第十章 概率【7大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率 题型预览 题型一 古典概型的计算 题型二 有放回和无放回的问题 题型三 概率的基本性质 题型四 互斥与对立事件的辨析 题型五 利用互斥与对立事件求概率 题型六 独立事件的判断 题型七 独立事件的乘法公式 知识清单 试验的样本空间 1．随机试验的定义 我们把对 随机现象 的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 2．随机试验的特点 (1)试验可以在 相同 条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是 明确可知 的，并且 不止一个 ； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个 ，但事先不能确定出现 哪一个结果 ． 3．样本点、样本空间 样本点 随机试验E的 每个可能的 基本结果称为样本点，用 ω 表示样本点 样本空间 全体样本点 的集合Ω称为试验E的样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝ {ω1，ω2，…，ωn} 为有限样本空间 样本点个数的三个探求方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 随机事件、必然事件、不可能事件 随机事件 将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件，并把只包含 一个 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件 事件的关系 关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B 一定 发生，称事件B 包含 事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B ⊇ A且A ⊇ B，则称事件A与事件B相等 A＝B 事件间的运算 定义 符号表示 图示 并事件 事件A与事件B 至少有一个 发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或 A＋B ) 交事件 事件A与事件B 同时 发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或 AB ) 【注意】事件A∪B指的是事件A与事件B至少有一个发生，不是事件A与事件B只有一个发生. 互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 如果事件A与事件B 不能同时 发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若 A∩B＝∅ ，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 有且仅有一个 发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若 A∩B＝∅ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立 【注意】若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件；反之，不一定成立. 判断互斥事件、对立事件的两种方法 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 古典概型的定义 1．概率 对随机事件发生可能性大小的 度量 (数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P(A) 表示． 2．古典概型的定义 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的 样本点 只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 ． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 【注意】古典概型必须同时具备两个特征，缺一不可. 古典概型概率的计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 求古典概型概率的步骤 (1)判断所给概率模型是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n． (3)算出事件A包含的样本点个数m． (4)算出事件A的概率，即P(A)＝． “放回”与“不放回”问题 解决放回与不放回问题应注意的两点 (1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的． (2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复． 概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0． 性质2　必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即P(Ω)＝ 1 ，P(∅)＝ 0 ． 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1－P(A) ，P(A)＝ 1－P(B) ． 性质5　如果A⊆B，那么 P(A)≤P(B) ． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 判断两个事件相互独立的方法 (1)定量法：利用P(AB)＝ P(A)P(B) 是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立． (2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若 没有影响 就是相互独立事件． 相互独立事件的性质 (1)必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立． (2)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B与也都相互独立． 【注意】当三个事件A，B，C两两独立时，等式P( ABC )＝P(A)P(B)P( C )一般不成立. 相互独立事件概率求解的关注点 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各事件是相互独立的．②确定各事件会同时发生．③先求每个事件发生的概率，再求其积． (2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法． (3)已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 AB P(A)P(B) A，B都不发生 PP A，B恰有一个发生 ∪ A，B中至少有一个发生 P(A)P＋P·P(B)＋P(A)·P(B) A，B中至多有一个发生 ∪∪ P(A)P＋P·P(B)＋P·P 频率的稳定性 1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐 稳定 于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的 稳定 性．因此，我们可以用频率f n(A) 估计 概率P(A)． 2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关． 频率与概率的关系 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定． (3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 题型突破 题型一 古典概型的计算 1．（25-26高二下·上海·期中）投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 2．（25-26高二下·北京海淀·期中）一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·月考）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 4．（25-26高一下·江西景德镇·月考）书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 5．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 题型二 有放回和无放回的问题 6．（2026·河南许昌·模拟预测）袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______. 7．（25-26高三上·江苏苏州·期末）一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 8．（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 9．（25-26高二上·山东·月考）箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束. (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率. 10．（25-26高二上·广东中山·月考）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 题型三 概率的基本性质 11．（25-26高二上·湖北荆州·期末）设随机事件满足，则__________． 12．（25-26高二上·湖北·月考）已知.如果，那么_________. 13．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，，则________． 14．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025高三·全国·专题练习）某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为______． 题型四 互斥与对立事件的辨析 16．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 17．（24-25高二上·山东淄博·月考）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 18．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 19．（24-25高一下·山东临沂·月考）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少一个红球 C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有一个黑球与都是红球 20．（24-25高一下·广东清远·期末）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（    ） A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件 C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件 题型五 利用互斥与对立事件求概率 21．（2026·甘肃张掖·模拟预测）小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 22．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 23．（24-25高一下·江苏无锡·月考）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 24．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若对立，则 25．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 题型六 独立事件的判断 26．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 27．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 28．（25-26高一下·贵州遵义·月考）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 29．（25-26高一上·山东潍坊·期末）（多选）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 30．（25-26高二上·福建宁德·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 题型七 独立事件的乘法公式 31．（2026·四川自贡·三模）已知事件，相互独立，，，则______. 32．（24-25高二下·浙江·期中）在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立．第一门大炮射击的命中率为0.4．第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6．根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6．则弹药库被摧毁的概率为______． 33．（2026·广东汕头·二模）（多选）从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（   ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 34．（25-26高一下·江西宜春·月考）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 35．（25-26高一下·江西宜春·月考）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 36．（25-26高三下·安徽合肥·月考）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占_______. 强化训练 1．（25-26高二下·江苏镇江·期中）在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 3．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知随机事件A，B相互独立，若，，则（    ）． A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.15 4．（25-26高二下·云南怒江·月考）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 5．（25-26高三下·浙江·开学考试）在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（    ） A．210% B．100% C．97.3% D．70% 6．（2026·陕西安康·三模）（多选）一个不透明的口袋中装有个完全相同的乒乓球，其中个标有数字，个标有数字，记事件表示“第一次取到标有的球”，事件表示“第二次取到标有的球”，则下列说法正确的是（   ） A．若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为 B．若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为 C．若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，互斥 D．若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，相互独立 7．（河南濮阳市2026年高中三年级第二次模拟考试数学试卷）（多选）在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（   ） A．只有一个小组受到奖励的概率等于 B．技术难题被攻克的概率为 C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 8．（25-26高一下·安徽安庆·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 9．（25-26高二下·上海·期中）甲､乙射击命中目标的概率分别为，现在两人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________. 10．（25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 11．（2026·四川绵阳·三模）已知随机事件和，其中．则__________． 12．（25-26高二下·北京·月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 13．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）从一批苹果中，随机抽取个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组重量 频数/个 5 (1)根据频数分布表计算苹果重量内的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在和内的苹果中共抽取4个，其中重量在内的有几个？ (3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率 题型预览 题型一 古典概型的计算 题型二 有放回和无放回的问题 题型三 概率的基本性质 题型四 互斥与对立事件的辨析 题型五 利用互斥与对立事件求概率 题型六 独立事件的判断 题型七 独立事件的乘法公式 知识清单 试验的样本空间 1．随机试验的定义 我们把对 随机现象 的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． 2．随机试验的特点 (1)试验可以在 相同 条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是 明确可知 的，并且 不止一个 ； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个 ，但事先不能确定出现 哪一个结果 ． 3．样本点、样本空间 样本点 随机试验E的 每个可能的 基本结果称为样本点，用 ω 表示样本点 样本空间 全体样本点 的集合Ω称为试验E的样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝ {ω1，ω2，…，ωn} 为有限样本空间 样本点个数的三个探求方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 随机事件、必然事件、不可能事件 随机事件 将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件，并把只包含 一个 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件 事件的关系 关系 定义 符号表示 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B 一定 发生，称事件B 包含 事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B ⊇ A且A ⊇ B，则称事件A与事件B相等 A＝B 事件间的运算 定义 符号表示 图示 并事件 事件A与事件B 至少有一个 发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或 A＋B ) 交事件 事件A与事件B 同时 发生，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或 AB ) 【注意】事件A∪B指的是事件A与事件B至少有一个发生，不是事件A与事件B只有一个发生. 互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 如果事件A与事件B 不能同时 发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若 A∩B＝∅ ，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中 有且仅有一个 发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若 A∩B＝∅ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立 【注意】若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件；反之，不一定成立. 判断互斥事件、对立事件的两种方法 定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 古典概型的定义 1．概率 对随机事件发生可能性大小的 度量 (数值)称为事件的概率，事件A的概率用 P(A) 表示． 2．古典概型的定义 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的 样本点 只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 ． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 【注意】古典概型必须同时具备两个特征，缺一不可. 古典概型概率的计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ ＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 求古典概型概率的步骤 (1)判断所给概率模型是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n． (3)算出事件A包含的样本点个数m． (4)算出事件A的概率，即P(A)＝． “放回”与“不放回”问题 解决放回与不放回问题应注意的两点 (1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重复的． (2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复． 概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1　对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0． 性质2　必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即P(Ω)＝ 1 ，P(∅)＝ 0 ． 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ 1－P(A) ，P(A)＝ 1－P(B) ． 性质5　如果A⊆B，那么 P(A)≤P(B) ． 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 判断两个事件相互独立的方法 (1)定量法：利用P(AB)＝ P(A)P(B) 是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立． (2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若 没有影响 就是相互独立事件． 相互独立事件的性质 (1)必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立． (2)如果事件A与事件B相互独立，那么A与与B与也都相互独立． 【注意】当三个事件A，B，C两两独立时，等式P( ABC )＝P(A)P(B)P( C )一般不成立. 相互独立事件概率求解的关注点 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①确定各事件是相互独立的．②确定各事件会同时发生．③先求每个事件发生的概率，再求其积． (2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法． (3)已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 AB P(A)P(B) A，B都不发生 PP A，B恰有一个发生 ∪ A，B中至少有一个发生 P(A)P＋P·P(B)＋P(A)·P(B) A，B中至多有一个发生 ∪∪ P(A)P＋P·P(B)＋P·P 频率的稳定性 1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率f n(A)会逐渐 稳定 于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的 稳定 性．因此，我们可以用频率f n(A) 估计 概率P(A)． 2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关． 频率与概率的关系 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定． (3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 题型突破 题型一 古典概型的计算 1．（25-26高二下·上海·期中）投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 【答案】 【分析】根据古典概型的概率计算即可. 【详解】因为投掷一枚质地均匀的骰子，有6种情况，所以得到点数为5的概率为. 2．（25-26高二下·北京海淀·期中）一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设“恰有两个是黑球”为事件， 由古典概型概率计算公式，. 3．（25-26高二上·上海·月考）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 4．（25-26高一下·江西景德镇·月考）书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【答案】/ 【详解】记6本不同的教辅书为，其中代表2本数学教辅书， 则从中任取2本的情况为：， 共15种， 其中没有取到数学教辅书的情况为：共6种， 所以没有取到数学教辅书的概率为：. 5．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 题型二 有放回和无放回的问题 6．（2026·河南许昌·模拟预测）袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中3个红球，2个蓝球.每次从中不放回地摸取一个小球，直至将某种颜色的小球全部取出.则摸球结束时摸出3个小球的概率为______. 【答案】/0.3 【详解】摸出的3个小球有三种情况：依次为红红红、蓝红蓝、红蓝蓝， 则概率为. 7．（25-26高三上·江苏苏州·期末）一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 【答案】/ 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ，共12种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ，共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率． 9．（25-26高二上·山东·月考）箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束. (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）恰好第4次结束意味着前3次中有一次摸到了红球，第4次必须摸到绿球； （2）前3次中恰好摸到1次红球，第4次摸到绿球，且总球数递减. 【详解】（1）每次都是有放回地摸球，则每次摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 恰好第4次摸球结束，则前3次中有一次摸到了红球， 所以恰好第4次摸球结束的概率为. （2）每次都是不放回地摸球，分三种情况： 第1次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为； 第2次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为； 第3次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为. 故若每次都是不放回地摸球，则恰好第4次摸球结束的概率为. 10．（25-26高二上·广东中山·月考）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 题型三 概率的基本性质 11．（25-26高二上·湖北荆州·期末）设随机事件满足，则__________． 【答案】 【分析】根据随机事件概率的加法公式直接计算即可. 【详解】由题意得． 故答案为： 12．（25-26高二上·湖北·月考）已知.如果，那么_________. 【答案】/ 【分析】根据概率的加法公式计算即可. 【详解】因，则， 又， 则. 故答案为： 13．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，，则________． 【答案】0.1 【分析】根据概率的加法公式可以解出题目. 【详解】 代入已知条件，， ： 解得： 因为 ，所以 故答案为：0.1 14．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的加法公式求得. 【详解】由题意可得，. 故选：A 15．（2025高三·全国·专题练习）某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为______． 【答案】/0.1 【分析】根据题意，利用交事件的概率公式求解即可. 【详解】设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B， 则X，Y两种性状都不出现为，两种性状都出现为， 由题，，， 所以， 又， 所以． 故答案为：. 题型四 互斥与对立事件的辨析 16．（24-25高一上·安徽淮北·期末）掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 17．（24-25高二上·山东淄博·月考）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 18．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【答案】D 【分析】根据事件之间的关系，可得答案. 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 19．（24-25高一下·山东临沂·月考）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少一个红球 C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有一个黑球与都是红球 【答案】D 【分析】先分析所有的可能结果，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球的可能结果有3种： 两个都是黑球、两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球， 所以事件“至少一个黑球”包括两个都是黑球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果， 事件“至少一个红球”包括两个都是红球、恰好一个黑球和一个红球两种可能结果， 所以，A中的两个事件不互斥也不对立， B中两个事件不互斥也不对立， C中两个事件互斥且对立， D中两个事件互斥但不对立. 故选：D. 20．（24-25高一下·广东清远·期末）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（    ） A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件 C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件 【答案】ACD 【分析】根据对立事件、互斥事件的概念及事件之间的关系，可得答案. 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确. 故选：ACD. 题型五 利用互斥与对立事件求概率 21．（2026·甘肃张掖·模拟预测）小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 【答案】 【分析】先求，再根据即可求解. 【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件， 则， 所以， 又， 所以. 22．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式求解. 【详解】由和对立，可得，解得， 又∵随机事件和互斥，， ∴． 故选：C． 23．（24-25高一下·江苏无锡·月考）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 【答案】 【分析】根据古典概型，分情况计算求解. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故答案为：. 24．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若对立，则 【答案】D 【分析】根据事件的包含关系与概率之间的关系判断AB，根据互斥事件和对立事件的概率关系判断CD. 【详解】选项A：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误. 选项B：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误. 选项C：若 和 互斥，则 ，故 ，而非 ，错误. 选项D：若 和 对立，则 为必然事件，故 ，正确. 故选：D. 25．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列结论正确的是（   ） A．若，互为对立事件，，则 B．事件，，两两互斥，则事件与互斥 C．事件与对立，则 D．若与互斥，则它们的对立事件也互斥 【答案】ABC 【分析】通过互斥事件和对立事件的定义与概率性质，逐一分析各选项即可. 【详解】若，互为对立事件，则，已知，可得，故A正确； 事件两两互斥，则事件不能同时发生，则事件与也不可能同时发生， 则事件与互斥，故B正确； 事件与对立，则，故C正确； 若，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误. 故选：ABC 题型六 独立事件的判断 26．（25-26高一下·江苏扬州·期中）（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 27．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 28．（25-26高一下·贵州遵义·月考）掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 29．（25-26高一上·山东潍坊·期末）（多选）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算、判断互斥性、计算、验证独立性，逐一判定选项正误. 【详解】每次取红球概率为，取白球概率为. 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为，因此，A正确. 第一次摸到红球且第二次摸到红球，和可以同时发生，不互斥，B错误. 因为. ，，=， 所以，C正确. ，，满足，因此与相互独立，D正确. 故选：. 30．（25-26高二上·福建宁德·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】对A，由对立事件的概率关系判断；对B，由互斥事件的概念判断；对C、D，由相互独立事件的概念判断. 【详解】， 对于A：因为，所以不对立，A错误； 对于B：因为当向上的点数为时，事件同时发生，所以不互斥，B错误； 对于C：因为事件“向上的点数是2”，，， ，所以与不相互独立； 对于D：因为事件“向上的点数为”，，又， 所以，所以与相互独立. 故选：D. 题型七 独立事件的乘法公式 31．（2026·四川自贡·三模）已知事件，相互独立，，，则______. 【答案】 【详解】由题设 32．（24-25高二下·浙江·期中）在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立．第一门大炮射击的命中率为0.4．第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6．根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6．则弹药库被摧毁的概率为______． 【答案】 【分析】设“弹药库被摧毁”为事件，先求三门大炮恰好命中发、恰好命中发、恰好命中发的概率，再乘上对应的摧毁概率，最后相加即可. 【详解】设三门大炮命中目标的概率分别为， 则未命中的概率分别为， 恰好命中1发的概率， ， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 恰好命中2发的概率， ， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 三门全部命中的概率， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 所以弹药库被摧毁的概率为， 即. 33．（2026·广东汕头·二模）（多选）从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（   ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 【答案】ACD 【分析】借助相互独立事件概率公式、对立事件概率公式逐项计算即可得. 【详解】设事件表示从甲口袋内摸出1个白球，事件表示从乙口袋内摸出1个白球； 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， 故D正确. 34．（25-26高一下·江西宜春·月考）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 35．（25-26高一下·江西宜春·月考）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出，再利用分层抽样求出各层人数，利用古典概型计算公式可求得概率； （2）利用独立事件乘法公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 36．（25-26高三下·安徽合肥·月考）科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占_______. 【答案】64% 【分析】先将情况分为“经过3秒处于状态1”和“经过3秒处于状态2”两类情况，分别利用独立事件概率乘法公式与分类加法计数原理计算两概率即可. 【详解】设经过3秒处于状态1的概率为，粒子要始终停留在状态 1，需连续3秒都保持状态 1，根据独立事件概率公式有； 设经过3秒处于状态2的概率为，可分为三类情况： 情况一：第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，概率为； 情况二：第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率为； 情况三：第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为； 将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为， 则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为. 强化训练 1．（25-26高二下·江苏镇江·期中）在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用独立事件乘法公式结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】灯亮的概率为. 2．（2026·广东佛山·二模）设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 3．（25-26高三下·安徽合肥·月考）已知随机事件A，B相互独立，若，，则（    ）． A．0.6 B．0.5 C．0.2 D．0.15 【答案】A 【详解】事件A，B相互独立，即， 得，． 4．（25-26高二下·云南怒江·月考）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【详解】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 5．（25-26高三下·浙江·开学考试）在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空导弹就有210%的拦截率．你认为发射3枚拦截率为70%的导弹，至少1枚拦截成功的概率为（    ） A．210% B．100% C．97.3% D．70% 【答案】C 【详解】因为一枚都没拦截成功的概率， 所以至少一枚拦截成功的概率为． 6．（2026·陕西安康·三模）（多选）一个不透明的口袋中装有个完全相同的乒乓球，其中个标有数字，个标有数字，记事件表示“第一次取到标有的球”，事件表示“第二次取到标有的球”，则下列说法正确的是（   ） A．若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为 B．若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为 C．若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，互斥 D．若从口袋中不放回地取球两次，每次取个，则，相互独立 【答案】AB 【详解】对于A，若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这个球上的数字相同的概率为，故A正确； 对于B，若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为的概率为，故B正确； 对于C，由题得，所以，不互斥，故C错误； 对于D，，则，所以，不相互独立，故D错误. 7．（河南濮阳市2026年高中三年级第二次模拟考试数学试卷）（多选）在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（   ） A．只有一个小组受到奖励的概率等于 B．技术难题被攻克的概率为 C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 【答案】BD 【分析】运用独立事件概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式逐一判断即可. 【详解】A：设甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题为事件， 所以， 只有一个小组受到奖励的概率等于 ，所以本选项说法不正确； B：技术难题被攻克的概率为，所以本选项说法正确； C：只有甲、丙小组受到奖励的概率为，所以本选项说法不正确； D：甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为，所以本选项说法正确. 8．（25-26高一下·安徽安庆·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 【答案】AD 【详解】对于A，“甲站正中间”与“乙站正中间”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确； 对于B，向上面的点数是3的整数倍的概率为，B错误； 对于C，这组数据已经是从小到大排列，又，故25%分位数为，C错误. 对于D，，D正确． 9．（25-26高二下·上海·期中）甲､乙射击命中目标的概率分别为，现在两人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________. 【答案】/ 【详解】记“目标被击中”为事件A，则为“甲、乙都没有击中目标” 所以目标被击中的概率是. 10．（25-26高二下·上海松江·期中）祖冲之是我国古代的数学家，他曾将圆周率精确到和之间．在8张质地相同的卡片上分别写有数字3，1，4，1，5，9，2，6，从中有放回地随机抽取2张，则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为______． 【答案】 【详解】因为是有放回的抽取，所以第一次和第二次抽到写有数字1的卡片的概率均为：， 则两次都抽到写有数字1的卡片的概率为：. 11．（2026·四川绵阳·三模）已知随机事件和，其中．则__________． 【答案】/ 【详解】由概率的加法公式：, 代入已知条件得：， 解得：. 12．（25-26高二下·北京·月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 13．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】(1)，76.5分，88 (2)． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得． 这次竞赛的平均成绩为分． 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以第80百分位数在内． 设这次竞赛成绩的第80百分位数为，则，解得． （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人， 竞赛成绩在内的有人，记为，， 竞赛成绩在内的有4人，记为，，，． 所有选法有，，，，，，，，，，，， ，，，共15种， 其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，， 共8种，故所求概率为． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）从一批苹果中，随机抽取个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组重量 频数/个 5 (1)根据频数分布表计算苹果重量内的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在和内的苹果中共抽取4个，其中重量在内的有几个？ (3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率． 【答案】(1) (2)个 (3) 【分析】（1）根据已知频数分布表计算相应重量区间内的频率； （2）根据频数分布表结合分层抽样方法规则计算求解； （3）先计算抽样总体情况，再求出满足条件的情况，进而求出概率． 【详解】（1）由频数分布表可知，苹果重量在内的频率为：． （2）重量在内的频数为5，在内频数为，两组频数之比为：， 按照分层抽样规则，从内抽取个数为：个． （3）从重量在中抽取的苹果记为，从重量在中抽取的苹果记为． 在抽出的4个苹果中，任取2个的所有可能的结果共种，即， 重量在和中各有1个的可能结果有，共3种， 所求概率为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $