江苏扬州市江都区2025-2026学年九年级第二学期中考第一次模拟数学试卷

**基本信息** 本卷以新能源汽车、人工智能、春假旅游等真实情境为载体，通过几何综合、函数建模、动态问题设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配九年级一模复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相反数、中心对称、三角形三边关系等|第2题以新能源汽车标志考中心对称，体现数学眼光| |填空题|10/30|科学记数法、因式分解、圆锥侧面展开等|第17题菱形中点四边形结合面积与周长，考查几何直观| |解答题|10/96|统计图表、分式方程、圆的切线、抛物线建模等|27题高脚杯抛物线建模（生活情境），28题动态旋转与最值（推理能力）|

九年级数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上） 1．2026的相反数是（ ▲ ） A． B． C． D． 2．下列四种新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 4．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ▲ ） A．1 B．2 C．5 D．8 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数（ ▲ ） A．56° B．58° C．60° D．62° 6．下图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（ ▲ ） A．① B．② C．③BD平分∠ABC D．④ （第5题图） （第6题图） 7．点，，在某个函数图象上，若，则满足条件的函数关系式可能是（ ▲ ） A． B． C． D． 8．已知，，，…，设（n为正整数），则值是（ ▲ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．据统计2025年全国出生人口数约为7920000人，数据7920000用科学记数法表示 为 ▲ ． 10．分解因式：= ▲ ． 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ▲ ． 12．如果一个多边形每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是 ▲ ． 13．若一元二次方程有两个相等的实数根，则b的值为 ▲ ． 14．圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则它的侧面展开图的扇形圆心角的度数为 ▲ °． 15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．则关于x的不等式的解集是 ▲ ．（第15题图） （第16题图） 16．如图，在中，点D在AB上，点E、F在BC上．若，，，，，，则四边形与的面积比为 ▲ ． 17．如图，点、、、分别是菱形各边的中点，若四边形的周长为14，菱形的面积为24，则的长为 ▲ ． （第17题图） （第18题图） 18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，点D是AB的中点，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°到BF，点E是上任意一点，连接AE并延长交BC于点P．在此旋转过程中，点P运动的路线长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分） （1）计算： （2）化简：． 20．（本题满分8分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 21．（本题满分8分）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是 ▲ ，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中 ▲ ，选项“偶尔”对应的圆心角 是 ▲ °； （3）若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 22．（本题满分8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到语音类人工智能卡片的概率为 ▲ ； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 23．（本题满分8分）为营造良好的体育运动氛围，某学校用600元购买了一批跳绳，又用1000元加购了第二批跳绳，且第二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，则该学校两批共购买了多少根跳绳？ 24．（本题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若BE=3，MC=4，求四边形AECF的面积． 25．（本题满分10分）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若A为OF的中点，AB=4，求图中阴影部分的面积． 26．春假期间，小明一家外出旅游．妈妈为小明准备了A、B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入3900KJ热量和60g蛋白质，应选用A、B两种食品各多少包？ （2）根据青少年健康饮食要求午餐的蛋白质摄入量不低于70g，若午餐选用这两种食品共6包，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 27．（本题满分12分）图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体ACB是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，CD＝8cm，EF＝4cm，D是EF的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面AB＝6cm，此时最大深度（液面到最低点的距离）为4cm． 图2 图1 （1）以直线EF为x轴，直线CD为y轴，点D为原点，建立平面直角坐标系，求出此直角坐标系下的杯体ACB的函数关系式； （2）如图2所示，现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角α＝45°时停止，此时液面为GB． ①求此时点A距离桌面的高度； ②直接写出此时酒杯内红酒的最大深度是 ▲ cm． 28．(本题满分12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝α（0°＜α＜45°），点D是BC边上一点，将线段DB绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，在射线CB上作点C关于点D的对称点F，连接AE、EF． 图1 图2 图3 （1）如图2，当点E在线段AC上时，直接写出BE与AC的位置关系 ▲ ； （2）若点A、E、D三点共线，在图3中利用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法），并证明∠AEF=90°； （3）若∠C=30°，BC=2，则当点D在何处时，线段EF有最小值，并说明理由. 九年级数学 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B A C C 0 D c B 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9.7.92×106 10.2(x-1)2 11.x≥2 12.8 13.±4 14.120 15.-2<x<0或x>1 16. 17.5 18. 4W 、 8 3 三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(1)√5-3 4分 (2)-x-1 .8分 20.解不等式①，得x≤2： 2分 解不等式②，得x>-1: .4分 …不等式组的解集是-1<x≤2 6分 正整数解是1,2. .8分 21.(1)200: 80 7 60 60 50 % 20 20 0 偶尔较少较多一直选项 2分 (2)25；36 .6分 (3)700. 8分 2w} 2分 (2) 开始 A B ABCDAB CD A B C D A B C D 41 P(两次抽到的卡片内容一数) 164 8分 23.解：设第一批购买跳绳x根，则第二批购买跳绳2x根........1分 由题意得： 600_1000=2, 2x .6分 解得x=50, 8分 经检验：x=50是原分式方程的解，且符合题意。 该学校两批共购买了150根跳绳. .9分 答：该学校两批共购买了150根. 10分 24.(1)理由略： 5分 （2)30. .10分 25.(1)理由略： .5分 (2) 3π 2 .10分 26.(1)解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 700x+900y=3900 「x=3 根据题意，得 解方程组，得 10x+15y=60 y=2 答：选用A种食品3包，B种食品2包 5分 (2)解：设选用A种食品a包，则选用B种食品(6一a)包，总热量为kJ. w=700a+900(6-a)=-200a+5400 .7分 根据题意，得10a+15(6-a)≥270.÷a≤4. -200<0,w随a的增大而减小.当4时，p最小. 答：选用A种食品4包，B种食品2包 .10分 27.10y0x2+8 4分 (2) ， .8分 (3) 5万 12分 3 28.(1)垂直： 3分 (2)作图见图作法 ①作AC垂直平分线交BC于点D; ②连接AD,以D为圆心BD为半径作弧交AD于E; ③以D为圆心CD为半径作弧交BC延长线于点F,连接EF. 理由略； 8分 (3)当点D在BC的中点时，EF有最小值. …9分 理由：设BD=DE=x,则DF=DC=2一x, 2x,h2-3 过点B作EHLBC,则B肝5x」 En2=(3 +(2-3y2=3x2-6x+4=30x-12+1 当x=1时即点D是BC的中点，EF=1,EF有最小值1. .12分 ◇ F BH D九年级数学试题 (满分：150分；考试时间：120分钟) 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答填卡相应位置上) 1.2026的相反数是（▲) A.2026 B.-2026 1 C. D. 2026 2026 2.下列四种新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（▲） >< 3.下列计算正确的是（▲） A.a÷2=a B.6a4-a=5 C.a.a=as D.(a2)4=a 4.若长度分别为4,3,5的三条线段能组成一个三角形，则α的值可以是（▲） A.1 B.2 C.5 D.8 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若LBAC=28°，则LD的 度数（▲） A.56° B.58 C.60° D.62° 6.下图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间 关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（▲） A.①∠ABC=90°B.②AC LBD C.③BD平分∠ABCD.④AB=BC D (第5题图) (第6题图) 7.点A(-2,),B(-1,y2),C(5,)在某个函数图象上，若y<y<y2,则满足条件的 函数关系式可能是（▲） A.y=x+1 B.y-4(a-0) C.y=x2-2ax+2026(a<0) D.y=x2+4ax+2026(a>0) 九年级数学第1页（共6页） 设Sn=T+T,+T+…+Tn(n为正整数)，则S26值是（▲) A.2026、1 02026 B.20262026 2027 C.2027,1 2027 D.20272026 2027 二、填空题（本大题共有10小题，每小3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答题卡相应位置上) 9.据统计2025年全国出生人口数约为7920000人，数据7920000用科学记数法表示 为▲一 10.分解因式：2x2-4x+2=▲ 11.若√x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是▲ 12.如果一个多边形每一个内角都是135°，那么这个多边形的边数是▲ 13.若一元二次方程x2一bx+4=0有两个相等的实数根，则b的值为▲一 14.圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则它的侧面展开图的扇形圆心角的度数为▲° 15.如图，一次函数y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=(40)的图象交于点AL,2), B(-2,-).则关于x的不等式x+b>的解集是▲ D E (第15题图) (第16题图) 16.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E、F在BC上.若∠B=∠FAC,BD=AC, ∠BDE=∠C,BE=7,EF=4,FC=5,则四边形ADEF与△ABC的面积比为 ▲ 17.如图，点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，若四边形EFGH的周长为 14,菱形ABCD的面积为24，则AB的长为▲ y E D G B PF (第17题图) (第18题图) 18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2,点D是AB的中点，将线段BD绕着点 B顺时针旋转90°到BF,点E是DF上任意一点，连接AE并延长交BC于点P.在此旋 转过程中，点P运动的路线长为▲· 九年级数学第2页（共6页） 三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题满分8分) (1)计算：2026°- -2+2sim60° (2)化简：1-+1x+1 x-2x2-4 3x-1≤5 20.(本题满分8分)解不等式组 2(x+3)<4x+8’并写出它的所有正整数解 21.(本题满分8分)某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查.问卷主 题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A:偶尔，B:较 少，C:较多，D:一直.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图. 80 70 偶尔 60 10% 50 较少 40 n%o 20 20 较多 偶尔较少 较多 一直 选项 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是 ,请补全条形统计图； (2)扇形统计图中选项“较少”占的百分比中=▲，选项“偶尔”对应的圆心角 是▲°； (3)若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有 多少名？ 22.(本题满分8分)人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业 变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、 视觉类人工智能四大类型.科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个 类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上 洗匀放置在桌面上。 A.决策类人工智能B.人工智能机器人 C.语音类人工智能D.视觉类人工智能 (1)从中随机抽取一张，抽到语音类人工智能卡片的概率为▲； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡 片内容一致，则选择该卡片内容学习.请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内 容一致的概率. 九年级数学第3页（共6页） 23.(本题满分8分)为营造良好的体育运动氛围，某学校用600元购买了一批跳绳，又用 1000元加购了第二批跳绳，且第二批购买数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元， 则该学校两批共购买了多少根跳绳？ 24.(本题满分10分)如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，将边AB沿AE折叠，使点B 落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处. （1)求证：四边形AECF是平行四边形： （2)若BE-3,MC=4,求四边形AECF的面积. 分 D M B E 25.(本题满分10分)如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D,将△CDB 沿BC所在的直线翻折，得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F. (1)求证：CF是⊙O的切线： (2)若A为OF的中点，AB=4,求图中阴影部分的面积. B D B 九年级数学第4页（共6页） 26.春假期间，小明一家外出旅游.妈妈为小明准备了A、B两种食品作为午餐.这两种食 品每包质量均为50g,营养成分表如下. A 营养成分表 B 营养成分表 项目 每50g 项目 每50g 热量 700kJ 热量 900kJ 蛋白质 10g 蛋白质 15g 脂肪 5.3g 脂肪 18.2g 碳水化合物 28.7g 碳水化合物 6.3g 钠 205mg 钠 236mg (1)若要从这两种食品中摄入3900KJ热量和60g蛋白质，应选用A、B两种食品各多少包？ (2)根据青少年健康饮食要求午餐的蛋白质摄入量不低于70g,若午餐选用这两种食品共6 包，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 27.(本题满分12分)图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体ACB是抛物线状（杯 体厚度不计)，点C是该抛物线的项点，CD=8cm,EF=4cm,D是EF的中点.当高脚杯 中装满红酒时，液面AB=6cm,此时最大深度（液面到最低点的距离）为4cm. B EDE 图1 图2 (1)以直线EF为x轴，直线CD为y轴，点D为原点，建立平面直角坐标系，求出此直 角坐标系下的杯体ACB的函数关系式： (2)如图2所示，现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角=45°时停止，此 时液面为GB. ①求此时点A距离桌面的高度： ②直接写出此时酒杯内红酒的最大深度是▲c. 九年级数学第5页（共6页） 28.(本题满分12分)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=(0°<<45°)， 点D是BC边上一点，将线段DB绕点D顺时针旋转2a得到线段DE,在射线CB上作点C 关于点D的对称点F,连接AE、EF. E D 图1 图2 图3 (1)如图2，当点E在线段AC上时，直接写出BE与AC的位置关系 ▲ (2)若点A、E、D三点共线，在图3中利用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法）， 并证明∠AEF=90°； (3)若∠C=30°，BC=2,则当点D在何处时，线段EF有最小值，并说明理由， 九年级数学第6页（共6页）