山西汾阳中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年春季学期高一期中考试 数学参考答案 1.【答案】A 【解题思路】利用复数的除法求出，进而求出其实部. 【解答过程】复数，所以的实部为. 故选：A 2.【答案】D 【解题思路】根据题意，得到，结合，列出方程，即可求解. 【解答过程】由向量，可得， 因为，可得，解得. 故选：D 3.【答案】C 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 4.【答案】A 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 5.C 【分析】根据空间直线的位置关系进行判断即可． 【详解】、是两条异面直线，， 与可能相交，可能是异面直线，不可能平行， 若，，，与，是异面直线矛盾， 故选：C． 6.【答案】B 【解题思路】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论. 【解答过程】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 7.【答案】D 【解题思路】根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案. 【解答过程】设， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 8.故选：B. 解：作PO′⊥平面ABCD，垂足为O′，则O′是正方形ABCD外接圆的圆心， 则正四棱锥P﹣ABCD外接球的球心O在PO′上， 取棱AB的中点E，连接O′D，O′E，OD，PE，作OH⊥PE，垂足为H． ∵AB＝4，∴BD＝4，即 ，O′E＝2， PE2，O′P4， 设四棱锥P﹣ABCD 外接球的半径为R，则 R2＝O'D2+O'O2＝OP2＝（O'P﹣OO'）2， 即R2＝8+O'O2＝（4﹣O'O）2，得OO'＝1，即R2＝8+O'O2＝9，即R＝3． 由题意易证△OPH∽△EPO′，则，则， 故平面PAB截四棱锥P﹣ABCD外接球的截面面积S．故选：B． 9.【答案】AD 【解题思路】利用向量坐标运算求出的坐标，再利用向量坐标运算逐项判断. 【解答过程】依题意，， 对于A，，因此，A正确； 对于B，，因此，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，向量在上的投影向量为，D正确. 故选：AD. 10. BCD 【分析】根据复数的几何意义、复数的乘除计算逐项判断即可. 【详解】因为时，复数， 所以在复平面内对应的点位于虚轴上，A错误； 因为复数满足，所以复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，B正确； 当复数的点位于时，取最大值为3，C正确； 由于，若的实部与虚部互为相反数， 则，即，D正确. 11. ABD 【详解】设，在直角中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确， 延长相交于点，连接交于点，则截面周长为， 在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得， ，又底面是边长为4的正方形，则， 故截面周长为，故B正确， 点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆， 圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误， 在中，，则的外接圆半径，显然平面， 因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为， 则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确. 12.【答案】2 【详解】由题可知：， 所以 13 [答案]：2 解：S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.故答案为：2. 14. 27.5 【分析】在中，利用正弦定理求出，在根据计算即可得出结果. 【详解】因为在点处测得解放碑的基座中心点位于北偏东方向，在点处测得位于北偏西方向，、、在同一水平面上， 所以，，所以. 由正弦定理可得：， 米，，. 所以米. 在中，，根据正切函数， 所以米. 故答案为：27.5 15.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】（1），又，，， 即，................3分 ，解得.................6分 （2）因为，，................8分 又， ，................11分 即，解得....................13分 16．(1)或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理得，................2分 整理得，解得.................5分 所以边的值为或.................7分 （2）当时，；................10分 当时，.................13分 所以的面积为或.................15分 17.【答案】(1)，． (2). (3)P为线段上靠近点C的三等分点． 【分析】（1）利用向量减法的三角形法则求解； （2）根据已知 将用进行表示，的方程组计算得到的值； （3）设，．将用进行表示，得到的方程组，计算出的值，从而得到点P为线段上靠近点C的三等分点． 【详解】（1），．................4分 （2）由（1）知，，................5分 ，................6分 ，................7分 ，不共线，，................8分 解得.................9分 （3）设，． 由（2）知，， ． 又， ， ，不共线，，................12分 解得.................13分 ，即．................14分 ∴点P为线段上靠近点C的三等分点．................15分 18【答案】(1)，1 (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【解答过程】（1）由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故．...............4分 又由且， 可得．................7分 （2）由正弦定理，， 可得，， 则，（*）................10分 因，将其代入（*），可得： ．................13分 因，则，故，................15分 则的取值范围是．................17分 19. (1)， (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，的坐标，进而得出， 的值；再根据复向量的模的计算公式可求解. （2）先设出复向量的坐标，其中，， ，，，；再根据题目条件得出，得出即可证明. （3）先根据复向量数量积的运算法则得出复向量，，；再假设与平行列出等式，得出 ；最后根据，得出方程无解，假设错误，从而不存在实数，使得与平行. 【详解】（1），， ，................2分 ， ， ，.................4分 （2）设，， ，，，；设. ， ， ...............6分 .................9分 （3），， ， ， ，，.................12分 假设与平行， 则，即， 两端平方得：，即， ， 方程无解，................16分 故不存在实数，使得与平行.................17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春季学期高一期中考试 数学卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5mm黑色中性笔，将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2.请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。 3.本试题考试时间120分钟，满分150分。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.复数2=i(其中i是虚数单位)的实部是() 2+i B、 5 3 D. 3 2.已知向量=(3,2)，b=(2,-2),c=(m,-1),若1(2d+b),则m等于（) A.-4 B.4 4 3.对于两个不共线向量e,e2,已知d=4e+3e2,万=me-2e2,若2a-与共线， 则m的值为() A了 C.、8 D. 3 3 3 3 4.“a=”是“=l且/”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知a,b是两条异面直线，c/a,那么c与b的位置关系（) A.一定是异面B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能相交 6.在△ABC中，若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状一定是（) A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不含60°的直角三角形 高一数学第一页共四页 7.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八 边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形 ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则AP·AB 的最小值为() A.√2 B.0 C.-4V2 D.-2W2 图1 图2 8.在正四棱锥P-ABCD中，AB=4,PA=2√6，则平面PAB截四棱锥P-ABCD外接球 的截面面积是() 4. 6W5π B.36元 U C.12π D.36π 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知平面向量a=(2,1),a-=(4,-3),则下列说法正确的是() A.aLb B.a+b=25 C向量à+与的夹角的余弦值为25 D.向量a-b在a上的投影向量为d 10.已知复数3满足名-2-1，复数2，=a+ 1- :（a∈R,i为虚数单位)，则下列选项正确 的是() A.若a=1,则z,在复平面内对应的点位于第一象限 B.复数z,在复平面内对应点的轨迹是圆心为(2,0)，半径为1的圆 C.z的最大值为3 D.若z2的实部与虚部互为相反数，则a=0 11.在长方体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AD上，且 PA=√10，PD=√2，则(） A.A4=1 B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5√2+2W10 C.以点P为球心，√为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π 高一数学第二页共四页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在△ABC中，a=2√3，b=2,∠C=30°，则c= 13.若一个圆台的母线长为1，上、下底面半径分别为r,”2,且满足21=r,+r2,其侧面 积为8元，则1= 14.抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业 步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战 争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意 义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距1652米的两个观测点A和 4 B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水 D 平面上)，且楼顶D的仰角（∠DAC)为30°； 在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西 45°方向，则解放碑的高度为 米. B 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(13分) 已知平面内三个向量a=(1,3),=(-1,2),c=(2,1) (1)若a=mb+nc,求实数m,n的值； (2)若(a+kc/2b-a),求实数k的值； 16.（本题15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2√2，b=2,B=30°. (1)求边c; (2)求△ABC的面积S. 高一数学第三页共四页 17.(本题15分) 如图所示，在△ABC中，AQ=QC,AR=AB,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC 交于点P (1)用AB和AC分别表示BQ和CR; (2)如果A=AB+BQ=AC+uCR,求实数和μ的值； (3)在（2)的条件下，确定点P在边BC上的位置. 18.（本题17分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, cos Aa ,a+2cos(B+C)=0. cosC 2b-c (1)求角A和边a; (2)求b-2c的取值范围. 19.(本题17分) 复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对(z,z2)(,2∈C)看作一个向量，记作 a=(z,22).我们把两复向量a,的数量积记作(a,).对于a=(z,22),b=(a3,z4), 3,22,23,24∈C,满足如下运算法则： ①a±i=(3,±23,22±z4) ②d=(2z1,z2）,元eR ③(a,b)=z1z3+z224 ④复向量a的模|a=√《a,a) 已知i为虚数单位，teR,a=(1+i,2-3i),b=(-i,3+3i),m=(1+i,2-i),i=(i,t). (1)求复向量a+b,a-b的模； (2)证明：若i=a,2eR,则(a,b)eR; (3)对两个复向量a与i,若1(a,b)日a‖bl,则称a与平行.是否存在t∈R,使m与 元平行，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 高一数学第四页共四页