第十章 古典概型与概率的基本性质 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过层次化知识梳理构建古典概型与概率性质的体系，以表格呈现目录分类，系统讲解事件概率、古典概型定义及公式，重点突出有限性和等可能性特征，清晰阐释互斥与对立事件等概率基本性质的内在联系。 讲义亮点在于题型设计的针对性，如古典概型计算中的抽奖问题、有放回与无放回的对比练习，以及与统计综合的频率分布直方图分析题，培养学生数学思维和数据观念。分层练习题覆盖选择、填空、解答，基础生可掌握方法，优秀生能深化理解，助力教师实施精准复习教学。

第十章 古典概型与概率的基本性质 目录 题型1：古典概型的计算 2 题型2：有放回与无放回问题的概率 9 题型3：古典概型与统计的综合 15 题型4：概率的基本性质 21 1. 事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示． 2. 古典概型的定义 考察一些试验，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 3. 古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 4. 概率的基本性质 (1) 对任意的事件，都有． (2) 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即． (3) 如果事件与事件互斥，那么. 互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即 . (4) 如果事件与事件互为对立事件，那么， (5) 如果，那么． (6) 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有. 题型1：古典概型的计算 【例1.1.】 某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分析出总的基本事件数和中奖的基本事件数，再结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回， 连续取2次的基本事件共有种， 取出的2个小球号码之和等于5的基本事件有：，共2种， 取出的2个小球号码之和等于4的基本事件有：，共3种， 取出的2个小球号码之和等于3的基本事件有：，共4种， 所以中奖的概率是. 故选：C. 【例1.2.】 把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，利用等可能事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，27个体积为的小正方体中，只有两面涂有红漆的小正方体共12个， 所以取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率. 故答案为： 【例1.3.】 袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用频率估计概率的方法求解. 【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 【例1.4.】 一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】设黄球的个数为，利用古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值即可. 【详解】设黄球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：B. 【例1.5.】 学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽中“手工篆刻”的概率为__________． 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】列举出所有可能的情况，利用古典概率求解即可． 【详解】手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画分别用，，，来表示， 则李同学从4个体验项目中任选2个不同项目， 有，，，，，，共种情况， 李同学恰好抽中“手工篆刻”的情况有，，，共种， 故所求概率为． 故答案为：． 【例1.6.】 甲、乙、丙、丁四位同学组成两队进行乒乓球比赛，先从四人中选出两个人组成一队，剩下的两位同学组成另一队，则甲、乙两位同学不在同一队的概率为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意计算基本事件总数，再利用古典概型概率公式即可求得答案． 【详解】甲乙丙丁四名同学任选2名组成同一组，余下的2名为另一组， {甲乙，丙丁}，{甲丙，乙丁}，{甲丁，乙丙}，共3种基本事件， 甲乙在同一组有{甲乙，丙丁}，1种基本事件， 甲乙不在同一小组有{甲丙，乙丁}，{甲丁，乙丙}，共2种基本事件. 因此甲、乙两位同学不在同一队的概率为. 故答案为：. 【例1.7.】 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含，共15个， 事件所包含的样本点为，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 【例1.8.】 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【难度】0.65 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 【例1.9.】 若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据二部图的定义得到图与图不是二部图，其他四个图都是二部图.从这六个图中任选两个，利用列举法列出所有的选择，利用古典概型求出对应的概率. 【详解】对于图，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图也是如此，所以图与图不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图. 例如，对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中； 对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中. 从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种. 这两个图都是二部图的选择共有种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有种， 这两个图不都是二部图的选择共有种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C错误； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：B. 题型2：有放回与无放回问题的概率 【例2.1.】 袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 【例2.2.】 不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A 【例2.3.】 从写有数字的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据条件，求出样本空间及事件包含的样本点，再利用古典概率公式，即可求出结果.. 【详解】用中的表示第一次取到的卡片数字，表示第一次取到的卡片数字， 由题知，样本空间为 ，共25个， 记事件：两次抽取的卡片数字和为5，事件包含的样本点为，共个， 所以两次抽取的卡片数字和为5的概率是， 故答案为：. 【例2.4.】 有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先列举出所有基本事件，再根据条件求随机事件的概率； （2）由（1）的表格，分考虑顺序和不考虑顺序求解； （3）由（1）的表格，结合古典概型的概率公式求解； （4）分考虑顺序和不考虑顺序结合古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）将4张面值相同的债券分别记作，规定是中奖债券，则有放回地取出2张债券的所有结果列表如下： 可见所有结果数共16种，取出的2张是中奖的债券和债券的结果数有4种，故所求概率是． （2）我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序． 如果考虑顺序的话，我们可以在（1）中的表格里去掉对角线上的，得到的就是所有结果数，为12， 而取出的2张是中奖的债券和债券的结果有2种，故所求概率是； 如果不考虑顺序的话，可以在（1）中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况． 这时可以看出所有结果数有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是中奖的债券和债券的结果只有1种，故所求概率是． （3）有放回地抽取，由（1）中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1张中奖的结果数是12，所以所求概率是． （4）无放回地抽取，借助（2）的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1个中奖的结果数是10，所以此时的概率是； 不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1个中奖的结果数是5，所以所求概率是． 【例2.5.】 抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品． (1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）一等品零件共有5个，非一等品有3个，直径分别为1.48，1.47，1.53，编号分别为，，，利用列举法可求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； （2）等品零件的编号为，，，，，从这5个一等品零件中不放回地依次随机抽取2个，列举出样本空间以及符合条件的事件的样本点，从而可得答案. 【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个，非一等品有3个，直径分别为1.48，1.47，1.53，编号分别为，，， 则从中随机有放回地依次抽取2个，样本空间，共9个样本点， 其中不包含的有4个样本点，故至少包含一个直径为1.48的零件的概率为． （2）一等品零件的编号为，，，，，从这5个一等品零件中不放回地依次随机抽取2个，样本空间 ，共20个样本点． 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B，则，共8个样本点． 所以． 【例2.6.】 一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求编号和为5的事件发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？说明理由； (3)如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？ 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析； (3)对乙有利； 【难度】0.85 【知识点】写出样本空间、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）写出样本空间，利用古典概型公式计算即可； （2）分别求出两人赢的概率，即可知游戏规则不公平； （3）求出不放回时两人赢的概率，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可知摸出的所有球的组合情况共有以下情况： （甲、乙） 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 共25种情况， 其中编号和为5的事件发生的情况有（2，3），（3，2），（1，4），（4，1），共4种； 因此编号和为5的事件发生的概率； （2）易知两个编号的和为偶数的情况共有13种， 如果两个编号的和为偶数算甲赢，则甲赢的概率为， 则乙赢的概率为， 显然两人赢的概率并不相等，因此这种游戏规则不公平. （3）设甲胜为事件，乙胜为事件； 则甲胜即摸出球的两个编号的和为偶数所包含的基本事件数为8个， 即； 不放回摸球时易知甲、乙两人取出的数字共有种 因此甲赢的概率为，乙赢的概率为， 显然此时，此时游戏对乙有利. 题型3：古典概型与统计的综合 【例3.1.】 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）. (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】(1)，中位数，平均数 (2)88；46.57 (3) 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、计算古典概型问题的概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据频率分布直方图的小矩形的面积和为1求解出的值，先分析出中位数所在的区间，然后根据中位数的求解方法求解，最后按照频率分布直方图中平均数计算方法直接计算即可； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【详解】（1）根据题意可得， 解得， 由的频率为：， 由的频率为：， 由的频率为：， 因为，， 所以中位数在内，设中位数为， 所以，解得， 平均数 . （2）因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为： . （3）因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为， 从学生中抽取的2人为，则这个试验的样本空间为： ， 故， 又因为， 则， 所以事件的概率为. 【例3.2.】 某市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】(1)平均数为100，方差为104 (2) 【难度】0.67 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数与方差的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据条件，利用古典概型求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故. 【例3.3.】 某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【答案】(1) (2)93分 (3) 【难度】0.71 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【详解】（1）由题， 解得：． （2）由（1）可知，数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分； （3）由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，， 设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件， 则样本空间共包含10个样本点， 所以事件的对立事件为包含4个样本点 所以， 所以， 即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为． 【例3.4.】 为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； (2)若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 【答案】(1)，平均数为，众数为8，中位数为 (2) 【难度】0.72 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率和为1，可求，结合频率分布直方图可求平均数，众数和中位数； （2）先确定抽取的男生女生人数，列出总的选法，结合古典概率可求答案. 【详解】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为 1，组距都是 2， ，解得； 平均数：； 众数是频率分布直方图中最高矩形的中点，故众数为8； 前两组的频率和， 前三组的频率和， 因此中位数在内，设中位数为， 则，解得，即中位数为； （2）在内的男女比例为3∶2，人数，其中男生18人，女生12人； 利用分层随机抽样的方法选取5名同学中，男生3人，女生2人， 记男生为，女生为，从5人中选2人的总选法为： 共10种； 其中“一男一女” 的选法为：共6种； 设事件“发言的同学为一男一女”，则. 故所求概率为. 题型4：概率的基本性质 【例4.1.】 在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质判断C；根据概率的性质判断D. 【详解】对于A，若，则，故A不正确； 对于B，若，则， 此时与不是互斥事件，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，根据概率性质，故D不正确. 故选：C. 【例4.2.】 已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】依题意计算可得，，，再由概率的加法公式计算即可得. 【详解】根据概率公式计算可得，，； 由概率的加法公式可知，代入计算可得 故选：D 【例4.3.】 已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、概率的基本性质、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项. 【详解】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B 【例4.4.】 （多选）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（   ） A． B． C．与互斥 D．与相互独立 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系、概率的基本性质 【分析】根据题设先求出可判断C；结合古典概型、相互独立的概率公式判断AD；根据概率的基本性质判断B. 【详解】因为，，，， 所以，所以与不互斥，故C错误； 而，，， 所以，即与相互独立，故A错误，D正确； 而，故B正确． 故选：BD 【例4.5.】 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 【例4.6.】 已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】事件的运算及其含义、互斥事件的概率加法公式 【分析】由和事件概率计算公式即可求解. 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 【例4.7.】 已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】探求命题为真的充要条件、写出某事件的对立事件、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】通过恰当的举例找到两个选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明选项. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子朝上的点数， 设表示事件“点数是1点”，表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”， ， 此时满足，但，故A错误； 又，但，故D错误； 对于选项B，对于随机事件， ， 由，得， 又因为不能确定是否相互独立，所以无法确定，故B错误； 对于选项C，对于随机事件，且， 则由，得， 又，得， 又因为，所以， 则，故必要性成立， 反之，由可得， 所以，故充分性成立，所以C正确. 故选：C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 古典概型与概率的基本性质 目录 题型1：古典概型的计算 2 题型2：有放回与无放回问题的概率 4 题型3：古典概型与统计的综合 6 题型4：概率的基本性质 8 1. 事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P（A）表示． 2. 古典概型的定义 考察一些试验，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 3. 古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 4. 概率的基本性质 (1) 对任意的事件，都有． (2) 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即． (3) 如果事件与事件互斥，那么. 互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即 . (4) 如果事件与事件互为对立事件，那么， (5) 如果，那么． (6) 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有. 题型1：古典概型的计算 【例1.1.】 某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 【例1.3.】 袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 一个口袋中装有个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中大约有黄球（    ）个． A． B． C． D． 【例1.5.】 学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽中“手工篆刻”的概率为__________． 【例1.6.】 甲、乙、丙、丁四位同学组成两队进行乒乓球比赛，先从四人中选出两个人组成一队，剩下的两位同学组成另一队，则甲、乙两位同学不在同一队的概率为______. 【例1.7.】 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【例1.9.】 若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 题型2：有放回与无放回问题的概率 【例2.1.】 袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【例2.2.】 不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 从写有数字的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是________． 【例2.4.】 有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 【例2.5.】 抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品． (1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率． 【例2.6.】 一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)求编号和为5的事件发生的概率； (2)这种游戏规则公平吗？说明理由； (3)如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？ 题型3：古典概型与统计的综合 【例3.1.】 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估算这200名学生的测试成绩的中位数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；（方差精确到）. (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至多有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【例3.2.】 某市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【例3.3.】 某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【例3.4.】 为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； (2)若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 题型4：概率的基本性质 【例4.1.】 在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 【例4.2.】 已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知，则下列结果正确的是（） A． B． C． D． 【例4.4.】 （多选）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（   ） A． B． C．与互斥 D．与相互独立 【例4.5.】 设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $