精品解析：四川南充市高坪中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

高坪中学2025年春季高2023级第一次月考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟； 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 2. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 已知等比数列中，，，则公比等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列中，，（，且），则通项公式（ ） A. B. C. D. 8. “积跬步以至千里，积小流以成江海．”出自荀子《劝学篇》．原文为“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”数学上这样的两个公式：①；②，也能说明这种积少成多，聚沙成塔的成功之道．它们所诠释的含义是“每天增加1%，就会在一个月、一年以后产生巨大的变化．虽然这是一种理想化的模型，但也能充分地说明“小小的改变和时间积累的力量”．假设某同学通过学习和思考所带来的知识积累的变化，以每天2.01%的速度“进步”，则30天以后他的知识积累约为原来的（ ） A. 1.69倍 B. 1.96倍 C. 1.78倍 D. 2.8倍 二、多选题（每题6分，共18分，全对得6分，部分对得部分分，选错得0分） 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 仅有为的最小值 C. D. 11. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数则a的值为______. 13. 设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是___________. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 16. 已知等差数列的前n项和为，且， （1）求的通项公式和； （2）若，求数列的前n项和 17. 等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和. 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数. 19. 若数列满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时． （1）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式； （2），求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学2025年春季高2023级第一次月考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟； 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解. 【详解】由， 故选：B 2. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义即可得解. 【详解】由依题意，知， 则. 故选：C. 3. 已知等比数列中，，，则公比等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于的二次方程，由此可解得的值. 【详解】由已知条件可得，即，解得或. 故选：C. 4. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 5. 已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】可根据数列通项公式写出的表达式，进而得出结果. 【详解】，则， 当或4时，表达式取得最大值：． 故选：C． 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 7. 已知数列中，，（，且），则通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 8. “积跬步以至千里，积小流以成江海．”出自荀子《劝学篇》．原文为“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”数学上这样的两个公式：①；②，也能说明这种积少成多，聚沙成塔的成功之道．它们所诠释的含义是“每天增加1%，就会在一个月、一年以后产生巨大的变化．虽然这是一种理想化的模型，但也能充分地说明“小小的改变和时间积累的力量”．假设某同学通过学习和思考所带来的知识积累的变化，以每天2.01%的速度“进步”，则30天以后他的知识积累约为原来的（ ） A. 1.69倍 B. 1.96倍 C. 1.78倍 D. 2.8倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得答案. 【详解】每天进步2.01%，即0.0201， 因为， 所以30天以后某同学的知识积累约为原来的1.69倍． 故选：A. 二、多选题（每题6分，共18分，全对得6分，部分对得部分分，选错得0分） 9. 下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算规则可得正确的选项. 【详解】对于A，；对于B，，故A错B对， 对于C，，故C对； 对于D，，故D对， 故选：BCD. 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 仅有为的最小值 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用求出通项公式；B选项，当时，，，当时，，故B错误；C选项，利用等差数列求和公式得到C正确；D选项，先求出，结合C得到答案. 【详解】A选项，中，当时，， 当时，， 显然满足，故，A正确； B选项，因为当时，，，当时，， 故为的最大值，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项，， ， 由C知，，故，D错误. 故选：AC 11. 设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的性质依次分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积， 由可得，故C正确； 由可得，则，故A正确； 是各项为正数的等比数列，， 则有， 对于B，，则有，故B错误， 对于D，，则与均为的最大值，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数则a的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】求导可得，进而得，结合题意即可求解. 【详解】由，得， 所以，又 所以，解得. 故答案为：1 13. 设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______. 【答案】91 【解析】 【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解. 【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列， 则，，成等比数列，∴，∴， ∴. 方法二：设公比为，由题意显然且,所以， ∴， 故答案为：. 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由关系求解数列通项公式，代入式子整理得，对整数的奇偶性分类讨论进行数列求和，得数列的最大值，进而得到范围. 【详解】当时，， 又，解得， 由①， 则当时，②， 两式①②相减得，， 即，又，则， 所以数列是以为首项，的公差的等差数列， 故， 则 令， 又 则数列是递增数列，且； 数列是递减数列，， 若恒成立， 且恒成立， 所以，且，解得， 故答案为： 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】（1） （2），切点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 16. 已知等差数列的前n项和为，且， （1）求的通项公式和； （2）若，求数列的前n项和 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和为求得首项与公差，即可得数列的通项公式和； （2）由（1）得，通过裂项相消法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，， 则，解得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以. 17. 等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可； （2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{an}的公比为q, 由＝9a2a6得＝9, 所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－. 故. 所以数列的前n项和为 18. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1）证明见解析， （2）12 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列为等比数列，再根据等比数列的通项公式写出数列的通项公式即可； （2）利用分组求和法求得，记，判断出单调递增，再分别取和验证即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 记，则， 所以单调递增， 当时，，不符合； 当时，， 所以的最大值为12. 19. 若数列满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时． （1）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式； （2），求． 【答案】（1）证明见解析，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式计算即可； （2）观察式子结构，分奇偶可得，根据等差数列求和公式可得，再利用裂项相消法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知：，， 所以是等差数列，首项与公差均为1，则， 又，所以，； 【小问2详解】 易知 ， 所以， 则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $