2026年中考数学二轮复习《反比例函数与几何综合解答题》常考热点题型专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《反比例函数与几何综合解答题》 常考热点题型专题提升训练（附答案） 次函数y=Kx+b的图象交坐标轴于4，B两点，交反比例函数 于C、D两点，已知：A-2,0,C1,3 (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式： (2)当y1≥y2时，求x的取值范围： (3)连结DO,CO,求△COD的面积. 2.如图，一次函数y=x+b与x轴交于点C4,0,与y轴交于点B,并与反比例函数y=m (x<0)的图象交于点A-1,n. (1)求一次函数与反比例函数的表达式： 2已知P为反比例函数y=m(X<0)的图象上一点，且S4ocp=2S4AoB,求点P的坐标： (3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存 在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由. 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=一x+m与直线y=2x相交于点A2,a,与x 轴交于点Bb,0,点C在反比例函数y=上(k<0)图象上. X 备用图 (1)求a,b,m的值. (2)若以O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值 (3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点 C,使得tan∠DAE=8,求k的值 yX+b与双曲线y=二X>0交于点A2,3,与y轴 X VA A A B B O 图1 图2 备用图 (1)求k,b的值： 1 (2)如图1，点C是直线y=号x+b第一象限内的一点，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E,交 2 双曲线于点D, BC=3时，求 BA 2 D的值： a刨如图2，已知点P是双曲线上广动点，连接OA,OP,若tan Z AOP专 ，直接写出所有 满足条件的点P的坐标，并选一种情况写出解答过程. 5.如图，点P为一次函数y=号x+1与反比例函数y=”x>0的图象的交点，点P的纵坐 X ×+1的图象与X轴交于点A,与y轴交于点 1 标为4，PB⊥x轴，垂足为B,一次函数y= M 图1 图2 (1)求m的值. 2点M是反比例函数y=”x>0的图象上的一点，且在点P的右侧，连接PM。 ①如图1，连接OP,OM,在x轴上有两个动点E和点F,点E在点F左侧，且EF=2, 若S△POM=3S四边形PBOC,求点M的坐标，并求出PE+EF+FM的最小值. ②如图2，过点M作MD⊥AP于点D,若∠PMD=45°，请直接写出符合条件的点M的 坐标. 6.如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k(k为常数，X>0),的图象经过点 A2,m,B6,n两点. 图1 图2 备用图 (1)m与n的关系是 (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比 例函数的表达式： (3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q,使得QA+QB的值最小，若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由. 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=号X+1的图象与X轴、y轴分别交于A、 B两点，与反比例函数y=kk≠0的图象相交于C、D两点，点D的横坐标为3，DE⊥X X 轴，垂足为E. 备用图 1)求反比例函数y=k的解析式。 2点M是反比例函数y=kk≠0图象上的一个动点且在点D右侧，过点M作MF⊥X轴， X 垂足为F、是否存在这样的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似？ 如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由. (3P是反比例函数y=kk≠0图象上的一个动点且在第三象限，如果an∠PDC= 3求 点P的坐标 8.如图1，矩形OBAC的顶点B,C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为4,3，E是边AC上 的一个动点（不与C,A重合），反比例函数y=kx>0)的图象经过点E且与边AB交于点 F,连接EF,沿着EF将矩形OBAC折叠使A、D两点重合，连接对角线BC. B 图1 图2 (1)点E坐标是 (用含有k的代数式表示)； (2)如图2，当点D恰好落在矩形OBAC的对角线BC上时，求CE的长度： (3)若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时反比例函数的k值： (4)连接CD,直接写出CD的最小值为. 9.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+2a(a≠0)分别与x轴，y轴交于A,B 两点，与反比例函数y=《k≠0图象交于C,D两点（点C在第一象限），AB=BC, X AO=20B. 图1 图2 备用图 (1)求点A的坐标及k的值； 2)如图2，点P为反比例函数y=k图象第三象限上一点，连接AP并延长交反比例函数 文图象于点Q,连接BP,CQ,若BP‖CQ,求直线CQ的表达式： B在(2)的条件下，点M为反比例函数y=图象上D.Q两点之间一点，点M关于y辅 的对称点为M,连接CM,CM,若∠MCM=∠DCQ,求点M的坐标 10.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+5与反比例函数y=《的图象交于 A-4,a,B两点. B 图1 图2 备用图 (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式： (2)如图2，点C是x轴上一点，连接AC并延长与反比例函数第四象限图象交于点D, 连接BD.当△ABD为等腰三角形时，求点C的坐标： (3)点P为x轴上一动点，连接BP,将线段PB绕点P旋转90°，点B的对应点是点 Q,当点Q在反比例函数第四象限图象上时，求点P的坐标， 11.如图，正比例函数y=k,X与反比例函数y=k的图象交于A、B两点，若点A的横坐 X 标为3，点B的纵坐标为-1，经过点A的直线与x轴，y轴分别交于C、D,与反比例函数 y=在第一象限交于点E. 备用图 (1)求正比例函数y=k1X与反比例函数y= k2的解析式： (2)当AD=3DE时， (i)点P为反比例函数在第一象限的图象上一点，若△OPA的面积是△OPE面积的两倍 时，求点P的坐标： (i)点M为直线DE上一点，点N为坐标平面内一点，若以O、E、M、N为顶点的四边 形为菱形时，直接写出点N的坐标. 12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+nn<0与反比例函数y=mm>0的图象交 X 于第一象限的点A,与x轴、y轴分别交于点B、C. (1)若n=-1,点A的坐标为2,3. ①直接填空：m的值为一，k的值为一： ②若点P是x轴上一点，△PAC的面积为6，求点P的坐标： 2过点M1,0作y箱的平行线I与函数y=买的图象交于点D,与反比例函数y=又X20 的图象相交于点E.过点D作x轴的平行线与直线y=kx+n交于点P(点P、D不重合)， 问：当k为何值时，PD+DE的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件 13.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+2,与x轴交于点A,与y轴交于点B ，与反比例函数y= x>0的交点为C(2,m): B B E 图1 图2 (1)求反比例函数的解析式： 2点D在反比例函数y=kx>0(点D在点C的右边)，若△ACD的面积为8，求点D X 的坐标： (3)如图2，在第(2)问的条件下，点E为x轴正半轴上一点，连接CE,将直线CE沿直线 CD翻折，与反比例函数图像交于另一点F,若CF= 三CE,求点E的坐标。 14.在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A,C分别在x轴，y轴上，反比例函 数y=kk>0,X>0的图象分别与矩形OABC的边BC,AB相交于点D,E. 图1 图2 (1)如图1，若0A=2OC=2, ①点B的坐标是 ②连接OD,DE,当OD⊥DE时，探究点D,E是否分别为线段BC,AB的中点，并 证明： (2)如图2，过点D作DF⊥OA,垂足为点F,连接OD,EF.当OD‖EF时，探究点 F,E是否分别为线段OA,AB的黄金分割点，并证明. 15.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=”?的图象交 X 于点B(-1,6)和点E(n,-3),交y轴于点A,以AB为边在AB左侧作正方形ABCD. (1)求m,n的值： (2)写出不等式ax+b>m 的解集为 (3)①求一次函数y=ax+b的解析式： ②请判断点D是否在反比例函数y=m的图象上？并说明理由： X (4记一次函数y=k-2k+2(k≠0)的图象为l,若与反比例函数y=?的图象没有公共点， X 直接写出k的取值范围。 16.如图，已知一次函数y1= X-3的图像与反比例函数y,=《第一象限内的图像交于点 X A4,n,与x轴相交于点B,交y轴于点C. 0 B 备用图 (1)求n和k的值： (2)观察函数图像，当x≥-3时，y2的取值范围是_； (3)如图，以AB为边作菱形ABFD,使点F在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交 DF于点E,连接AE、BE,求S△ABE; (4)若P为坐标轴上一点，请你探索：当以点A、P、C为顶点的三角形是直角三角形时，请 求出所有可能的P点坐标. 17.在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数y=x+bk≠0与反比例函数 y=m m≠0的图象相交于点A(-2,4),Ba,-2. X (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)点Ct,-2是第三象限内一点，若△ABC的面积为24，求t的值： (3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中，正方形AOCD与正方形AOC'D是位似图 形，点O的对应点为0-3,0，点A的对应点A在反比例函数y=”m≠0的图象上， 请直接写出位似中心的坐标. 18.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=X+b与反比例函数y=k(X20)的图像交于 点A3,n),与y轴交于点B0,-2),点P是反比例函数y=《(x>0)的图像上一动点，过 X 点P作直线PQy轴交直线y=X+b于点Q,设点P的横坐标为t,且0<t<3,连接AP, BP. B (备用图) (1)求k,b的值： (2)当△ABP的面积为6时，求点P的坐标： (3)设PQ的中点为C,点D为X轴上一点，点E为坐标平面内一点，当四边形为BCDE正方 形时，求出点P的坐标. 19.在平面直角坐标系xOy中，点A是第一象限的直线y1=2x上一点，设点A的横坐标为 m,过点A作BCx轴分别交y轴于点B,交双曲线y,=长k>0于点C,过点A作DE⊥X X 轴于点D,交双曲线y,=长k>0于点E. D O O (图1) (备用图1) (备用图2) (1)如图1，若AB=AC,m=1. ①求y2的函数表达式： ②填空：当x>1时，y2的取值范围是 (2)若k=6,过点E作x轴平行线，分别与y轴交于点F,与直线y1=2X交于点G, FG=3EG,求m的值； (3)在(2)的条件下，请直接写出点G的坐标. 20,【向题背】如图1，已刻直线y=弓x+2与双确线y=女k>0交于第一象限的A X1,y1、Bx2,y2两点，AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D. 图1 图2 【构造联系】 (1)当y1=3y2时，则点A坐标为 (2)求AC+BD的值： 【深入探究】 (3)如图2，过点A作线段AF‖x轴，交y轴于点M,且FM=nAMn>1,作FE⊥x轴 于E,A、EF分别交双曲线y=一kk>0点G、点Q,连接CQ并延长交X轴于点H,连 接FH、AO,证明：四边形AFHO为平行四边形， 参考答案 1.(1)解：依题意，将点A、C的坐标代入一次函数表达式y1=x+b, 得乙， 解得， 故一次函数表达式为：y=X+2, 将C1,3代入反比例函数表达式y=”, 得3=m X m=3, 3 故反比例函数表达式为：y= X (2)解：由(1)得一次函数表达式为：y=x+2,反比例函数表达式为：y=3 依题意，， x2+2x-3=0, 解得x=-3或x=1, C1,3, xD=-3,则y3=-1 D-3,-1, 由图象可知，当y1≥y2时x的取值范围为-3≤X<0或x≥1： (3)解：由(2)点D的坐标为-3，-1； 在y1=x+2中，令x=0,得y=2, B0,2. :点C1,3 SACOD=SABOC+SABOD oB×ka+2oBxk, i号x2×1+号x2x3 1 乙1+3 i4. 2.(1)解：.·一次函数y=x+b与x轴交于点C4,0, .0=4+b, .b=-4, ∴.一次函数的解析式为：y=x-4, 当x=-1时，y=-1-4=-5, .点A-1,-5, -5=m 1 .m=5, .反比例函数的解析式为：y= X 5 (2)解：设点Pa, a .'y=x-4与y轴交于点B, 点B0,-4, ∴.OB=4, SAAOB-2 ×4×1=2, :SA0CP=2S△A0B=4, 2 二4， a a=号 :P为反比例函数y=三x<0的图像上一点， a=2 5 点P，2 (3)解：点C4,0,点B0,-4,点A-1,-5, ∴.0B=0C=4,AB=-1-02+-5+42=2,BC=42, ∴.∠OBC=∠OCB=45°， ∴.∠ABO=∠BCD=135°， 当28-8股2-88. 以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似， 24 24 或 …CD-4242CD ∴.CD=2或16， ∴.点D6,0或20,0 3.(1)解：，A2,a在直线y=2x上， .a=2×2=4,即A2,4 将A2,4代入y=-x+m得4=-2+m, m=6. 直线y=-x+m即为y=一x+6. 令y=0,则-x+6=0, X=6 ∴.B的坐标为6,0： b=6 综上所述，a=4,b=6,m=6. (2)解：设点C的坐标为xc,yc. 若OA和BC为对角线， 根据平行四边形对角线互相平分可得：， 解得就 ∴.C-4,4, 把C-44代入y=k得：k=-4×4=-16. 若OB和AC为对角线，同理可得C4,-4,k=4×(-4)=-16 若OC和AB为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意. 故点C的坐标为-4,4或4，-4，k=-16. (3)解：如答图，过点D作DH⊥AE于点H,过点H作x轴的垂线交x轴于点N,交过 点A且与x轴平行的直线于点M. 答图 ∴.∠AHD=90°. :an∠DAE=DL=-8. AH 设Hm,n,D-t,0,则Mm,4,Nm,0. ..AM=m-2,HN=n,MH=4-n,ND=m+t, :'∠M=∠HND=∠AHD=90°，∠AHM=∠HDN=90°-∠DHN, ·△AMH一△HND, AMMHAH1 HN ND HD 8 :m-2=4-n=1 m+t 8 解得乙， “H160-t240-8t 65， 65 点E与点D关于y轴对称， ∴Et,0 A2,4, 直线AE表达式为y= 4x-2+4. 2- 将H 160-t240-8t 65’65 代入2058r-160-24 652-t65 整理，得t2+t-20=0. 解得t1=4,t2=-5(不合题意，舍去). ∴E4,0,D-4,0. &直线AD的表达式为y号+8 31 ,有且只有一点C,使得tan∠DAE=8, 直线AD与y=只有一个交点， 联立方程组飞 消去y,整理得2x2+8x-3k=0. ∴.△=82-4×2×-3k=0. 架= 4.①)解：把A23代入y=套得3=空 k=6, 1 把A2,3代入y=2x+b,得3=1+b, b=2 (2)解：如图1，过点A、C分别作AF⊥y轴于点F,CG⊥y轴于点G, F L- B 图1 则AF‖CG, ∴△BCG~△BAF, .CG_BC_3 AF BA2' CG-3AF-3 ×2=3, 把x=3代入yx+2.得y=方×3+2=子 CE⊥x轴， ∴D3,2,E3,0, cE=子，Dg=2 7 CE_2_7; ED-2-4 (3)解：点P的坐标为 1143114 或 理由如下： 3 19 当点P在OA的下方时，如图2，过A作AM⊥OP于M,过M作y轴的平行线交x轴于E, 作AF⊥EM于F,则∠AFM=∠OEM=∠AMO=90°， y B 图2 ∴·LAMF+∠MAF=90°，∠AMF+∠OME=90°， ∴∠MAF=∠OME, ∴·△AMF一△MOE, 设Ma,b,则OE=a,ME=b,AF=a-2,FM=3-b, tan∠Aop=3 AM_3 OM5 '△AMF一△MOE, AF_FM_AM_3 ME OE OM5 即0-2=3-b=3 b a -51 0 解得乙， ..M 9545 34’34 设直线OP的解析式为y=nx, 把M 9545 代入， 45_95n, 34’34 得3434 .n= 9 19 9 ∴直线OP的解析式为y= 19+, 由d,解得(， 1143/114 P 3 19 当点P在OA的上方时，如图2，过A作AN⊥OP于N,过N作y轴的平行线交x轴于G,作 AH⊥GN于H,则∠AHN=∠HGO=∠ANO=90°， B OG 图2 ∴∠HAN+∠ANH=90°，∠GNO+∠ANH=90°， ∴.∠HAN=∠GNO, ·△AHN△NGO, 设Na,b,则OG=a,NG=b,AH=2-a,NH=b-3, :tan AOP=-亏 3 AN_3 ON 5 :△AHN~△NGO, AH_NH_AN_3 NG OG ON5 即2-0=b-3-3 b a 6 解得， ..N 5105 34’34 同理可得直线OP的解析式为y=21x, 由心，解得i, ,374 14 …P 综上，点P的坐标为 1143114 3 ，19 我814,314 7 5.(1)解：对于y=2x+1, 1 当y=4时，4=2x+1, 解得：X=6, ∴.点P(6,4), 把点P(6,4)代入y=”(x>0)得： X 4=m 解得：m=24: (2)解：①如图，过点M作MN⊥x轴于点N, D 图1 对于y=2x+1, 当y=0时，X=-2,当x=0时，y=1, ∴.点A(-2,0,C(0,1), ∴.0A=2,0C=1, .PB⊥x轴，点.P(6,4) .PB=4,OB=6, Saac=号0C+PBx0B=×1+4×6=15, :SAPOM=3S四边形PBOC, .SAPOM=45, M在反比例函数y=24上， X 设点M的坐标为a,24),则ON=a,MN=24 P,M在为y=24上， SAOPB=S△OMN, :S四t边形OPMN=S△POM+S△NOM=S△POB+S梯形PBNM, S△POM=S梯形PBM? 45=号PB+MN×BN, 即45=4+24)×10-6. 3 解得：a=24或2 (舍去)， .点M的坐标为(24,1)： EF=2,若求PE+EF+FM的最小值，即求PE+FM的最小值加2， 将M(24,1)向左平移2个单位得M(22,1),则FM=EM, 作P(6,4)关于x轴的对称点P(6,-4),则PE=PE, 故PE+FM=PE+EM≥PM, 当P,E,M三点共线时，PE+FM最小，最小值为PM: 作MH⊥PP,由勾股定理得： PM=V(22-6)2+(1+42=162+52=281, .PE+EF+FM的最小值为V281+2: ②如图2，过点D作GH⊥PB交BP延长线于点G,过M作MH⊥DG交GD的延长线于 点H, D S.H M .MD⊥AP∠PMD=45 图2 ∴.△PMD是等腰直角三角形， .PD=DM, ,'∠PDG+∠MDH=90°，∠PDG+∠DPG=90°， ∴.∠DPG=∠MDH, .∠G=∠H, ∴.△PGD≌△DHM AAS, ∴.PG=DH,DG=MH, D在直线y= 2+1上， 设D,+1. DG=I-6,PG--3, 1 ∴.MH=t-6,DH=5t-3, M3-3,7 :点M是反比例函数y=24的图象上的一点， 3-3×7-2=24, 解得：t1=6,t2=10, ,点M在点P的右侧， .点M的坐标为12,2) 6.(1)解：反比例函数y=k(k为常数，X>0)的图象经过点A2,m,B6,n两点， m=k k :n= 6 ∴.k=2m=6n, 'm=3n 故答案为：m=3n: (2)解：过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N,如图所示： 90° 可MPN 点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合， ∴.∠APB=90°，AP=BP, .∠AMP=∠BNP=90°， ∴·∠MAP+∠APM=∠APM+∠BPN=90°， ∴.∠MAP=∠BPN, ∴△MAP≌△NPBAAS, ∴AM=PN,PM=BN, A2,m,B6,n, ..AM=m,BN=n,OM=2,ON=6, MN=ON-OM=6-2=4=PM+PN, ∴.m+n=4, m=3n, 3n+n=4, n=1, m=3,k=6n=6, .OP=OM+MP=2+1=3, P3,0, k=6n=6, 反比例函数的解析式为：y=6 (3)解：存在， 理由如下： 作点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴于点Q,如图所示： V ∴CQ=AQ, ∴AQ+BQ=CQ+BQ=BC,此时QA+QB的值最小，最小值为BC, 由(2)可知，A2,3,B6,1, ∴C-2,3, 设直线BC的表达式为y=jⅸ+q(j≠0)代入点C-2,3,B6,1, i,解得乙， -1 5 ∴直线BC的表达式为y= 4 2 当X=0时，y= 1×0+ 5_5 4 221 7.解：(1)将X=3代入得：y=号×3+1=2， 3 .D3,2, ,反比例函数y= k≠0的图象过点D,将点D的坐标代入得： 解得：k=6, ·反比例函数的解析式为y= 十 (2)存在这样的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似： 理由如下： 1 当y=0时，得：0=号x+1, 3 解得：X=-3, 当x=0时，得：y=1: .A-3,0,B0,1, 如图1，A-3,0,B0,1,MF⊥AE于F, D B M A 0 EF元：.∠AOB=∠EFM=90°，OA=3,OB=1 图1 .DE⊥x轴，垂足为E,D3,2, .E3,0, .OE=3, :M是反比例函数y=kk≠0图象上的一个动点且在点D右侧， X 设Mx,}引x3. M=5,Elx.01. .OF=x, ∴.EF=OF-OE=X-3, .点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似，M在D的右侧， 当△OAB一△FEM时，得： OA OB EF FM' 3=1 x-36, X 解得：X1=6(经检验，是分式方程的根，且符合题意)，x2=-3(不合题意，舍去)， .M6,1, 31 当△OAB一△FME时，得：6X-3, X 解得：X=3+1☑ 2 经检验，是分式方程的根，且符合腿意)，X,=3- 2 (不合题意， 舍去)， 6=6x2 3V17-9 X 3+17 2 M3+7,317-9 2 2 综上所述，M6,1或M 3+17,317-9 2 2 (3)如图2，连结PD交x轴于点F, D 图2 F89子tan∠PDc= :tan∠BA0=OB-1 ∴.∠BAO=∠PDC, .AF=DF,点P只能在DC下方，（否则DP平行x轴，不存在这样的第三象限的点P) A-3,0,E3,0,D3,2, .AE=3--3=6,DE=2, .EF=AE-AF=6-AF=6-DF, 又.‘DE⊥X轴于点E, .DE2+EF2=DE2, ∴.2+6-DF2=DF2, 解得：DF= 3, EF=6-DF=6-10=8 3-3 ·OF=OE-EF=3-8=1 33’ 设直线DF的解析式为y=kx+b,将点D,点F的坐标分别代入得： i 解得：， 3 1 .直线DF的解析式为y= X一 441 联立得：， 解得：或d, 8, 9 .直线DF与反比例函数的交点为 3 与D3,2, 4 又.P是反比例函数y= Kk≠0图象上的一个动点且在第三象限， 8.(1)解：.四边形ABOC是矩形，且A4,3, ∴.AC=4,OC=3, :矩形OBAC中AC‖x轴， ∴点E的纵坐标为3， :点E在反比例函数y=k上， X 3s← X -3 哈 (2)解：A4,3, .AC=4,AB=3, ..AC_4 AB-3' :点F在y=k上， X AE 4、 3_4 ·AF 3-k3 4 ..AE=AC_4 AF AB 3' .∠A=∠A, ∴.△AEF一△ACB ∴.∠AEF=∠ACB, .EFI‖lBC, ∴.∠FED=∠CDE, 由折叠得∠AEF=∠，AE=DE, ∴.∠CDE=∠ACB, CE-DE=AE=AG=2 (3)解：过D点作DN⊥AB于N, ①当BD=AD时，如图3， NK90AN=BN=号AB=2 -2 ∠DAN=∠AEF=∠ACB, cos∠DAN=COs∠ACB=AC=4 BC5 …恶 :AN=号 AD=15 81 ·AM=15 6 ·sin∠AEF=sin∠ACB=AB=3 BC-51 W .AM_3 AE 5 图3 AE=25 6 k=39×3=1 16 16 ②当AB=AD=3时，如图4， C ·AM=3 B 图4 ·sin∠AEF=sin∠ACB=AB=3, BC5' :M=3 AE 5 8c=多 k=号×3= 2 ③当AB=BD时，△AEF2△， ∴.DF=AF, ∴.DF+BF=AF+BF,即DF+BF=AB, ∴.DF+BF=BD 此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去， .AB≠BD, 117 综上所述，所求k值为1 或2 (4)解：CD的最小值5· 16 理由如下： 连接AD,如图， 由(2)知EF‖BC, 由折叠知AD⊥EF, AD⊥BC, ∴.∠CAD+∠ACB=90°， :∠ACB+∠OCB=90°， ∴∠CAD=∠OCB, 即点D在射线AD上运动， 根据垂线段最短，得当CD⊥AD时，CD最小，故CD=ACsin∠CAD, 又sin∠CAD=sin∠OCB=OB=4 -BC-51 故CD=4x4=16 55 16 故CD的最小值 5 B 9.(1)解：(1)：直线y=ax+2a(a≠0)分别与x轴，y轴交于A,B两点， .当x=0时，y=2a: 当y=0时，x=-2. .A(-2,0,B(0,2a), .0A=2,OB=2a, ·AO=2OB, 2=4a 解0子 ÷B(0,1,直线AB的解析式为y=2X+1, 如图1，过点C作CK⊥x轴于点K, B 图1 则CK‖OB, ·△ABO一△ACK, OA_OB_AB AK CK AC .AB=BC, ∴.AC=2AB, OA OB1 AK CK2 ∴AK=2OA=4,CK=2OB=2, OK=AK-OA=4-2=2, ∴C(2,2), :点C在反比例函数心(k≠0)的图象上， 2= 2 k=4. 答：A(-2,0),k=4 (2)解：设P,Q(n,4),且-2<m<n<0, 过点P作PG⊥x轴于点G,过点Q作QH⊥x轴于点H,如图2， 图2 AG=m+2,AH=n+2,PG=-4.QH=-4,PGllQH, m n ∴·△APG△AQH, AG PG AP AH QH AQ .BPI CQ, AP=AB_1 AQ AC2 AG PG 1 "AH QH2' ·AH=2AG,QH=2PG, , 解得：， P3,3o号子，-6 设直线CQ的解析式为y=sx+t, 则，解得：， 直线CQ的解析式为y=3x-4. (3)解：如图3，设直线CQ交y轴于点T,连接AT,过点C作CL⊥x轴于点L, 图3 由(2)知：直线CQ的解析式为y=3x-4, 则T(0,-4), OA=CL=2,OT=AL=4,∠AOT=∠CLA=90°， ∴·△ATO≌△CAL(SAS), ∴∠TAO=∠ACL,AT=AC, :∠CAL+∠ACL=90 ∴.∠CAL+∠TAO=90°，即∠CAT=90°， ∴·△CAT是等腰直角三角形， ∴∠ACT=45°，即∠DCQ=45°， 由图象可知，当点M从点D运动到点Q时，∠MCM逐渐减小， .C(2,2), .∠C0L=45°. ∴.∠MCM=∠DCQ=45°，点M关于y轴的对称点为M, .当点M在CO的延长线上时，点M在CL的延长线上，此时点M与点C关于点O中心对称， ∴点M的坐标为(-2，-2) 10.(1)解：：点A(-4,a)在直线y=x+5上， 将x=-4代入得a=-4+5=1, ∴点A的坐标为-4,1)： 设反比例函数为y=k 将点A(-4,1)代入得1= -4 解得k=-4, 反比例函数的表达式为y=4, (2)解：联立( 整理得x2+5x+4=0, 解得x1=-4,X2=-1, 将x=-1代入y=x+5得y=4, ∴点B的坐标为(-1,4)： 连接OA,OB,作AE⊥x轴，BF⊥y轴， 在△OAE,△OBF中， 由勾股定理求得0A=0B=12+42=V17, 取aB中点M,1▣M?,引 2’2 MA=MB 则OM是AB的垂直平分线， 由图知，若△ABD为等腰三角形， 当DA=DB时， 则D在AB的垂直平分线上， ∴D是OM与反比例函数的交点， 设OM解析式为y=x,代入M 5 2 得： k=-1, ∴OM解析式为y=-x, 联立d 解得：X1=2,X2=-2, D在第四象限， ∴D点横坐标为2，将x=2代入y=-X, 得y=-2, ∴D2,-2 设AD解析式为y=kx+b,代入D2,-2,A(-4,1), , d, AD解折式为y= x-1, ◇y=0,0=2x-1 解得x=-2, ∴.C-2,0 由于A、B在第二象限，D在第四象限，若AB=AD或AB=BD,则需以A或B为圆心、 AB为半径的圆与反比例函数在第四象限有交点，经分析无解，故只有DA=DB成立， 故C-2,0: (3)解：分两种情况讨论旋转方向： 顺时针旋转90°： 设点P(m,0),点B(-1,4), 过P作HG‖y轴，BH⊥HG,QG⊥HG, .∠H=∠G=90°， 由题意∠BPQ=90°，BP=PQ 则∠BPH+QPG=90°，∠BPH+∠PBH=90°， ∴∠QPG=∠PBH, ∴△BHP≌△PGQ AAS, ∴BH=PG,HP=GQ, 则BH=PG=-1-m, HP=GQ=4, .Q4+m,1+m, Q在y=产上，代入得： 4+m1+m=-4, 整理得m2+5m+8=0, 判别式△=25-32=-7<0，无实数解； H R 逆时针旋转90°： 设点P(m,0),点B(-1,4), 过P作HG‖y轴，BH⊥HG,QG⊥HG, ∴∠H=∠G=90°， 由题意∠BPQ=90°，BP=PQ 则∠BPH+∠QPG=90°，∠BPH+∠PBH=90°， ∴LQPG=∠PBH, ∴·△BHP≌△PGQAAS, ∴BH=PG,HP=GQ, 则BH=PG=m--1=m+1, HP=GQ=4, ∴.Qm-4,-m-1, Q在y=二4上，代入得： m-4-m-1=-4, 整理得m2-3m-8=0, 解得m=3±41 m>4, m=3+V41 2 ○ G 11.解：(1)，正比例函数与反比例函数图象都是中心对称图形，正比例函数y=k1X与 反比例函数y=长的图象交于A、B两点， X ∴A,B关于原点对称， :点A的横坐标为3，点B的纵坐标为-1， ∴A3,1,B-3,-1, k=号k=3 正比创函数解析式：y一了X,反比例函数解析式：y=3 .1 (2)(i)如图1，作EF⊥y轴于F,作AG⊥y轴于G, EF‖AG, ∴△些一△DAG, .EF_DE1 ·AG-AD-3 .EF=1AG=1 3 E1,3 如图，在AE上取一点Q,使得AQ=2EQ S△A00=2S△00E: 点A到OQ的距离是点E到OQ距离的两倍， 当点P在OQ上时，△OPA的面积是△OPE面积的两倍， 设直线AE的解析式为y=kx+bk≠0，代入A3,1,E1,3 d 解得：飞 ∴直线AE的解析式为y=-x+4 设Qt,-t+4 AQ=2EQ 3-t2+-t+4-12=41-t2+-t+4-321 解得：t 3或t=-1(舍去) 当t=时-t+4= 3 +4s7 3 o唱 ∴直线PQ的解析式为y= 联立d 解得：飞（负值舍去） n105105 ∴ 7’5 (iⅱ)如图 、Ma N. M3 B A3,1,E1,3 ∴0E=32+12=10,0A=32+12=10 ∴OE=OA ∴AE的中点为2,2 ①当OE=OM时，则点M和A重合时， O、E、M、N为顶点的四边形为菱形 设Nx,y, ∴NO,AE的中点重合， 解得：d N4,4g ②当0E=EM=V10时， 设M-m,-m+4 m-12+-m+4-32=V102 解得：m=1+5或m=1-V5 .-m+4=-1-5+4=3-V5或-m+4=-1+V5+4=3+V5 ∴.M31+V5,3-5或M41-V5,3+V5 或就 解得：i或 N5,-5或-5,5 ③当EM=OM,则MN垂直平分EO, .m-12+-m+4-32=m2+-m+42 解得：m=2 M3》 d 解得： 综上所述，N4,4或 -55 22 或5，-5或-5,5. 12.(1)解：①n=-1, ∴直线为y=kx-1, 将点A代入直线中，得2k-1=3,解得：k=2, k的值为2： 将点A代入反比例函数中，得？=3，解得：m=6, 2 m的值为6： 故答案为：6,2： @y=2x-1=0.则x=克即B20 令x=0,则y=2×0-1=-1,即C0,-1, 发Pp.0,则PB=p A2,3,C0,-1, ∴yA-ye=4, 1 Samc=2Ay小PB=6, 2p非6，p=变p= p3成 (2)都：过点M1,0作y扫的平行线I与反比剂函数y=买的图象交于点D,与反比列函 数y=x>0的图象相交于点E, D1,m,E1,n, ∴DE=m-n :过点D作x轴的平行线与直线y=kx+n交于点P, .pm-n k,m ①如图，当点A在点D的右侧时， y=m-- x=1 PD=m-n-1, k :.PD+DE=Mn-1+m-n= k 要使PD+DE的值为定值，则+1=0或m-n=0 解得：k=-1或m=n, k>0,m>0,n<0, 此情况不满足题意； ②如图，当点A在点D左侧时， 14 .y=m =1 “PD=1-m-n PD+DE-1-m-n- k 要使PD+DE的值为定值，则+1=0威m-n=0。 解得：k=1或m=n(舍去)， k=1时，PD+DE的值为定值1， 此时点P在直线x=1的左侧， m-n<1, k=1,m>0,n<0, 0<m-n<1 13.(1)解：把C(2,m)代入y=x+2,得m=2+2=4, ∴C2,4, 把C2,4代入y=kx>0,得k=2×4=8, X 8 反比例函数的解析式为y= (2)解：如图，过点D作DM‖y轴交AC的延长线于点M, B D 图1 对于y=x+2, 当y=0时，则x+2=0,解得x=-2, A-2,0, 当x=0时，y=2, B0,2, 设Dm,8 m>2,则Mm,m+2,DM=m+2-8 SAACD-SAADE-SACDE=8, *m2- 8 大m+2l-5×m+29 ×m-2=8 m m 解得：m=-2(舍去)或m=4, ∴D4,2； (3)如图，延长CD交x轴于点G,H是E关于CD的对称点，过点C作x轴的平行线CP, 交CH的延长线于点P,过点F作FQ⊥CP于点Q VA B A E G 设直线CD的解析式为y=k1x+b1k1≠0代入C2,4,D4,2,得 i 解得：乙 ∴直线CD的解析式为y=一x+6 当y=-x+6=0,x=6, ∴G6,0, ,将直线CE沿直线CD翻折， ∴EG=GH 设Et,0, .EG=6-t, ∴H6,6-t,P6,4, CE=CH,CF=5 CE 2 CH_CE_2 C :PH‖QF 需 又.CP=4 ∴.CQ=10 ∴F的横坐标为2+10=12 :F在y=8上， 8=2 y=123 .F12 2 B D G 设直线CH的解析式为y=k2x+b2k2≠0 代入C2,4,F12, 3 得 解得：d 直线CH的解析式为y=1x+14 3 3 :H6,6-t在y= 1 14 3 -X+ 3 上 6-t=1x6 14 3 3 解得：t二10 0 10 点E的坐标为 14.(1)解：①0A=20C=2, 0C=2, ∴点B的坐标是2,2： 故答案为：2，V2. ②点D,E分别为线段BC,AB的中点，理由如下， 在矩形OABC中，BC=OA=2,AB=OC=V2,∠OCB=∠ABC=90°. .∴.∠COD+∠CDO=90°. .OD⊥DE, ∴.∠CDO+∠BDE=90°. ∴.∠COD=∠BDE ∴.△COD一△BDE .CD_CO ·BE=BD :点D,E在反比例函数y=k的图象上， n,》 CD=2K,AE= 2 BD=2-2*=2小2》Bs=2-含 2 ∴.BD=2BE, ∴.CO=2CD: ∴.CD=1,k=2. ·AE=2 ∴.点D,E分别为线段BC,AB的中点. (2)解：点F,E分别为线段OA,AB的黄金分割点，理由如下， ,OD‖EF, ∴.∠DOF=∠EFA, ,'∠DFO=∠EAF=90°， ∴.△DOF一△EFA ..OF_DF ·FA-EA (m.in. n ∴OF=m,DF=k，OA=n,AE=k m k :.m=m-n n-m k m n OF=0A,即OE=A FA OF OA OF ∴.点F为线段OA的黄金分割点. .m=n n-m m ..n-m-m m n kk AE=m,BEm n_n-m ABn’AEk m n .AE-BE AB AE ∴.点E为线段AB的黄金分割点 15.(1)解：把点B,6i代入y=m 得m=-6. 反比例函数的表达式为y=一6 X 把点E(n,-3)代入y=-6 ,得n=2. (2)由(1)得：n=2,则E(2,-3), 由图象可知：X←1或0<X<2, (3)①把B(-1,6),E(2,-3)分别代入y=ax+b, 得就，解得：i ∴一次函数的表达式为y=-3x+3, ②点D在反比例函数的图象上 理由如下： 过点D作DG⊥y轴于点G,过点B作BF⊥y轴于点F, 则∠BFA=∠AGD=90°. 在y=-3x+3中，当x=0时，y=3. ∴.OA=3 B(-1,6), .BF=1,OF=6 ·AF=3 四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，BA=DA. ∴.∠DAG+∠FAB=90°. :∠FBA+∠FAB=90°， ∴∠FBA=∠DAG ·△BFA≌△AGD. ..DG=AF=3,AG=BF=1 0G=2 D(-3,2) -3×2=-6, ∴点D在反比例函数图象上， （4)若一次函数y=x-2k+2(k≠0)与反比例函数y=”的图象没有公共点， 则kx-2k+2=-6 无实数根，整理得：kx2-（2k-2)x+6=0, △=[-(2k-2)2-4×6k=4k2-32k+4, 当4k2-32k+4=0时，k1=4-15,k2=4+V15, y=4k2-32k+4的函数图象开口向上， ∴y=4k2-32k+4<0的解集是4-V15<k<4+15. ：一次函数y=kx-2k+2(k≠0)与反比例函数y=m的图象没有公共点，k的取值范围为 X 4-V15<k<4+15. .3 16.(1)解：由题意可把点A4,n代入一次函数y=之X-3可得： 0-3×4-3=3 A4,3. k=3×4=12. 12 (2)解：由(1)知反比例函数的解析式为y2= X 12三一4： 当-3≤x<0时，y2 当x>0时，y2>0. ∴y2的取值范围是y2≤-4或y2>0. (3)解：如图，过点A作AH⊥BF垂足为H,连接AF, y 当y=0时，y号x-3=0,解得x=2 ∴点B的坐标为2,0. .A4,3, ∴AB=4-22+3-02=V13 四边形ABFD是菱形， .AB=BF=13,AB‖FD. =号×13x3=313 2 、3 (4)解：“y1=X-3交y轴于点C, .C0,-3. ∴.AC=42+62=213 ①如图，当点P在x轴上时， 设点Pa,0, 当∠CAP1=90时，则AC2+AP,2=CP, 即23+4-a2+3-02=a-0+0+3那，解得a=17 当∠CP2A=90°时，则AP,2+CP,2=AC, 即4-a2+3-02+a-02+0+32=2132,解得a=2±V13, ∴.P213+2,0,P32-V13,0. 当∠ACP4=90°时，则AC2+CP,=AP4, 即213+a-0+0+32=4-a2+3-0,解得a=,9 9,叫 ②如图，当点P在y轴上时， 设点P0,m, 当∠PAC=90时，则AC2+AP2=CP, 即23+4-0P+3-m=m+3识，解得m=9 3 pfo 当∠CP。A=90°时， .P6A∥x轴， ∴P60,3. 综上所运：当以点A,P、C为顶点的三角形为直角三角形时，点P03皮0，号女 2,02-,0国2+,070 17.解：(1)·点A(-2,4)是反比例函数y=m与一次函数y=kx+b(k≠0)的交点， X .4=m ’即m=-8, ”反比例函数的表达式为y=一8 ,0=4, 将点B(a,-2)代入反比例函数y=二8 .点B的坐标为B(4,-2), 将A(-2,4),B(4,-2)代入一次函数y=kx+b(k≠0)中， ., 解得∴.， ∴.一次函数的函数表达式为y=一x+2; (2).点C的坐标为Ct,-2,点B的坐标为B(4,-2),A(-2,4), ∴.BC‖x轴 :5am=BCyx-ya小 24=×4-t0×6, .t=-4: (3).在正方形AOCD中，A(-2,4),O(0,0),C-4,-2, ,过点A作y轴的垂线，垂足为N,过点D作MN的垂线，交MN与点M, .△ANO≌△DMA(ASA) B .D(-6,2), 如图： 当正方形AOCD和正方形AOCD是位似图形时，点O的对应点为O-3,0,点A的 对应点A在反比例函数y=四m0的图象上，不妨设点C的对应点为C,点D的对应点 X 为D,则AO‖AO, ,A(-2,4) ∴.yoA=-2X, .AOll AO,O-3,0), .yoA=-2x-6, :y0A=-2x-6与y=-8相交于点A, X -2x-6=-8 解得X1=-4或X2=1, 当x1=-4时，位似中心的坐标为(-6,0)， 当x2=1时，位似中心的坐标为(-1,0) 18.(1)解：直线y=x+b过点B(0,-2), 0+b=-2, b=-2, 直线y=x-2过点A3,n, n=3-2=1, ∴.A3,1, y=过点A31 k=Xy=3×1=3. 2设P,引 则Qt,t-2, A3,1,B0,-2, P0=-t-2 Sag=5awt5amw号PQ化4-Xg小 2--2*3=6 得：t2+2t-3=0, t+3t-1=0, 解得：t=1,t=-3(舍). P(1,3): (3)①如图1， G D B 图1 Q(t,t-2), 当BC是边，点D在x轴正半轴上， 作CF⊥OB于F,作DG⊥CF于G, ∴∠BFC=∠G=90, ∠FBC+∠FCB=90, :∠BCD=90°， ∴·∠DCG+∠FCB=90, .∠FBC=∠DCG .BC=CD, ∴△BFC=△CGD(AAS), ∴CF=DG OF=DG, ∴OF=CF, 3+t-2 ..t 2 t” ∴t1=1,t2=-3（舍去)， P(1,3)月 ②如图2， D B G 图2 当点D在x轴的负半轴上时， 由上知：BG=DF=2, t=2, 乳 ③如图3， 当BC是对角线时， C O 图3 当BC是对角线时，点D在x轴的负半轴上时， 可得：CF=OD,DF=OB=2, 3+t-2 ..t =2-t' 2 t=1, P1,3, ④如图4， 珠 →CG=DF=2DG=BF R 图4 3+t-2 t+2= 2 t1=23-3,t2=-23-3(舍)， 当t=23-3时，y=23-3 3 =2V3+3, ∴P23-3,23+3 综上所述：P(1,3或P2,引 或P2V3-3,23+3: 19.(1)解：①，点A是第一象限的直线y1=2x上一点，设点A的横坐标为m,m=1, ∴.A1,2, AB=1, ·BC‖x轴，AB=AC, .BC=2AB=2, C2,2, 将C2.2代xy= 得k=4, y,的画数表达式是 ②当x=1时，y2=4, 根据函数图象，可知当X>1时，y2的取值范围是0<y2<4, 故答案为：0<y2<4; (2)解：根据题意得y,=6,则点Em,,F0,6 X m m y,=6 即2x=6 m 解得K二3 m G36 m ml 当点E在FG上时，如图， B G=高 EG=3-m, .FG=3EG, 3-33-m, 解得m=2(负值已舍去)： 当点E在FG延长线上时，如图， B D FG=3,EG=m-3 m .FG=3EG, 3=3m-3 m 解得m=2(负值己舍去)： (3)解：由(2)知G 36 m'm ,m=V2或m=2, G 32 32咸G 2 20.解：(1)联立直线与曲线， 得x2-4x+k=0, 由根与系数的关系可得X1+x2=4,X1X2=k, :y1=3y2, +2=3 %2 整理得X1-3X2=-8, 结合x1+X2=4,解得x1=1,X2=3, 当x=1时，y=子x+2=多 点A坐标为1,2 故答案为： (2)由(1)知x1+X2=4, y+y2=弓x+2日%+2司x++4=司x4+4=2 ,AC⊥x轴于C,BD⊥X轴于D,且A,B在第一象限， .AC+BD=y1+y2=2: (3)设Aa,bja>0,b>0,则AM=OC=a,CA=b,ab=k, FM=nAM n>1), ∴.FM=na,即F-na,b,E-na,0, ∴.EF=b, ”x=-na,y=-k=-ab=b x -na n :y=-k=b. X x=二k=-0b=-a,则G-a,b, bb 设直线GQ的解析式为y=kx+b, 则(，解得(， 六直线GQ的解析式为y=b, x+n+1b. na n 当y=0时，x+n+b=0,解得x=-a-a, na n ∴.H-na-a,0, .HE=-na--na-a=a=OC, 在△HEF和△OCA中， d, '.△HEF≌△OCA, .∠FHE=∠AOC, .FH‖AO(同位角相等，两直线平行)， 又.'AF‖x轴 ∴.AF‖lOH, ∴.四边形AFHO为平行四边形.