精品解析：湖北省随州市部分高中2025-2026学年高三下学期2月联考数学试题

湖北省随州市部分高中2025—2026学年下学期2月联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 4. 点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ） A. ①抽签法，②分层随机抽样 B. ①随机数法，②分层随机抽样 C. ①随机数法，②抽签法 D. ①抽签法， ②随机数法 8. 圆的面积为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定义在上不恒为0的奇函数，是的导函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 10. 在梯形ABCD中，，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 圆N的圆心为 B. 圆M与圆N相交 C. 当圆M与直线l相切时，则 D. 当时，圆M与直线l相交所得的弦长为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 13. 已知向量、满足，，且，则__________. 14. 已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知函数(其中…为自然对数的底数)，为的一个极值点. （1）求的值； （2）证明：成立. 16. 已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）数列满足，求数列的前2n项的和. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点. （1）在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； （2）求点到平面的距离. 19. 已知数列，满足，，记为的前n项和. （1）若为等比数列，其公比，求； （2）若为等差数列，其公差，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省随州市部分高中2025—2026学年下学期2月联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得集合A，然后根据全集可求得，可得答案. 【详解】，， ∴，∴. 故选：D. 2. 下列函数在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每个选项求导判断在上是否恒成立. 【详解】对于A，，，不符合题意； 对于B，在上恒成立，符合题意； 对于C，，，不符合题意； 对于D，，，不符合题意. 故选：B. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形. 【详解】由，可得，即 则，又，则 则的形状为钝角三角形 故选：A 4. 点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设点的初始坐标为， 因为点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为， 可得，解得，即点的初始坐标为. 故选：B. 5. 已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点A到直线的距离,向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】已知，，， 所以 ，， 点A到直线的距离为. 故选：C. 6. 抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 7. 现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ） A. ①抽签法，②分层随机抽样 B. ①随机数法，②分层随机抽样 C. ①随机数法，②抽签法 D. ①抽签法， ②随机数法 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合抽签法和分层随机抽样的定义，即可求解 【详解】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样． 故选：A． 8. 圆的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程求得半径，根据圆的面积公式即可求解. 【详解】原方程可化为， ∴半径，∴圆的面积． 故选：C. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程与一般方程的互化，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定义在上不恒为0的奇函数，是的导函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，得到为偶函数，再结合函数的奇偶性的定义及判定方法，逐项判定，即可求解 【详解】根据题意，可得， 因为为奇函数，可得，可得， 即，即，所以为偶函数， 由，即为奇函数，所以A正确； 由，即为偶函数，所以B正确； 由，所以为偶函数，所以C错误； 由，所以为偶函数，所以D正确. 故选：ABD. 10. 在梯形ABCD中，，AB＝2CD，AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设，应用向量加减、数乘的几何意义判断各项的正误. 【详解】 A，由题意，故正确． B，由题知，所以，故，故正确． C，由图知：，故错误． D，由向量加法法则知，故正确． 故选：ABD． 11. 已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（ ） A. 圆N的圆心为 B. 圆M与圆N相交 C. 当圆M与直线l相切时，则 D. 当时，圆M与直线l相交所得的弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】写出圆的标准方程确定圆心坐标和半径，判断与两圆半径的关系判断A、B；再由点线距离及相交弦长公式判断C、D. 【详解】由题设，，则且半径， ，则且半径，A错； 所以，即两圆相交，B对； 到直线l的距离，若圆M与直线l相切，则， 所以或，C错； 当时，即圆M与直线l相交，相交弦长为，D对. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将函数在区间上单调递减的条件转化为导数在上恒成立，再通过分离参数，求出在区间内的最大值，进而确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间 上恒成立，而，所以. 故答案为： 13. 已知向量、满足，，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，即得出，结合向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为向量、满足，，且，则， 所以，即，故. 故答案为：. 14. 已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，联立方程组求得，得到直线的倾斜角为，结合斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为， 联立方程组，解得，即， 又由，可得轴，因为，可得， 所以直线的倾斜角为， 因为抛物线的焦点为，则， 整理得且，解得， 即，解得或（舍去）. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知函数(其中…为自然对数的底数)，为的一个极值点. （1）求的值； （2）证明：成立. 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，根据为的一个极值点，得到，即可求解； （2）由（1）得到函数，令，利用导数求得函数单调性和小值，结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 因为为的一个极值点，可得，解得. （2）由（1）知，函数， 由，令，， 因为，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，可得， 又由，且当时，， 所以，所以，即成立. 16. 已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）数列满足，求数列的前2n项的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出数列，的通项公式； （2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 因为，， 所以得，解得或， 因为数列为正项数列，为正项递增数列， 所以解得，， 所以， 【小问2详解】 由（1）得， 所以数列的前2项和为 . 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，． 因为，分别是棱，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，分别是棱，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，且，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）构造面面平行，利用面面平行的性质定理证明线面平行即可； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线的方向向量与平面的法向量，即可得线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，垂直平面向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，． 由余弦定理可得，则， 从而，，，，， 故，，． 设平面的法向量为， 则,令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点. （1）在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，假设在棱（含端点）存在一点使，利用，结合向量垂直的坐标表示即可求得答案. （2）求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 因为点在下底面的投影为的中点，故平面， 连接，由题意为正三角形，故, 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系： 则，， 设，可得， ， 假设在棱（含端点）上存在一点使， 则， 则； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 又， 则到平面的距离为， 即点到平面距离为. 19. 已知数列，满足，，记为的前n项和. （1）若为等比数列，其公比，求； （2）若为等差数列，其公差，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由为等比数列，其公比，可得是以为首项，为公比的等比数列，利用公式求前n项和. （2）求出的通项，可得，通过累乘法或构造常数列，求出的通项，利用公式求前n项和，可证得结论. 【小问1详解】 因为为等比数列，，， 所以，所以. 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 解法一： 因为为等差数列，，， 所以，所以. 因为，即， 所以， 所以当时， . 又符合上式， 所以. 所以 . 解法二： 因为为等差数列，，， 所以，所以. 因为，即， 所以， 所以数列为常数列. 因此， 所以. 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $