列中，若，，则公差（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是公差为的等差数列，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球 A. 55 B. 66 C. 110 D. 136 7. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ） A. －1 B. C. 0 D. 8. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若是等比数列，（c为常数），则必有 B. 若数列为等差数列，则为等比数列； C. 数列满足：，则 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 11. 如图，是边长为9cm的等边三角形，点、、依次将、、分成1：2的两部分，得到，依循相同的规律、、依次将、、分成1：2的两部分，得到，不断重复这个步骤，得到三角形，…，，…．若的面积记为，的面积记为，现给出下列四个结论，其中正确的有（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. 数列为常数列 C. 数列的前n项 D. 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，则该蚂蚁所爬行的总距离小于． 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且对任意的正整数，，都有，若，则__________. 13. 正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，．前项和为，则的值为 ___________． 14. 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列中，，． （1）求数列的通项公式： （2）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和． 16. 设数列的前项和为，已知，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和. 17. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）证明：为等差数列. （2）求的值和的通项公式. （3）若数列满足，其前项和为，证明：. 18. 已知数列的前n项和为，且，且. （1）证明数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若，求正整数k的所有取值. 19. 若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”． （1）若等比数列为“A数列”，求的公比q； （2）若数列为“A数列”，且，． ①求证：； ②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $