广东中山市小榄镇2025-2026学年九年级下学期限时训练数学试卷

**基本信息** 结合扫地机器人运动路径、大棚种植横截面等真实情境，通过函数建模、几何证明与方案设计等题型，考查数学抽象、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、三视图、二次函数对称轴（如第5题）|第8题结合函数图像解不等式，体现数形结合思想| |填空题|5/15|因式分解、位似变换、抛物线应用（第15题大棚高度）|第15题以农业大棚为背景，考查二次函数最值| |解答题（一）|3/21|解不等式组、分式化简求值|第18题通过纠错形式考查分式运算，强化推理严谨性| |解答题（二）|3/27|相似三角形证明（第19题）、解直角三角形（第20题）|第20题设计测量方案，培养实践能力| |解答题（三）|2/24|反比例函数综合（第22题扫地机器人）、抛物线综合（第23题）|第22题构建反比例函数模型解决机器人避障问题，凸显应用意识|

2025-2026学年下学期中段限时训练九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.2026的相反数是（  ） A．2026 B． C． D． 2.下列几何体的俯视图是三角形的是 (   ) A. B. C. D. 3.清代袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来。苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 (   )． A. B. C. D. 4.若，则下列式子中正确的是（　　 ） A． B． C． D． 5.抛物线的对称轴是直线（　 ） A.   B.  C. D. 6.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7.已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过调研发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程( ) A. B. C. D. 8.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（，为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 第8题 9.将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　 　） A． B． C． D． 10.如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，错误的结论是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 第9题 第14题 第10题 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若式子有意义，则x的取值范围是 ． 12.分解因式： = ． 13.正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是 . 14.如图，在平面直角坐标系中，AOB和是以O为位似中心的位似图形，A、B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 15. “温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，某市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为 米． 第15题图 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16．计算： 17． 解不等式组：，并写出该不等式组的最大整数解． 18．下面是小李化简分式的过程： 解：原式 （1）小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第 步，涉及分式的约分的步骤是第 步； （2）小李的化简过程从第 步开始出现错误； （3）请你写出正确的化简过程，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19．如图，在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，DF⊥AE于点F. (1)求证：△ABE ∽△DFA； (2)若AB＝3，BE＝4，AD＝6，求 DF的长. 20．如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 21.【问题背景】2025年4月23日是第19个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买个A种书架，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求的值． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共24分） 22．【扫地机器人中的数学】 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图1为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成． 【数学建模】 某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系，因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图2的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径(). 【问题解决】 (1)若在扫地机器人的运动路径上，圆心P会经过一污迹A(4，3)，求该运动曲线的函数解析式； (2)已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物B(6，8)，求当点P，O，B在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； (3)若以P，O，A为顶点的三角形的面积为 ，求此时机器人的圆心P的坐标． 23．如图①已知抛物线 的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与轴的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与轴的交点为E． (1)抛物线的对称轴与轴的交点E坐标为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)若点E到轴的距离与它到直线BC的距离相等，试求出抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，如图 ② Q(，0)是轴的正半轴上一点，过点Q作轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 九年级数学试卷 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年下学期中段限时训练九年级数学参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.B2.D3.B4.C5.A6.D7.D8.C9.D10.C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.x≥202612.3xx-2) 3.有两个不相等的实数根14.2，-山5， 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16.计算：|-V3-(4-π)°+2sin60°+()1 解：原式-V3-1+2×+4.. =2√3+3 ……………………….7分 1收、等不等式组：20习4并写出该不等式组的最大整数解 解： (x-3x-2)≥4① (2x+1<x-1② 解不等式①得x≤1， …………2分 解不等式②得x<-2, …….4分 '.不等式组的解集为x<-2, .....5分 ∴.不等式组的最大整数解是-3..………… …….7分 18.(1)小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第一步，涉及分式的约分的步骤 是第四步： (2)小李的化简过程从第二步开始出现错误；（每空1分，共3分） 解：原式 2x-3x-1）x2-4 （x-1x-1°x2-x =（2x-3)-（x-1D,x2-x x-1 x2-4 =x-2。x(x-1) x-1(x+2)(x-2) ……….5分 x+2 九年级数学参考答案第1页共6页 x≠0 x-1≠0 x+2≠0 x-2≠0 (此处只要能说明为什么x≠1,2即可) ∴.x≠0,1，-2,2 ….6分 ∴.取x=3 当x=3删，原式=，3=3 3+25 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19.(1)证明：.四边形ABCD是矩形， BC∥AD,∠B=90°.............1分 ∠AEB=∠DAF..2分 .DF⊥AE于点F, ∠DFA=90°，..3分 ∴.∠B=∠DFA. .4分 △ABE△DFA...5分 (2).∠B=90°，AB=3,BE=4. EA=√AB'+BE2=V32+4=5 .△ABE∽△DFA,AD=6, 带君 .....7分 .'.DF=AB.AD_3x6 18 EA 55 DF的长是 8 ..9分 20. 【详解】(1)解：如图，过点D作DE⊥AC于点E,则四边形ABDE是矩形，.1分 C 7355 430 A 150mB 九年级数学参考答案第2页共6页 由题意可知，AB=150m,∠CDE=35°，∠ABC=43°， :DE=AB=150m,AE=BD, ..2分 在Rt△ABC中，tan∠ABC= AB’ .AC=AB,tam43°≈150×0.93=139.5m≈140m, ...3分 在RW CDE中，tan∠CDz=Cg DE .CE=DE.tam35°≈150×0.70=105m, 4分 .AE=AC-CE =35m, .BD=AE=35m,...... ..5分 答：建筑物AC的高度约为140m,建筑物BD的高度约为35m; (2)解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为am,用测角仪在A处测得D点的仰角为a,在B处测得C 点的仰角为B. 。,7分 在Rt△ABD中，BD=AB●tana=(a●tana)m, ·…………………….8分 在Rt△ABC中，AC=AB●tanB=（a●tanB)m, ……….9分 -=-1Br A am B (其他解法也分3步评分) 21.【详解】(1)解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为1+20%r元....1分 180009000 由题意得Q+200x￥ 三6， .2分 解得x=1000, 经检验，x=1000是分式方程的解，且符合题意， .(1+20%)x=1200.. ……….3分 答：A,B两种书架的单价分别为1200元，1000元. (2)解：购买a个A种书架时，购买总费用w=1200a+1000(20-a), 即1w=200a+20000, …………4分 九年级数学参考答案第3页共6页 200>0, ∴.w随着a的增大而增大，. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 由题意得，a应满足：a≥(20-，解得a≥8。 …6分 当a=8时，w的值最小，最小值为200×8+20000=21600， ·.费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个. .7分 (3)解：由题意得 1200-m×8+1000+二m×12=21120, ...8分 解得m=120. .9分 答：0000000 22. (1)设运动曲线的函数解析式为y=二 .1分 .A(4,3), ∴.k=3×4=12. 。。。 ..2分 ∴.运动曲线的函数解析式为 y=12 .3分 x (2)设直线OB的解析式为y=mx. 将B(6,8)代入，得m= 3 ∴.直线OB的解析式为 y-4x 3 …….5分 〔12 V=- 联立 解得 x=3 (负值已舍去)..6分 4 y=4 y=3* .P(3,4). ....7分 .PB=V(3-62+(4-8)2=5>2 ∴.扫地机器人不会触碰到障碍物. ………………….8分 九年级数学参考答案第4页共6页 (3)设直线OA的解析式为y=nx. 将A(4,3)代入，得n三 :直线0A的解析式为y=4x 3 …….9分 如图2，过点P作PQ∥y轴交0A于点Q. 设Pa吕)，则Qa 3 。 a 图2 ...10分 …….11分 解得a=1或a=16,a=-1(舍去)，a=-16(舍去). 经检验，a=1或a=16是原分式方程的解，且符合题意. …….12分 3 ∴.此时机器人的圆心P的坐标为(1,12)或(16， ….13分 (只求一种情况扣2分) 23. 【分析】（1)根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y=0,解方程即可求出点A坐标. (2)如图①中，过点E作DBLG,由tan∠BC-光O8,列出方程即可解视 (3)分两种情形①当W在直线BC上方，②当W在直线BC下方，分别列出方程即可解决. 3 【详解】解：（①E(2,0,A(-1,0,B（4,0) .3分（每空1分) (2)如图①中，过点E作DE⊥BC于D,......4分 y DB=√EB2-DE2=V2.52-1.5=2,.5分 DE OC .'tan∠0BC= BD OB' 5当解得a 3 2- ......7分 3 一抛物线解析式为y=- 9 x2+ 4 4 九年级数学参考答案第5页共6页 y个 M (3)如图②中，由题意∠M'CN=∠NCB, .MN∥OM′， C ∴.∠M'CN=∠CNM, .'.MN=CM, ….9分 .点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,3)， :直线BC解析式为y=-x+3,BC= ·…..10分 M血，-n+3),Nm,-3m+9 3 2m+二m+3),作MF⊥0C于F, 4 41 4 :sin∠BC0=FMM-BO MC BC' 0 :05 4 ………11分 3 当N在直线BC上方时，3 ， m+3-（-二m+3)= 4 4 解得：3或0（舍弃）， 0好， .......12分 @当N布直线0下方时.~寻》(~子r-号) 17 解得Γ或0（舍弃）， 号， ……….13分 17 综上所述：点Q坐标为（写，0）或（号，0. …………14分 九年级数学参考答案第6页共6页