湖北随州市随县实验高级中学2025-2026学年高三下学期4月自测“7+3+2“数学试卷

**基本信息** 高三冲刺周测卷，以“7+3+2”题型覆盖集合、函数、数列等高频考点，通过分层设计（如解答题梯度设问）考查数学思维与运算能力，适配冲刺阶段巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|7/35|集合运算、复数模、向量投影|基础题为主，考查抽象能力| |多选题|2/12|互斥事件概率、四棱锥线面关系|结合逻辑推理，体现数学思维| |填空题|2/10|分层抽样平均数、导数切线方程|数据意识与数学语言表达| |解答题|3/43|解三角形、等差数列不等式证明、圆台面面角|梯度设问，综合考查推理能力与空间观念|

随州市实验高中2025至2026学年高三下4月百分冲刺“7+3+2“数学试卷 满分：100分 时间：2026-4-25 一、单选题：本题共7小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，集合，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 2．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 4．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．10 5．随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（   ） A． B． C． D． 6．设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题：本题共2小题，每题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 8．事件与互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 9．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的正切值为2 D．直线与平面所成角为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分 10．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____． 11．若曲线的切线为，则______． 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12．在中内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 13．已知公差不为零的等差数列的前3项和为9，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求证：． 14．如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 随州市实验高中2025至2026学年高三下4月百分冲刺“7+3+2“数学试卷（解析版） 满分：100分 时间：2026-4-25 一、单选题：本题共7小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，集合，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，即. 2．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 3．已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由题设，则， 由，则. 4．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．10 【答案】B 【详解】，故函数的周期为6， ， 又是定义在上的奇函数， ，即，故，， 又当时，， ， 故. 5．随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，直线，圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 因为直线与圆有2个公共点， 所以，整理可得． 若，则；若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则， 所以直线与圆有2个公共点的概率是. 6．设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 7．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解． 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 二、多选题：本题共2小题，每题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 8．事件与互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由互斥事件的性质和对立事件的性质结合已知条件逐个分析判断即可 【详解】因为与互斥，所以是必然事件，故，所以A正确， 因为与互斥，所以，因此，所以B错误， 因为，所以C正确， 因为， 所以，于是，所以D错误， 故选：AC 9．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的正切值为2 D．直线与平面所成角为 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，利用向量数量积的运算可判断A；求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量判断方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断CD. 【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则， ，， 故不垂直，A错误； 设平面的法向量为，, 则，可取，而， ，故和平面不平行，B错误； ，，, 设异面直线与所成角为，则，， 则，C正确； 设平面的法向量为，,， 则，可取，而， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 故直线与平面所成角为，D正确. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分 10．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____． 【答案】164 【分析】运用总体样本均值公式进行求解即可. 【详解】总样本的平均数为； 故答案为：164. 11．若曲线的切线为，则______． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，进而对照系数即可. 【详解】设切点为，由，得，则由题意得所以，．所以．所以． 故答案为：1. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12．在中内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，可求； （2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，进而利用正弦定理可求得，进而可求的面积． 法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，利用正弦定理可求得，进而利用可求解. 【详解】（1）由正弦定理知． ∴，∵，∴， ∴，，∴． （2）法一：由（1）知，，∴． ∴，∴，∴． 法二：由（1）知，，∴． 由正弦定理可得． ∴． 13．已知公差不为零的等差数列的前3项和为9，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列的基本量运算和等比中项的定义求出，即可求得数列的通项公式； （2）求出的通项，利用裂项相消法求出的前项和，即可证明. 【详解】（1）设数列的公差为，则，， 由，可得， 又，，成等比数列，故，即，整理得， 因为，故，代入可得，，． 故． （2）， 故 因，则，故可得. 14．如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，推导出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，所以， 因为为的中点，所以， 易知平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，故平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $