精品解析：重庆市第一一〇中学校等校2025-2026学年下学期期中考试八年级数学试题

2025-2026学年春季学期半期考试 八年级数学试题 （全卷共三大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “数学”的英文是“”，组成这个英文单词的四个字母中是中心对称图形的字母是（ ） A. M B. A C. T D. H 2. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3. 下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，若点A坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 7. 若将多项式因式分解得，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式与不等式的解集相同，则满足（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，过点C作交于点F，的角平分线交于点E，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，连接，相交于点，下列结论：，，平分，．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________． 12. 根据“x的3倍与8的和不小于x的4倍”，可列不等式为_________． 13. 如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________． 14. 如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________． 15. 已知关于的不等式组有且只有四个整数解，则满足条件的所有整数的值之和为_________． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同，且百位上的数字与十位上的数字之和等于，则称为“友好数”．将的千位上的数字与十位上的数字对调，得到一个新的四位数．并规定．四位自然数（，，，且，，，均为整数）为“友好数”．当最大时，则的值为_________．若，且为整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为_________． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向左平移5个单位长度得到，画出，此时点的坐标为_________； （2）将绕点A顺时针旋转180°得到，画出，此时点的坐标为_________． 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 如图所示，已知线段h和线段． （1）尺规作图：在上方作，使得，高（保留作图痕迹，不写作法）： （2）尺规作图：在（1）题所作图中过点B作交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （3）若，，则的长为_________（直接写出答案即可）． 21. 某校初级为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折：乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折． （1）设所购图书的原价为元，选择甲书店时，所需的费用为元，选择乙书店时，所需的费用为元，则，关于的一次函数关系式分别为：_________，_________． （2）你认为年级选择哪个书店购书更合算？ 22. 如图，和均为等腰直角三角形，其中，点D在线段上，连接，过点C作，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 23. 为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． （1）求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ （2）该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 24. 问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题． 如图1所示，在三角形纸片中，已知，，，，． 如图2所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移． 如图3所示，在平移过程中，设与交于点，与，分别交于点，． 操作探究： （1）在图3中，和的数量关系为_________； （2）在图3中，若，则纸片的平移距离为_________； （3）在图3中，小苏同学猜想和均为等腰三角形．这个猜想是否正确？说明理由． 迁移应用： （4）在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你求出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 25. 已知中，，，点D为直线上任意一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转度得到线段． （1）如图1，当，，时，连接，求的长． （2）如图2，当时，连接，点F是上一点，若平分，求证：点F是线段的中点． （3）如图3，当时，点G是的中点，连接，，当最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年春季学期半期考试 八年级数学试题 （全卷共三大题 满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “数学”的英文是“”，组成这个英文单词的四个字母中是中心对称图形的字母是（ ） A. M B. A C. T D. H 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形的定义为：在平面内，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形．根据中心对称图形的定义，逐一判断四个字母即可得到答案． 【详解】解：因为不管绕哪个点旋转，字母M，A，T都不能与自身重合，只有字母H绕某个点旋转后能与自身重合， 所以字母H是中心对称图形． 2. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用边形内角和公式列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程得， 解得， ∴这个多边形的边数是． 3. 下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不是乘积形式，该项不符合题意． B．将多项式化为三个整式的乘积，符合因式分解的定义，该项符合题意． C． 的结果是和的形式，不是整式乘积，该项不符合题意． D． 中，是分式，不是整式，不符合要求，该项不符合题意． 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质逐项判断即可．不等式的性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A． ∵ ，不等式两边同时减，不等号方向不变，∴ ，本选项符合题意； B． ∵ ，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴ ，本选项不符合题意； C． ∵ ，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴ ，本选项不符合题意； D． ∵ ，当时，，此时，∴ 不成立，本选项不符合题意； 5. 已知在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，若点A坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两个点关于原点对称时，坐标符号相反，即点关于原点对称的点的坐标为，据此解答即可． 【详解】解：因为点A与点B关于原点对称，点A的坐标为， 所以点B的横坐标为，纵坐标为， 即点B的坐标为． 6. 如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可知，可得，即可求得答案． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为． 7. 若将多项式因式分解得，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 8. 若关于的不等式与不等式的解集相同，则满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解两个不等式的解集，再根据两个解集相同，列式计算即可求出的值． 【详解】解：解不等式， ， ， ， ， ， 解不等式， ， ， ， ， ， 两个不等式的解集相同， ，解得． 9. 如图，在中，，，，过点C作交于点F，的角平分线交于点E，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的长，再过点作于点，则，然后设，利用的面积建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴在中，， 如图，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 即点到的距离为． 10. 如图，在和中，，，连接，相交于点，下列结论：，，平分，．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由证明，可得，即可判断；由全等可得，根据三角形内角和定理结合对顶角相等可证得，即可判断；过点作于，作于，由全等可得，从而得到，根据角平分线判定定理即可判断；在上截取，证明，可得为等腰直角三角形，进而得出线段关系，即可判断． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，故正确； 设与交于点， ， ， ，，， ， ，故正确； 过点作于，作于， ， ，即， ， 平分，故正确； 在上截取，连接， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形. ， ， ，故正确． 综上所述，正确的结论有，共个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若一个正多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的边数为， 则这个多边形的边数是． 12. 根据“x的3倍与8的和不小于x的4倍”，可列不等式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意，可列不等式为． 13. 如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________． 【答案】 ##76度 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和计算即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平移的性质解决最短路径问题，将点乙向上平移路宽的距离，连接甲与平移后的点，利用勾股定理求出线段长，再加上路宽即可． 【详解】解：如图，将点乙（点）沿垂直于道路方向向上平移得到点，连接， 由平移的性质可知，除去天桥长度外，甲到乙的最短路径即为线段的长度，天桥长度等于的长度， ，， 根据勾股定理，得， 则甲到乙的最短路程为． 15. 已知关于的不等式组有且只有四个整数解，则满足条件的所有整数的值之和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组，然后根据不等式组有且只有四个整数解，确定的值，即可解答． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ， 不等式组的解集为， 关于的不等式组有且只有四个整数解， ，解得， 所有满足条件的整数的值为：，，，， 满足条件的所有整数的值之和为． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同，且百位上的数字与十位上的数字之和等于，则称为“友好数”．将的千位上的数字与十位上的数字对调，得到一个新的四位数．并规定．四位自然数（，，，且，，，均为整数）为“友好数”．当最大时，则的值为_________．若，且为整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“友好数”的定义确定的最大值，从而确定的值，根据列式计算即可；先表示出，根据，结合完全平方数的特点，得到，再结合为整数，进一步分析确定满足条件的值，即可得解． 【详解】解：四位自然数的各数位上的数字互不相同，且百位上的数字与十位上的数字之和等于， 当最大时，千位上取，则百位上取，则十位上数字为，个位数与其他位数字不同，最大可取， ， ， ． ， ． ， ， ， ，，，且，，，均为整数， ， 是完全平方数， 必须含因子， ， ， ， ， 为整数， 是的倍数， ，，，四个数字互不相同，，， ，，，， ，，， ，，， ，，，，； 若，则，或， 此时，，则或； 若，则，（与相等，故舍去）或； 此时，（与相等，故舍去）； 若，则，； 此时，，则； 若，则，； 此时，（与相等，故舍去）； 若，则，或， 此时，，则或； 满足条件的值为，，，，；其中最大值为；最小值为； 满足条件的的最大值与最小值的差为． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向左平移5个单位长度得到，画出，此时点的坐标为_________； （2）将绕点A顺时针旋转180°得到，画出，此时点的坐标为_________． 【答案】（1） 点的坐标为． （2） 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接即可求解, 根据坐标系写出的坐标，即可． （2）根据旋转的性质，找到的对应点，然后顺次连接即可求解，根据坐标系写出的坐标，即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图所示，已知线段h和线段． （1）尺规作图：在上方作，使得，高（保留作图痕迹，不写作法）： （2）尺规作图：在（1）题所作图中过点B作交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （3）若，，则的长为_________（直接写出答案即可）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示， （3） 【解析】 【分析】（1）先作的垂直平分线，交于点，截取，连接，即可求解； （2）过点作交于点E，即可求解； （3）根据三线合一求得，在中，勾股定理求得，根据等面积法即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∵，， ∴中， ∵， ∴ 21. 某校初级为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折：乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折． （1）设所购图书的原价为元，选择甲书店时，所需的费用为元，选择乙书店时，所需的费用为元，则，关于的一次函数关系式分别为：_________，_________． （2）你认为年级选择哪个书店购书更合算？ 【答案】（1） ， （2） 当所购图书原价小于元时，选择甲书店购书更合算；当所购图书原价等于元时，两家书店购书费用相同；当所购图书原价大于元时，选择乙书店购书更合算 【解析】 【分析】（1）根据两个书店的优惠规则，列出总费用关于图书原价的一次函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，分情况讨论得到不同原价下更合算的购书方案． 【小问1详解】 解：根据题意得，，  ； 【小问2详解】 解：分三种情况讨论： 令，即，解得，此时选择甲书店购书更合算； 令，即，解得，此时两家书店费用相同； 令，即，解得，此时选择乙书店购书更合算． 答：当所购图书原价小于元时，选择甲书店购书更合算；当所购图书原价等于元时，两家书店购书费用相同；当所购图书原价大于元时，选择乙书店购书更合算． 22. 如图，和均为等腰直角三角形，其中，点D在线段上，连接，过点C作，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：和均为等腰直角三角形 在与中 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，从而得出，最后根据即可证明； （2）证明得，由三线合一得，代入数据，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 平分 过点作 在与中 ∴ 又 又 ∵，， ∴ 23. 为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． （1）求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ （2）该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1） 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 （2） 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【小问1详解】 解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； 【小问2详解】 解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 24. 问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题． 如图1所示，在三角形纸片中，已知，，，，． 如图2所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移． 如图3所示，在平移过程中，设与交于点，与，分别交于点，． 操作探究： （1）在图3中，和的数量关系为_________； （2）在图3中，若，则纸片的平移距离为_________； （3）在图3中，小苏同学猜想和均为等腰三角形．这个猜想是否正确？说明理由． 迁移应用： （4）在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你求出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 猜想正确，理由如下： 由平移可得 ， ，， ，， ，， ，， ，， 和均为等腰三角形； （4） 【解析】 【分析】（1）由，根据线段的和差关系等量代换即可证得； （2）由勾股定理可得的长，由，可得的长，然后根据列式计算即可； （3）由平移可得，由平行线的性质可得，，根据等边对等角结合等量代换证明，，即可证得； （4）由平移可知，，进而表示出，，，根据，可表示出，，然后根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：，即， ，即； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，即， ，， ， ，即纸片的平移距离为； 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：由平移可知，，则， 由（3）知，，， ， 设，，， ， ， ，， ， 当点与点重合时，停止平移，此时， ， ． 25. 已知中，，，点D为直线上任意一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转度得到线段． （1）如图1，当，，时，连接，求的长． （2）如图2，当时，连接，点F是上一点，若平分，求证：点F是线段的中点． （3）如图3，当时，点G是的中点，连接，，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：连接，延长交于点，连接， 由（1）可得，， ， 平分， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，推导出，得到，继而推导出，则，即可解答． （2）连接，延长交于点，连接，由（1）可得，，推导出是BC的垂直平分线，得到，继而推导出，得到，则点是线段的中点，即可解答； （3）连接，推导出是等边三角形，得到，求出，推导出当时，取得最小值，也取得最小值，再根据勾股定理，得到，求出或（舍去），推导出，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 解：连接， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，如图 ， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 当取得最小值时，也取得最小值， 点是直线上任意一点， 当时，取得最小值，如图 ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $