精品解析：江苏省盐城市鹿鸣路初级中学等校2025-2026学年度第二学期期中考试八数学试卷

江苏省盐城市鹿鸣路初级中学等校2025-2026学年度第二学期期中考试八数学试卷 （卷面总分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式定义，判断式子的分母是否含有字母即可得出答案． 【详解】解：和分母不含字母，是整式； ，是整式； 分母为，含有字母，符合分式定义． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，故不是最简二次根式； C、，故不是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选：A． 3. 将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将多项式分解因式，应提取的公因式是． 4. 下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反． 【详解】解： A、∵是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，可分解为，∴A正确； B、∵中不是平方项，不符合要求，∴B错误； C、∵中不是平方项，且两项符号相同，不符合要求，∴C错误； D、∵是三项多项式，不符合要求，∴D错误． 5. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到x，y扩大3倍后的分式，利用分式的基本性质化简，与原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将x和y都扩大3倍后，得到新分式为， 对分子提取公因式，可得， 根据分式的基本性质，约去分子分母的公因子3，得到，与原分式相等，因此分式的值不变． 6. 已知，，则和的关系是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对进行分母有理化化简，再将化简结果与比较，即可得到和的关系． 【详解】解： ， 又∵， ∴． 7. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ） A. B. C. D. 12s 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，直接将代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 8. 年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 当分式的值为0时，的值为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， ∴的值为3． 11. 化简：__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解：． 12. 分式和的最简公分母是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即可得到结果． 【详解】解：由题意可得：分式的分母为，的分母为， ∴系数和的最小公倍数为，字母因式的最高次幂为，的最高次幂为， ∴最简公分母为． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，由此可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∴的值是． 14. 已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的增根求参数的值，先将原分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程有增根得到增根的取值，再代入整式方程求解即可得到的值． 【详解】解：， 去分母，得， 展开并整理，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， ∴的值为． 15. 高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据图形分别表示出、、三种板材的面积，然后根据使用的数量计算出背景墙的总面积，最后利用完全平方公式将总面积分解为平方的形式，从而得出正方形的边长． 【详解】解：由图可知，型板材的面积为，型板材的面积为，型板材的面积为， 根据题意，这面正方形背景墙的总面积为： ， 因为背景墙是正方形，且面积为， 所以这面正方形背景墙的边长是． 16. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，则下列结论：①；②若，则；③若则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先计算前几项得到数列每6个数为一个周期循环，再逐一判断每个结论即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴该数列以个数为一个周期循环， ① ， ，故①符合题意； ② ， ， ∴ ，故②符合题意； ③ ，即一个周期的乘积为， ， ， ， ， ，故③符合题意； ④ ，， ， ， ， 原式的值为整数，为整数， 是的约数， ∴，即， 由数列定义及各项表达式可知，分母均不能为， ∴， 根据分式有意义可知，分母，即，则， ∴排除，符合条件的共个，故④符合题意； 综上，符合题意的有①②③④． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解分式方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母，两边同乘得， 移项得， 解得， 经检验，当时，， 所以原分式方程的解为：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ； 当时，原式. 21. 课堂上，老师提出了课本页的一道练习题： 若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴， 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ （1）请用“作差法”完成老师提出的这道练习题； （2）比较大小：____．（填“”“”或“”） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据作差法即可得出答案； （）根据作差法即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴，， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴． 22. 观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：…… （1）请直接写出第5个等式____________． （2）根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数字规律探索，解题关键是根据已知条件中的等式找出规律． （1）观察已知条件中的等式可知：带分数的整数部分为，分数部分的分子与整数部分相同，分数的分母为整数部分的平方，按照此规律进行解答即可； （2）根据（1）中所找规律，然后进行证明即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：； 【小问2详解】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第n个等式：， 证明：左边 ， 右边 ， ， ． 23. 阅读下列素材，完成任务． 问题背景 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年·致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设． 素材一 已知一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元． 素材二 学校用2500元购进款机车模型的数量是用1500元购进款机车模型数量的2倍． 任务1 甲同学：设①__________的单价为元，由题意得方程：； 乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：②__________． 任务2 求A、B两款机车模型的单价． （1）任务1中横线①处应填__________，横线②处应填__________； （2）请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价． 【答案】（1）①款机车模型；② （2）款机车模型的单价为元，B款机车模型的单价为元 【解析】 【分析】（1）①根据“一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元”，结合方程即可得到①为款机车模型的单价为元；②设购买款机车模型辆，根据“一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元”建立方程即可； （2）根据所列方程，解分式方程，并且检验即可． 【小问1详解】 解：甲同学：设款机车模型的单价为元，由题意得方程：； 乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：． 【小问2详解】 解：甲同学：设款机车模型的单价为元， 由题意得方程： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则B款机车模型的单价为（元）； 乙同学：设购买款机车模型辆， 由题意得方程： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则B款机车模型的单价为（元），款机车模型的单价为（元） 答：款机车模型的单价为元，B款机车模型的单价为元． 24. 数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． （1）验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； （2）证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； （3）如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 【答案】（1）是 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （2）设这两个连续偶数分别为和，再根据平方差公式，以及“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （3）根据题意得，再根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是“鹿鸣美好式”； 【小问2详解】 证明：设任意两个连续偶数和（为整数），则 ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； 【小问3详解】 解：由题意得 ． 25. 在最近的学习中，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 例如：在正方形网格中构造格点线段（即线段端点都在小正方形的顶点处），．小明同学分析：由勾股定理得从而很快画出线段，如图①． 【模仿应用】 （1）我们可以运用构图法比较与的大小． 已知图②中，，请你在图②中构造合适的图形，并得出结论： __________（填“>”或“<”），依据是__________； 【探索创新】 （2）已知格点三边长分别为，则的面积为__________，此三角形最长边上的高是__________； （3）已知格点菱形，其周长为，则菱形的高为__________； 【拓展迁移】 （4）如图③，已知线段的长度为3，点是线段上的一动点，设，请在图形上合理构图画出取得最小值时点的位置，并求出最小值． 【答案】（1）；三角形中两边之和大于第三边 （2）； （3）或 （4）点如图所示，最小值为． 【解析】 【分析】（1）依照例子构造图形即可求解； （2）依照例子构造图形，利用等积法求解即可； （3）分两种情况讨论，利用等积法求解即可； （4）过点和分别作的垂线，使，，构造图形，利用三角形三边关系结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 则，，， ∵， ∴； 依据是：三角形中两边之和大于第三边； 【小问2详解】 解：如图， 则，，， ∴的面积为， ∵， ∴设边上的高为， ∴， ∴，即三角形最长边上的高是； 【小问3详解】 解：∵菱形周长为，则边长为，如图， 菱形和菱形都符合题意， 设菱形的高为， 对于菱形，对角线长分别为2和8， ∴， ∴； 对于菱形，对角线长分别为和， ∴， ∴； 综上，菱形的高为或； 【小问4详解】 解： 构造图形，线段的长度为3，，则， 过点和分别作的垂线，使，，连接，，， 此时，， ∵， ∴的最小值为的长， 则与的交点为， 以和为边构造矩形， ∴，， ∴． 26. 知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： （1）已知，则代数式的值为__________； （2）因式分解：； （3）①若，则的最小值为__________； ②若，的最小值为__________； （4）已知，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①；② （4）的最小值为 【解析】 【分析】（1）将变形为，再将代入求解即可； （2）令，原式变为，可化为，再根据完全平方公式求解即可； （3）①变形为，再根据材料2的方法求解即可； ②令，则，，原式变为再根据材料2的方法求解即可； （4）由，得到，再通过变形得到，根据材料2的方法求解即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：令， ∴原式 ； 【小问3详解】 解：①， ∵， ∴， 由材料2可得， ， 当且仅当，即时，取得最小值2， ∴的最小值为； ②令，则，， ∴， ∴， 由材料2可得，， 当且仅当，即（满足）时，取最小值， ∴的最小值为； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当，即等号成立，此时， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市鹿鸣路初级中学等校2025-2026学年度第二学期期中考试八数学试卷 （卷面总分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变 6. 已知，，则和的关系是（） A. B. C. D. 7. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（ ） A. B. C. D. 12s 8. 年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 10. 当分式的值为0时，的值为__________． 11. 化简：__________． 12. 分式和的最简公分母是______． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 14. 已知关于的分式方程有增根，则的值为______． 15. 高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 16. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，则下列结论：①；②若，则；③若则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共有10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解分式方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 课堂上，老师提出了课本页的一道练习题： 若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴， 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ （1）请用“作差法”完成老师提出的这道练习题； （2）比较大小：____．（填“”“”或“”） 22. 观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：…… （1）请直接写出第5个等式____________． （2）根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明． 23. 阅读下列素材，完成任务． 问题背景 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年·致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设． 素材一 已知一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元． 素材二 学校用2500元购进款机车模型的数量是用1500元购进款机车模型数量的2倍． 任务1 甲同学：设①__________的单价为元，由题意得方程：； 乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：②__________． 任务2 求A、B两款机车模型的单价． （1）任务1中横线①处应填__________，横线②处应填__________； （2）请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价． 24. 数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． （1）验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； （2）证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； （3）如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 25. 在最近的学习中，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 例如：在正方形网格中构造格点线段（即线段端点都在小正方形的顶点处），．小明同学分析：由勾股定理得从而很快画出线段，如图①． 【模仿应用】 （1）我们可以运用构图法比较与的大小． 已知图②中，，请你在图②中构造合适的图形，并得出结论： __________（填“>”或“<”），依据是__________； 【探索创新】 （2）已知格点三边长分别为，则的面积为__________，此三角形最长边上的高是__________； （3）已知格点菱形，其周长为，则菱形的高为__________； 【拓展迁移】 （4）如图③，已知线段的长度为3，点是线段上的一动点，设，请在图形上合理构图画出取得最小值时点的位置，并求出最小值． 26. 知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： （1）已知，则代数式的值为__________； （2）因式分解：； （3）①若，则的最小值为__________； ②若，的最小值为__________； （4）已知，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $