重庆实验外国语学校2025-2026学年高三下学期模考五数学试题

模考5答案 2 8 9 10 11 D 0 BC AC BD 6将五名同学分为四组，每组人数分别为2、1、1、1，分组方法种数为C=10种， 所以，五名同学报名四门课程，每名同学均稀选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选 修，不同的报名种数为CA4=240种， 考虑数独的报名人数， ①若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有2种情况， 若选修几何画板只有一人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有3种情况， 最后将剩余3人分为两组，再分配给另外两门课程， 此时不同的选择情况种数为2×3×CA?=36种； 若选修几何画板有两人，有C子种情况，剩余两人选修剩余两门课程， 此时不同的选择方法种数为2C?A2=12种； ②若数独有两人报名（乙和丙）， 则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况. 剩余两人报名剩余两名课程， 此时不同的选择方法种数为2A2=4种。 综上所述，所求概率 36+12+4=52=-13 24024060 M 7g(x)=f2(x)-2cosx,g(x)=2f(x).f(x)+2sinx>0, 故y=g(x)在定义域R上是增函数，所以g 引 10 F 即印r引所（引 8设△FFP的外接圆的圆心为M,则M在FF,的垂直平分线上 又P在x=a2上，M在y轴上MP≥a2,即当△FF2P的外接圆的半径为MP=a2时，周长取最小值， 由恩盛可知，c=1,后即a=2,所以该两的半轻为4 第1页供8页 11【详解】对于A,波兰表达式“×个263”，即26×3=192，故A错误： 对于B,波兰表达式“+个2xx”的值大于6，等价于2+x>6, 因为函数y=2*+x一6在R上单调递增，且x=2为其袋点， 所以所求x的取值范围是(2，+∞)，故B正确： 对于C,波兰表达式“+x+13xa个x3xb个x2x”表示的函数为y=a心2+b+x, 3 则y=ax2+2bx+1,又函数无极值，所以△=4b2-4a≤0，则a≥b2≥0， 所以a+16≥b+16 B2 2≥2b2.16=8,当且仅当a=b2=4时等号成立 又a+岩≤8，故a+总=8，则a=公=4，g--2,放C错误 .16 对于D,波兰表达式“-个2x×3x”的值为-2等价于2*-3x=-2, 易知x=2满足该等式，令f(x)=2-3x+2,则f(x)=2血2-3， 8知f到-0有隆-解x=lb3,品2n8,0高-lb8:9>2, 且f(x)在区间(0，)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增， 又f(2)=0,f(x)<f(2)=0,f3)=1>0, 由零点存在定理知，方程2-3x=-2必存在另外一解X,且x>2, 所以x的所有取值之和大于4，故D正确， 【详解】对于①，当直四棱柱ABCD-A,BCD的底面为正方形时， 其在各项点处的离散曲率都相等，当直四棱柱ABCD-AB,C,D,的底面不为正方形时，其在同一底面且相 邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故①错误： 对于②，若AC=BD,则菱形ABCD为正方形， 因为AA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD, 所以A4⊥AB,AA⊥AD, 所以直四俊生8CD-4,CD,在预点4处的离酸率为-岩经+宁引子做©正确： 第2页共8页 对于⑨，若=D,则∠BAD=于， 的 又AA⊥AB,AA⊥AD, 所议直四袋能8C0-48C0在项点4处皮数自率为1-任子引一 故③错误： 对于④，在四面体A,ABD中，AA⊥AB,AA⊥AD,AA=AB=AD, 所以∠AAB=∠A4D= 41 所以四面体AABD在点A处的离散曲率为1- +40- 解得∠B4D-骨易知4B=4D=2A8, 所以BD=√2AB,所以AB⊥AD, 所以直四棱柱ABCD-A,B,C,D,为正方体， 因为CD⊥平面ADDA,ADC平面ADDA, 所以CD⊥AD, 又AD,⊥AD,AD,OCD=D,AD,CDC平面AC,D, 所以AD⊥平面ACD, 又ACC平面ACD,所以AC⊥AD, 同理BD⊥AC, 又AD∩BD=D,AD,BDc平面ABD, 所以AC⊥平面ABD,故④正确， 所以正确的有②④， 故答案为：②④. 第3页/供8页 D C B C B 150B= 3 0<C< ()因为VABC为锐角三角形，则 2 0<A= 人天所以，6下<飞 3 所以， tanc 3 则0<、1 <3, tanC 由正弦定理可得 sinA sinC' a=csinA 4sin C+ 所以， 3 2si血C+25cosC=2426 sinC sinC sinC aace(2,8)' 即a的取值范围是(2,8) 160y=@当a=1时，f创=地”-，fe间=-e-e1c产 令8(x)=1-x-e2,g(x)=-1-2e2<0, 故g(x)在R上单调递减，而g(O)=0,因此0是g(x)在R上 的唯一零点 (-9,0) 0 (0,+oo) 即：0是'(x)在R上的唯一零点 f(x) + 0 当x变化时，∫'"(x),∫(x)的变化情况如下表： 极大 f(x)的单调递减区间为：(0，+∞)：递增区间为：（-o,0) ) 值 fx)的极大值为f(0)=-1,无极小值 第4页/供8页 (3)油题意知xe-aee,即a≥e-e, e,即a2￥1 2e-e 设m(产-日则w-2上2三 (e2)月 e2x 令m()=0,解得x=子当分引，m(>0,m()单调适， 当e(侵（闲<0，果满送流所似m)名云 所以a≥-1 2e 17.(1)证明：若n为奇数，则n+1是偶数，n+2是奇数， 所以a1=an+la+2=(an+1)+2=an+3,即a+2-an=3, 所以{a}的奇数项是首项为a=1,公差为3的等差数列. (2)当n=2k(keN)时，Sn=Sk=(a+4+a,+…+ak)+(a2+a4+a6+…+k) =(4+a3+a45+…+4-i)+(4+1+4+1+4+1++a2k+1) -2%+a+a++aat-2a+对+=球-3r周- 因为a2k=a2k+1=4+3(k-1)+1=3k-1, 所以当n=2k-l(k∈N)时， 又-及-8a=g-+1-3-3生41-2+ m,n为偶数， 4 综上所述，S= 2n2+2n为奇数 1 04 41 18)4夺冠即为三轮比赛都球连，所以A夺冠的概率为们)多 由题意，B~H七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1. 所以8日七名运动员各自夺适的概*约为分1-岛》一品 第5页供8页 (2)记事件B="B获得冠军"，事件A="B与A对决过"，事件A=“B与A在第i轮对决”，i=1,2,3. 不妨设A在①号位，则B在第1,2,3轮能与A对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧. P(AB)=P(A+A2+A)B)=P(4B)+P(4,B)+P(4,B), P4到--副引拉P6号-引片高 P4务-引 (3)记事件C=“B与C对决过” B没有与A对决过且最后获得冠军的概率P()=P)-P6=”刃-？ 189756756 P(BC)=P((A+A)BC)=P(ABC)+P(ABC)=P(AB)P(CIAB)+P(AB)P(CI AB). 由题意，C~H六名运动员与B对决过的概率相同，B夺冠时共与三名运动员对决. 所以PG-名PG-君 代aPo忍名器名0 19.(1)当日=2时，AF⊥DF,所以点A的坐标为 因为04=√5，所以， 卫 +p2=5, 解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x。 ®0准平面直角坐标系中，若9=子则直线B的方程为y=5(-), 联立 y=5(x-l得3x-10x+3=0解得x=3瞼=字 y2=4x, 过O点作平面DBF的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则D(-1,0,0),B F1,0,0), 第页/供8页 当=面肉P-D-B的大水为晋点P34血o侧-》4纵血子m)》,即 3 P3V5,3, 所以BD 29小F3i丽小 设平面PBF的法向量为i=(x,y,z) 元PF=0 〔-2x-V5y-3z=0, x=-V3y, 则 即2.+ 元BF=0, 2 解得 3y=0 5取y=5,得i=(-3,5,), 2= 3 BD.月4+2+095 设直线BD与平面PDF所成角为日，则si血8= BD园 21.16 91 所以直线BD与平面PBF所成角的正弦值为9 91 ®油题意得w=Ks一有8ar·名，-号行Dr个B血0 [Ptm0s(-】-5epra, 当0=5时，12时=lP=2,w=522img-25 6 23 当日受时，在平面直角坐标系中，设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为)=k(x-), 设点A,B的坐标分别为(：，)，(：2,2)， y=x-得x-(22+4x+k=0, 联立=4， 第7页供8页 则△=(2+4-4k=162+16>0,x+,=2+4, 2=1, 因为sn0+cos20=1,k=tan0=sin9 k2+1 所%w-sp9ea9-5arao. -9+09+司 （气-片429， 2+1622+16 3 综上所述，三棱锥D-PBF的体积为定值2 3 第8页供8页重庆实验外国语学校 2025-2026学年度（下）高2026届模考五 数学试题 (满分150分，120分钟完成) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合4={xeM帅5x≤2头，8={-x-2=0吲，则4n8=《) A.{2} B.{-} 6.{-12} D.{-1,1,2} 2.若复数2=2-1，则21的虚部为（() i-z A c 3若a>0,6>0,且a+b=1,则日君的最大值为(）( A-9 B.-7 C.-5 D.-3 4.已知函数f(x)=cos2x-osx,则函数f(x)在区间[0,2元上的零点个数为() AI B.2 C.3 D.4 ,5.已知△ABc的外接圈的半径为1，A=兮，点G满足G+GB+GC=0,且AG,B=AG.AC,则△ABC 的面积为（) A.⑤ B35 c. D.3V3 4 4 16 16 6.为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与 生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有 一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为() 7 A.80 7 B.60 c 7.已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导数是f'(x),且f(x)f'(x)+si血x>0恒成立，则( a(c(( 第1页/供5页 &a如锅图C学 +=1a>b>0),R(-10),R(化0)分别为椭圆的左右焦点，离心率为2，点P为直 线x=a上的一点当△PFF的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（) A.1 B.2 C.4 D.8 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9.下列说法中正确的是() A带本数品（气，=1,2川的对应#本点都在直线y=-1上，则这组样本发裙的相关系数为号 B.若样本数据，x2,…,的方差为4，则数据3x+1,3x2+1,…,3x,+1的标准差是6 C.以模型y=ce“去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,求得线性回归方程为2=0.3x+4, 则c,k的值分别为e4和0.3 D.按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29.3137,40,41,50：乙组数据为24,30,33,44， 48,52,60,68,70,80.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 10.己知数列{an}满足an+14n=4an-4（n∈N,),则（) B.数列a,-2 1 A{an}可能是常数列 是等差数列 .9165 1 c.若a,=3,则∑ D.数列 可能为公差不为0的等差数列 an-22 a. 11.波兰表达式(Polish notation).是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰 表达式的基本结构为“运算符操作数1操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与 接下来的两个操作数结合.如：波兰表达式“×+135”的运算过程为：先将“+13”转化为：“1+3”， 再以“×”为运算符，“1+3”和“5”为操作数，即得“(1+3)×5”：波兰表达式“-×2个x3×3个x2” 中，“个”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“个x3”转化为x“”,将“个x2”转化为“x2”, 再由“×2x3”得“2x3”,由“×3x2”得“3x2”,最后由“-2x23x2”得“2x32-3x2”.根据上述内 容，下列说法正确的是（)附：n2≈0.7. A.波兰表达式“×个263”的值为108 B.若波兰表达式“+个2x”的值大于6，则x的取值范围是(2，+∞) 第2页/供5页 C.若波兰表达式“+×+13xa个3xb个￥2x”表示的函数无极值，且a+名s8,则a2-5=8 D.若波兰表达式“-个2x×3x”的值为-2，则x的所有取值之和大于4 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12.若双曲线兰+广=1的离心率为3，则m=一 mm+l 13.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用80℃的开水泡 制，再等茶水温度降至35℃时饮用，可以产生最佳口感若茶水原来的温度是T,℃，经过一定时间mn后 的器度心则可由公式T-=收-Z)日 求得，其中T。表示室温，是一个随着物体与空气的接 触状况而定的正常数，现有一杯80℃的绿茶放在室温为20℃的房间中，已知茶温降到50℃器要10mi血.那么 在20℃室温下，用80℃的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间mi血，才能达到最佳饮用口感. 14.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为 1-(0P%+20,P2++Q,Pg+见，Pg),共中g=3kk≥e为多面体M 的所有与点P相邻的项点，且平面2P22,平面2，P2,,平面2-P2和平面2，P2为多面体M的 所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱ABCD-A,B,CD,中，底面ABCD为菱形，AA=AB ①直四棱柱ABCD一AB,C,D,在其各顶点处的离散曲率都相等； ②诺AC=BD,则直四校柱BCD-ABCD,在顶点A处的离散曲率为行 ③考B=BD,则直四棱柱ABCD-4B,CD,在顶点A处的离散曲率为 2 @若四面体416D在点4处的离徽曲率为7，则4G1平面48D 上述说法正确的有（填写序号） 四、解答题：本大题共5小题，共61分 15.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且bcos (1)求角B; (2)若△ABC是锐角三角形，且c=4,求a的取值范围. 第3页/供5页 16已知函数f(=。-ae5,aeR. (1)当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程： (2)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值： (3)若对任意x∈R,有f(x)≤e-恒成立，求a的取值范围. 17.已知数列{a}的首项是1，a1= an+l,n为奇数， an+2,n为偶数. (1)证明：{an}的奇数项成等差数列： (2)求{an}的前n项和Sx· 18.有A,B,C,D,E,F，G，H八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛 三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知B~H这七名 运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，A运动员与其它运动员对决时，A获胜的概率为子，每场对 3 决没有平局，且结果相互独立。 冠军 决赛[ 半决赛厂 预赛卜，门 ①②③.④⑤⑥⑦⑧ (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率： (2)求B与A对决过且最后获得冠军的概率； (3)求B与C对决过且最后获得冠军的概率， 第4页供5项 19.如图1，已知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点D,过点F作倾斜角为日的直 线交抛物线于A,B两点（点A在第一象限）.当日=时，lO4=√5. B 图1 图2 (1)求抛物线C的方程： 2π (2)如图2，把△ADF沿DF翻折为△PDF,使得二面角P-DF-B的大小为 3 ①若O=号，求直线BD与平面PBF所成角的正弦值： 3 ②证明：三棱锥D-PBF的体积为定值，