精品解析：广东广州市白云区颜乐天纪念中学2025-2026学年高二下学期期中调研数学试题

广州市白云区颜乐天纪念中学2025-2026学年第二学期期中调研（高二数学） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 2. 6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法即可. 【详解】对于每个班来说有7种选择，则根据分步乘法有种安排方法， 故选：D. 3. 在等差数列中，，且，，构成等比数列，则公差d等于（ ）． A. B. 0 C. D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出等式，即可求得答案. 【详解】由题意得： ， 则 ，解得 或 ，符合题意， 故选：D 4. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 故选：B． 5. 高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元） 参考数据：，， A. 2.5 B. 2.0 C. 2.2 D. 2.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题是复利计息问题，逐年分析寻找规律，然后根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意，2025年存的2000元共存了10年，本息和为万元， 2026年存的2000元共存了9年，本息和为万元， 2034年存的2000元共存了1年，本息和为万元， 所以到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元， 故选：C. 6. 已知，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可. 【详解】对于A，取，得，故A错误； 对于B，的展开式中第7项为， 所以，故B错误； 对于C，取得， 所以，故C错误； 对于D，由， 取得， 取得， 所以，故D正确. 故选：D 7. 已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（ ） A. 80 B. 208 C. 680 D. 780 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出等差数列的首项，可得到通项公式以及前项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为，代入计算即可得到答案. 【详解】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 . 故选：B． 8. 已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A项：，所以A错； 对于B项：，所以B对； 对于C项：，所以C错； 对于D项：，所以D正确． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 11. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（ ） A. 从第2行起，第行的第个位置的数是 B. 记第行的第个数为，则 C. 从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 D. 从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由杨辉三角形的特征，可直接判断A；逆用二项展开式，即可判断B；由题意易知，根据累加法即可判断C；D选项，根据题意可得，利用裂项相消法计算可判断D. 【详解】A选项，从第2行起，第行的第个位置的数是，故A错误； B选项，第行的第个数为，则， 因为 ，故B正确； C选项，由题意可得， 则, ，以上各式相加得， 因此，故C正确； D选项，由题意可得从第3行起，每行第3个位置的数， 所以 所以.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得，， 则，， 又，满足上式，所以. 13. 的展开式中的系数是________（结果用数字表示）． 【答案】210 【解析】 【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个的系数，求和得出答案，或者根据，快速计算结果. 【详解】∵的通项为， ∴的通项为， ∴的展开式中的系数为， 同理得展开式中的系数为，展开式中的系数为， 故展开式中的系数为：. （也可以根据性质：，因为，故） 故答案为：210 14. 已知函数的两个极值点为，，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解出，然后根据极值点确定出满足的关系式，根据函数解析式以及的关系式将化简为，构造函数并分析其单调性和值域，由此求解出的取值范围. 【详解】因为，且，是两个极值点， 所以，是的两个根，所以，满足， 又因为， 所以且， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以解得， 令，设，所以， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤： （1）先根据已知条件确定出变量满足的条件； （2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题； （3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? （1）两个女生必须相邻而站； （2）4名男生互不相邻； （3）老师不站中间，女生甲不站左端. 【答案】（1）1440种 （2）144种 （3）3720种 【解析】 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. 【小问1详解】 两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． 【小问2详解】 ∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． 【小问3详解】 当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可将已知化为，再根据等比数列的定义可求出数列的通项，再根据与的关系即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，得， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当时，， 当时，上式不成立， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 即， ， 两式相减得， 所以. 17. 已知在时有极值0. （1）求常数a，b的值； （2）如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）利用函数的极值点的意义，列出方程组，求得，回代入导函数，判断函数的单调性，检验极值点即得； （2）利用导数，求得函数在区间上的最值，根据题意，须使，即在上恒成立，即得满足条件的最大整数. 【小问1详解】 由可得， 因在时有极值0，可得，即， 解得：，（因，故舍去）或， 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极小值，符合题意. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， ， 1 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 且， 如果存在使得成立， 等价于．而. 故得， 因时，， 所以，即满足条件的最大整数为20． 18. 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） 由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2） （3） 由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）利用结合等比数列的定义即可得证； （2）利用累加法即可求得的通项公式. （3）利用裂项相消法即可求解，根据其单调性即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）已知在处的切线斜率为，求实数的值； （2）若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围； （3）若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，即可解得实数的值； （2）当时，由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，解得. 【小问2详解】 当时，，， 则，由可得，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 又因为，， 因为关于的方程有个不相等的实数解， 则直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题意，当时，， 则恒成立， 令，则，因为，， 所以对任意的恒成立，故函数在上单调递减， 所以， 因为对任意的恒成立，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市白云区颜乐天纪念中学2025-2026学年第二学期期中调研（高二数学） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 2. 6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，且，，构成等比数列，则公差d等于（ ）． A. B. 0 C. D. 0或 4. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 高二学生小张计划将每年的压岁钱存入银行，从2025年起，每年3月1日到银行新存入2000元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2035年3月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（ ）（单位：万元） 参考数据：，， A. 2.5 B. 2.0 C. 2.2 D. 2.6 6. 已知，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（ ） A. 80 B. 208 C. 680 D. 780 8. 已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 11. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（ ） A. 从第2行起，第行的第个位置的数是 B. 记第行的第个数为，则 C. 从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 D. 从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，，则________. 13. 的展开式中的系数是________（结果用数字表示）． 14. 已知函数的两个极值点为，，且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? （1）两个女生必须相邻而站； （2）4名男生互不相邻； （3）老师不站中间，女生甲不站左端. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知在时有极值0. （1）求常数a，b的值； （2）如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 18. 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 19. 已知函数，． （1）已知在处的切线斜率为，求实数的值； （2）若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围； （3）若函数在上单调递增，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $