2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷（人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 选择题 题号 1 2 3 5 7 9 10 11 答案 C D A B B A C D BD ACD BD 一，单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 2+i 1.若z= (i为虚数单位)，则z=() 1-i A 5 B.2 D. 2 3-2 1-i(1-i01+i) 2.已知a=(2,4),6=(1,,若(a+b)/3a-b),则实数t=( A.-2 B C.1 D.2 【解析】D因为a=(2,4),b=(1,t,所以ā+6=(3,4+t, 3ā-b=3(2,4)-(1,t)=(5,12-t), 由a+b)/3a-b),所以312-t-5(4+=0,解得t=2. 3.如图正方形OAB'C'的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形 的周长是() B' O' A.8cm B.6cm C.21+V3)cm D.21+√2)cm 【解析】A由三视图知原图形是平行四边形OABC,如图，OA=OA=1, 第1页共15页 OB⊥OA,0B=20'B'=2V2,AB=V12+(22)2=3, 所以平行四边形OABC的周长是8. B A 4已知在ABC中，内角4BC所对的边分别为a,6c,且c2-=ab,C=了则 sin4的值为〈） sinB A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】B c-b'=ab=a'+b2-2ab.I-b2=ab=a-2ab=a=2sin A=2. sin B 5.已知向量a,万满足同=1，同=2，a-=V7,则a+石在万上的投影向量是() A 8酒 c-1方 D.3 4 4 【解折】B由题可知，向量a,万满足=1，同=2，a-=V万， 所以a-=7→a2-2a6+62=7→a.6=-1, 则a+b在b上的投影向量为 @+6b6-a-+66=1+4万-五 4 4 6.若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为 () AV3+1 B.V3+1 c5+1 D.V5+1 2 2 【解析】A设球的半径为R,则球的直径为2R,由题意，圆锥的高h=2R, 4 所以球的体积为V=，πR, 3 第2页共15页 1 设圆锥底面半径为r,则"圆维=r2h=了r2,2R, 3 3 由ge=,即r22R=号R,所以r=2R, 3 又因为圆锥的母线长1=VF2+2=V(W2R)2+(2R)2=V6R, 所以S圆维=πr2+πrl=π-2R2+元V2RV6R=2πR2(1+√5)， 又S装=4R2,所以维=2πR0+5)1+V5 S球 4元R2 2 圆锥 7.在ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB=4AM,AC=3AN,D在边BC上 13 (不包含端点)若AD=xAM+yAN,则二+二的最小值是() x V 5 7 9 A. B. C D.4 4 A 4 M 【解析】C D B 由B=4A,AC=3AN,可得AD=xAM+yAN=AB+兰AC, 可知B,C,D三点共线，所以+上=1， 43 则时) 由基本不等式可知'+3≥2 保多1其仅当式 3x 4y \3x 4y 时，即x=4 y=2时 取等号， 所以+3-+上+3江≥+ xv 4 3x 4v 4 第3页共15页 8.在正四棱锥P-ABCD中，点Q在棱PC上运动，当PA//平面BDQ时，三棱锥 P-ADQ与四棱锥P-ABCD的体积之比为() B.3 1 c D. 6 【解析】D如图所示，连接对角线AC交BD于点O,连接OQ 因为正四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，所以O是AC的中点. 因为PA//平面BDQ,PAC平面PAC,且平面PAC∩平面BDQ=OQ,由线面平 行的性质得PA/1OQ 1 因此O0是△PAC的中位线，故Q是PC的中点，即PQ=PC 设正四棱锥P-ABCD的底面积为S,高为h,则总体积'，-ABCD= 3 因为△4CD的面积是正方形面积的一半，即S,cD=2S, 1 因为Q是PC中点，所以Q到底面ABCD的距离为二 2 所以网68=w吉m音没，所以 3 1 Sh Vp-ADO =12 1 VP-ABCD 1 Sh 4 3 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 第4页共15页 9.己知1是虚数单位，下列说法正确的是() A.若复数z1=3+4i,22=-3+4i，,则31>2 B.若n∈Z,则in-3=i C若复数z=1-3i 1+,则2=5 D.若复数z=m2-4+2-m)im∈R为纯虚数，则m=-2 【解析】BD对于A,虚数不可比较大小，A错误； 对于B,4n-3=i,B正确； 对于C,z= 时5，c 1+i 对于D,复数z=m2-4+2-m)im∈R)为纯虚数，则m2-4=0,2-m≠0，所 以m=-2,D正确. 10.在等腰ABC中，A=120°，AB=4,记AB=a,AC=b,点D,E分别是线段 AB,BC的中点，且点P是线段DE(包括端点)上的一个动点， AP=2ā+μb(2,4∈R),则下列说法正确的是() D A点P运动到E点处时，1=以=2 B.点P运动到线段DE中点处时，入-4= 2 C.AF的最小值为5 D.AP.CP的最大值为8 【解析】ACD在等腰ABC中，A=120°，AB=4, 则BC=VAB2+AC2-2AB·AC·cosA= 16+16-2×4×4× 43, 设EP=tED(0≤t≤1)，以E为原点，以EC、EA分别为x轴、y轴，建立如图 第5页共15页 所示平面直角坐标系， D B 则E(0,0),B-23,0),A0,2,C(23,0, 由点D是线段AB的中点，可得到D-√3,1 又EP=tED=t-V5,l,所以P-3,t 对于A:当P运动到E点处时，由点E是线段BC的中点， 可得2征=孤+C,征=+C,故A正震： 对于B:点P运动到线段DE中点处时， 24P-4D+4E-14B+4B+4C-4B+4C. 2 2 ，11-1 244 ,故B错误； 对于C:由A0,2),P-3,t)可得 丽---F-@-- 当1=时，网取到最小雀5，故C正确： 对于D:由A0,2),P-V5,,C25,0, 可得AP=（-V5t,t-2,CP=-V5t-25,t, 所以Ap.CP=（-3-5t-25+(t-2t =3r2+6t+t2-2t=4t2+41,AP.CP=412+41在[0,1上单调递增， 所以当t=1时，AP.CP取到最大值8，故D正确 11.在ABC中，若C>B,且sin2B+cs2C--sin B cosC=3, 4 ,则下列说法正确的是 () 第6页共15页 A.C= 2π 3 B.sin4=2 C.sin A=cosC D.2sinB-cosC的最大值是5 3 【解析】BD在ABC中，由sin2B+cos2C-sinBcosC=二 4 得-cos2B1+c0s2C 8in6cosC=,即cos20-cos2B-2sin8cosC=∥ 2 2 cos[(C+B)+(C-B)]-cos[(C+B)-(C-B)]-2sinBeosC=- 1 整莲得-2nC+)snC-刷-2太imtcoC=子即 2sin 4sin(CB)+2sinBcosC= 则2sn4sinC-8)+sin(B+C0+smB-G)-呼 -2sin Asin(B-C)+sin A+sin(B-C)= 因此(2sinA-l[sin(B-C)-=0,由C>B,得sin(B-C)<0, 因此2sin4-1=0.si1=7由0<A<元，得A=无或A= 1 6 6 &于A,当A江，C<:当A时，B+C3远不能得出C华A错 6 6 6 6 误， 对于B,Sn1=2B正确： 对于C,当A=时，5西 6 12 cosC<cos 12 元_1=sinA, 32 ,A≥时，12C<5, πV3.1 cos C cos ->二=sinA,C错误； 6 6 622 符于D,由sinB+cos2C-sinBcosC=元得sinB-/ 2c0sC)2+ cos'C=3 则(6nB-C),解-5snB-cosCs5 4 2 2 2 因比2n8-cosC≤V5,当且仅当cosC=0,即C-号时取等号，D正确 三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z满足(1+2iz=-5+10i,则z= 【解析】由(1+2i1·z=-5+10i, 第7页共15页 得2=-5+10i--51-211-21-51-41+4) =-(-3-4i=3+4i, 1+2i (1+2i(1-2i 5 所以=V32+42=5 13.如图，在正四棱锥P-ABCD中，B,为棱PB的中点，D为棱PD的中点，则棱锥 P-ABCD与棱锥A-B,CD的体积之比为. 0 【解析】如图所示： D 棱锥A-BCD可看成正四棱锥P-ABCD减去四个小棱锥的体积得到， 设正四棱锥P-ABCD的体积为V,B,为PB的中点，D为PD的中点， 1 1 所以B-ABc=4 v, 8 同理VPBD=。y 故棱锥A-B,CD的体积的为1-！-1_1_1=1 44884 即棱锥P-ABCD与棱锥A-BCD的体积之比为4：1 14.在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A-a cos B=a,若 入=C,则的取值范围是 第8页共15页 【解析】因为bcos A-a cos B=a, 由正弦定理可得sin Bcos A-sin Acos B=sinA,则sin(B-A)=sinA, 在ABC中，可得B-A=A或B-A=π-A,所以B=2A或B=π（舍去）， 则C=π-A-B=π-3A, 0<A< 在锐角 ABC中，0<B=2A<T 解得<A< 6 4 0<C=π-3A<T 2 由正弦定理可得元=C=sinC-sin(π-3A=sin3A_-sin2 AcosA+cos2 Asin d a sinA sin A sin A sin A 2sin Acos2A+(2cos2 4-1sin A =4c0s2A-1, sin A 因为<A<，则cosde 6 4 2’2 所以元=C∈山，2) a 四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15已响原后石满足-2.风-1，且后与5的夹角为写 (1)若2a+b)1ā-26)，求实数2的值； (2)求b与ā+2b的夹角的余弦值 【解折11由题意则符a-6=回5cos号=2x1×1, 因为(2a+b)1(ā-1b),所以(2a+b)a-元b)=0, 即2a2-21a.b+a.b-1b2=2×4-21×1+1-1×1=9-32=0, 解得入=3. (3)设b与a+2b的夹角为0，由(1)可知，ab=1, 由题意可得ba+2b)=a.b+252=1+2×1=3, 由a+26=a2+4a.6+462=4+4+4=12,得a+2b=25, 第9页共15页 6a+2b)3√5 所以cos0= a+2 1×232 16.如图，圆锥PO的底面直径和高均是a,过PO上的一点O'作平行于底面的截面，以该 截面为底面挖去一个圆柱. (1)若0'是PO的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积： (2)当00'为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值， 【解析】(1)设圆柱的底面半径为r,由三角形中位线定理可知，r=a, 圆柱母线长 4 00=a, 而圆锥的母线长为1= a2+ 一α，所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为 42 圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 2 即S=π× a +πX a、 22 a+2nxaxa_/5+2 424πa, 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 2 2 即V= a a 5 Xa-π 4 296 πa3 a-x r a-刘 (2)设00=x,由平面几何知识可知，Qa,所以r=2 故被挖去的圆柱的侧面积为S=2πr×x=πx(a-x)≤π (x-a-x_ra,当且仅 2 4 当x=口时取等号.即O0=时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为π 4 17.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 第10页共15页 (2a+b).cosC+c.cosB=0. (1)求角C的大小： (2)若sinA+sinB=1,c=√3，求ABC的面积. 【解析】(1)由2a+b).cosC+c·cosB=0和正弦定理，可得 (2sin A+sin B)cos C+sin C cos B=0, 2sin Acos C+sin B cos C+sin C cos B=2sin AcosC+sin(B+C)=0, 因sinB+C)=sinπ-A=sinA, 代入可得2 sin Acos C+sinA=0 :4∈(0，，∴sinA≠0，则2cosC+1=0,即cosC=-} 2π 又C∈(0，π，C= 3 2由0)，4+8=x-C-骨即8-号4， sinA+sinB=1可得sinA+sin(-A)=l, 3 cos4-n4=1sn4+5cos4=1,即n(4+爱=1， 即sinA+5 1 2 2 :A∈0,3) 6 6 a=b, 由余弦定理c2=d+6-2 abeosC得，（③}=a2+a2-2a(-,解得a=1,则 b=1, 所以4BC的面积为5-nC-11k5 24 18.如图，在ABC中，BF=FC，AE=2EC，2B0=30E.设AB=a,AC=b 第11页共15页 (1)用a,b表示A0: (2)求证：A,O,F三点共线： (3)若AB=1,AC=3,∠BAC=骨，求∠B0F的余弦值， 【解析】(1)因为AE=2EC,2B0=30E, 所以正=号4C=26, 0-E-+引B+号C小B+c, 所似0=丽+0=+（丽+号4c号孤+号C-+ (2)因为F=FC,所以F是BC中点，所以F=+AC到=ā+) 由0-+6+号亚 又AO与AF有公共点A,所以A,O,F三点共线 (3)已知AB=1,4AC=3,∠BAC-于则同=l,=3, 所以a.6=a,5cos∠BAC=1x3x{-3 22 -层-2引言6+始 12_2W5 5 F=A6+BF=+8c=A8+ac-)-B+4C-a+6, 2 2 m.-40-5+5-居+0+5， o-后0时+加+可-+.晋 10 第12页共15页 75 ⊙、 1P-1×3+2x3=9 25 75275 50 9 OE.OF 所以cos∠EOF 50 3V39 0·07 2W3V13 26 510 19.某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条 边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形 内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角 ABC中，BC=4,其外接圆O的半径为V万，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于 点H. B (1)求sin∠HCA; (2)若点T为劣弧BHC上一动点，求TB.TC的最小值； (3)若BO.AC=-10,求HA+HB+HC的值 【解析】(1)在锐角ABC中，：BC=4,其外接圆O的半径为8V万， BC 由正弦定理可得： =2×8万，解得sn∠BAC= sin∠BAC sin∠BAC 4 Bcos∠BAC=-sin∠BACL-6=4 由题可知∠HCA=7-∠BAC,∴sin∠HCA=sin(5-∠BAC)=cos∠BAC=3 (2)设点M为ABC的边BC所对的外接圆的劣弧，点D为边BC的中点 由题意及对称性可知 第13页共15页 TB.TC MB.MC=(MD+DB)(MD-DB)=MD'-DB'=MD'-4. 故要使TB.TC取得最小值，只需MD最小 在钢0上，由=角形=边关系可知MD+0D之0V-号7，当且仪当以0，D三点 共线时取等号，此时 MD=0M-00-7-0n-Bn-97-0c-BD-万-9万-号5 即T丽.7元的最小值为-24 o由可：sm∠aC=年4C-小名-身 4 :B0·AC=-OB·AC=-10,.OB·AC=10 又 OB.AC=OB(OC-0)=0B.0C-0B.0A=0BOCcos /BOC-OBcos /BOA .由圆的性质可知 08ac-万x5cos2∠B4C-97x7cas2∠8C1-g4cos2∠840-g4os2∠8C1=10 又cos2∠BAC=2(cos∠BAC)2-1=2 9 --1= 1681 64164 787 os2∠BCA=10,解得cos2∠BCA=-3别 32 ∴.在锐角ABC中，cos∠BCA= cos2∠BCA+11 81 1-cos2∠BCA3√7 sin∠BCA= 2 8 sin∠ABC=sin(∠BCA+∠BAC)=sin∠BCAcos∠BAC+cos∠BCAsin∠BAC=3V7x3+xV7_5V7 848416 ，cos∠ABC=V-(sin∠ABC=9 16 第14页共15页 AC 由正弦定理可得： AB -=2× sin∠BCA sin∠ABC 8， 7 :AB=2×8V7sin∠BCA=2x8V万x3N万=6， 7 8 AC=2x8V7sin∠ABC=2x8V万x5万=5 7 16 在ABC中，由点H是ABC的垂心可得∠AHC=π-∠ABC, ∠BHC=π-∠BAC,∠AHB=π-∠ACB 在△AHC中，由正弦定理可符。HA AC sin∠4CH sin∠AHC' 3 :HA=ACsin∠ACH-5cos∠BAC_5cos∠BAC5 4=127 sin∠4HC sin(元-∠ABC)sin∠ABC5√7 7 16 同理可得B=AB sin∠BAH6cos∠ABC6cos∠ABC6x9 16_9V7 sin∠AHB sin(π-∠ACB)sin∠ACB3V7 7 8 HC=BCs6CBH-4eas∠BCA-4os∠BC4_4x 827 sin BHC sin(元-LBAC)sin ZBAC√万7， 4 HA+H1B+HC=125,9,25235 7777 第15页共15页 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章至第八章8.3《简单几何体的体积与表面积》. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，内角所对的边分别为，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，M、N分别在边、上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 8. 在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，，则 B. 若，则 C. 若复数，则 D. 若复数为纯虚数，则 10. 在等腰中，，记，点分别是线段的中点，且点是线段（包括端点）上的一个动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 点运动到点处时， B. 点运动到线段中点处时， C. 的最小值为 D. 的最大值为8 11. 在中，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值是 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则___________． 13. 如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______． 14. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是________ 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上的一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱． （1）若是的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积； （2）当为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 如图，在中，，，．设，. （1）用，表示： （2）求证：，，三点共线； （3）若，，，求的余弦值． 19. 某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. （1）求； （2）若点T为劣弧上一动点，求的最小值； （3）若，求的值. ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $