福建省泉州五中2025-2026学年高一下学期数学单元测试三

泉州五中2025级高一下数学单元测试三 一、单选题 1.若复数z满足：+2三=6+3i,则在复平面内复数z对应的点Z位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.直线l与平面α平行的充要条件是() A.直线1上有无数个点不在平面内 B.直线l与平面u内的一条直线平行 C.直线l与平面α内的无数条直线都平行 D.直线I与平面内的任意一条直线都没有公共点 B O 3.将正三角形ABC,按斜二测画法在水平放置的平面上画出为△A'B'C',则coS∠BAC= () 4号 R c.2 1 D.2-6 4 4.在△ABC中，动点P满足C=CB-24B.CP,则P点轨迹一定通过△ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=6,AC=8,N为边BC的中点，则NAM=() A.13 B.14 C.20 D.25 309 6.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形 的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作 作图后，得如图所示的图形，若AF=xAB+yAD,则x-y=() 4月 B月 c.1-3 D.-1 7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的幂指水平截面的面积，“势指高.这句话的 意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相 等利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差如图，是 试卷第1页，共4页 “四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以3√2为半径的半圆，平 面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD,用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所 0 得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体 积是()（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A.362 B.722 C.36π D.72π &已知△huC中，国=8网-2，且合丽-e-2为d(aeR的最小值为25.若 P为边AB上任意一点，则PB.PC的最小值是() A到 49 9 B.- C.- 25 D. 4 16 16 二、多选题 9.已知z,2为复数，下列说法正确的是（) A.若<，则z<z B.若31·22=0，则31=0或52=0 C.若名=z2,则52∈R D.若3+22∈R,则=，2∈R 10.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A,C的动点，SO=OC=√3， 则下列结论正确的是() A.圆锥SO的侧面积为3元 B.三棱锥S-ABC体积的最大值为V5 C.圆锥SO外接球体积为4√3π g0 D,若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为3+√ bc 2 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 b2+c2-a2-31 =二，cos2A+2 sin BsinC=1, 则() A.cos4=3 B.b=2c C.sin2B+sin2C<1 D.sinB+sinC >1 三、填空题 12.己知矩形ABCD的边长分别为1，√5，沿对角线AC折起，使四个顶点都在同一个球面 上，则该球的表面积为 13.在△ABC中，D、E在边BC上，且BD=DE=EC, B 试卷第2页，共4页 A可-1，历与正所成的夹角为5，则亚AC的最大值为 14.设G为△ABC的重心，满足4GBG=0.若co4+cosB=cosC 则实数λ的值为 sin A sin B sinC 四、解答题 5 15.已知复数z1中21+i,i为虚数单位. (1)求z的共轭复数z: (2)若复数z是关于x的方程x2+x+n=0的一个根，求实数，n的值. 16.用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示， 0 已知AB′=3，B'C'=1,AD=3,且AD1/B'C. (1)求原平面图形ABCD的面积； B (2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表 A 面积和体积. 17.己知d=1,=22,a+b=4,2),试求： (1)a与b的夹角0： (2)a+tb的最小值，其中t∈R, 试卷第3页，共4页 18.已知锐角44BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若QmC。 且b2-(a-c)2=6, (1)求B: (2)若BD为AC边上的高，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为M、N, (i)求证：BD=。27 a2+c2-6 (ii)求N的最大值. 19.柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就 是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式（维形式）为： 设a1,a2,4,,4n,b,b2,b,,bn∈R, (a+a+…+a)+b+…+b)2(ah+a,b+…+a,b),当且仅 当b=0(i=1,2,,n)或存在一个数k,使得a=他(i=1,2,…,n)时， 等号成立。 (1)利用二维柯西不等式：(x52+yy2)≤(+y)(号+)，求31-cosB+2√cosB+1的最 大值，并写出等号取到的条件； ②证明：三维分式型柯西不等式：为，4，为后K,￡+三，三之5++长，当且仅 yy2出+y2+y 当立=立=主时等号成立 y y2 y3 3)若a=3,A=于P是△1BC内一点，过P作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,B AB BC AC F,求T= PD 4PEPF 的最小值 试卷第4页，共4页 《泉州五中2025级高一下数学单元测试三》参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 答案 0 D A B ⊙ B BC BCD 题号 11 答案 AD 1.设z=a+bi,其中a,beR,则z+2z=a+bi+2(a-bi=3a-bi,则3a=6,-b=3, 即α=2，b=-3,故==2-3i,此时z在复平面内对应的点为(2，-3)，位于第四象限，选D. 2.【详解】A.无数个点不是所有点，所以不正确： B.缺少直线l在平面外，所以不正确： C.无数条直线不是所有的直线，所以不正确： D.由直线与平面平行的定义，正确， 故选：D 3.【详解】设正三角形的边长为2a,则OA=2a×sim60°=V5a 根振斜=调百法可得：14-5a:o-0c叫-5c1=a:00-45 ∠AOB=135°.在△A4OC中，由余弦定理可得： HcP=Aor+Cof-24olco1cos∠Aoc=7-26a； 4 在△A'OB中，由余弦定理可得： -rot +or-urowoo 在△AB'C'中，由余弦定理可得： cas∠BfC-HCP+Baf-BCE 7-26d+7+26d-(2m 4 4 1 2AC B'A 7-2W62 +26d 5:故选：A 24°V4 4【详解】因为CA=CB-2AB.CP, 2AB.CP=CB'-CA'=(CB-CA).(CB+CA)=AB.(CB+CA), 所以AB.(2CP-CB-CA)=AB.(BP+AP)=0,设AB的中点为E,则 BP+AP=2EP,则AB.2EP=0,所以AB⊥E严，所以点P在线段AB 的中垂线上，故点P的轨迹过△ABC的外心.故选：A 5.【详解】因为N为边BC的中点，根据向量的平行四边形法则可知，AN=(AB+AC), 所以A.a-(AB+AC)AM-aB.AM+Ac.A 答案第1页，共9页 取边AB中点D,连接MD,则MD⊥AB,所以AB.DM=0. B.AM=AB.(AD+DM)=AB.AD+AB.DM=AB.4B+AB.DM -6=18同理可得，c-(ao-×8=32 所以AN.AM=(西AW+Ac.A）=×18+32=25. 故选：D 6.【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设DC=2a(a>0),则EC=a,DE=√5a,则 30 A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=（W5+1a, 所以x=(V5+1a:cos30°，y=2a+(5+1hsin30°，即 3+V3 a=2ax 因为AF=xAB+yAD,所以 a=x(2a,0)+y(0,2,则{ 2 5+V 2a=2y 2 则2a-2aw=3+v5,5+6 2 a- 2=a，化简得x一y二-故选：B 7.【详解】作正四棱柱MNGH-MWG'H',正四棱柱的边长与帐篷底面正方形ABCD边长 相等，在正四棱柱MNGH-MNG'H,作四棱锥O-MNGH',O为底面正方形MNGH' 的中心，作截面平行于帐篷底面ABCD,与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形AB'CD,四边形AB,CD,四边形A,B,C,D,,如图所示， 设截面与底面的距离为h,设底面ABCD中心为O, 截面AB'CD中心为O',则OC"=3√2，OC'=V18-h2, 所以B'C'=√2V18-h,所以截面A'B'CD'的面积为36-2h. 图1 图2 答案第2页，共9页 设四棱柱底面MWGH中心O与截面A,B,C2D2中心O2之间的距离为OO2=h, 在正四棱柱中，底面正方形边长为6，高为3√2， 所以∠MO4,=∠G0,C2=4S，所以∠A,O0C2=90°，△A,OC,为等腰直角三角形， 所以A,C,=2h,所以四边形A,B,C,D,边长为√2h,所以四边形AB,C,D,的面积为2h, 所以图2中阴影部分的面积为S4GA-SGA=36-2,与截面AB'CD面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即7s=”-7=6x32-}×62×3万=72V反.故选：B 8.【详解】设4AD=44C,故AB=AD=8,若AB+(4-4)4C=14B+1-元4D=4G, 由+(1-)=1，则B,G,D共线，故4G=43, 由图得，当AG1BD时AG有最小值，又AB=AD=4AC=8, :m∠ABD=n∠ADB-45-S,即∠ABD=∠ADB-5∠BAD-号 8-2 3 即△ABD为等边三角形.由余弦定理， BC=B+AC-2BAdcOs _BAC=8+2:-2x8x2x=52, 设M为c中点，丽元-(pm-8cpm+8coc, ∴当P☑取最小值时，PBPC有最小值，：P为边AB上任意一点， ∴当PMLAB时，PM有最小值，设PM⊥AB,过点C作CE LAB于点E,则 CE=AC|sin∠BAC=V3,又PMI/EC,PM为△BCE的中位线， 2C4=是即PM9(丽网子2=程故选：R 9.【详解】对于A,=i,22=1+i,则=1<=√2，而z=-1,=2i,不能比较大小， 故错误，对于B,设二=a+bi,52=c+di,因为：z=(a+bi)(c+h=ac-bd+(ad+bc)i, -(ac-bd)+(ad+bo)2=(ae)+boiad =Vd+B√e+d=V(ag(ab2{bd,所以=， 若22=0，所以3==0，所以=0或=0，可得名=0或-=0，故B正确： 答案第3页，共9页 对于C,令=a+bi,则2=a-bi,a,b∈R,则z=a2+beR,正确， 对于D,令2=1+i,二2=1-i,满足+z2∈R,不满足，22∈R,错误.故选：BC 10.【详解】由条件可知，SC=VS02+OC2=√6，圆锥SO的侧面积为π×√3×√6=3V2元， 故A错误： B.当OB是△ABC的高时，此时△ABC的面积和三棱锥S-ABC的体积最大，体积的最大值 是}x×2B×Bx5=5,故B正确： Γ32 C.因为SO=OC,所以圆锥SO外接球的球心即为点O,半径为√， 所以外接球的体积为(=45，故C正确： D.若AB=BC,则△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=√6，SA=SB=√6， 所以△SAB是等边三角形，如图，将△SAB沿AB翻折，使S,A,B,C四点共面， 此时S,E,C三点共线时，SB+EC的最小值是SC,△SBC中， SB=BC=√6∠SBC=60°+90°=150°，由余弦定理可知， SC= 6+6-2x√6x√6x √3 =V12+65=3+√5，故D正确.故选：BCD 2 1山.【详解】对于A选项，由足c 自示。子所以0 bc 2 得cosA=b+c2-a3 ,A选项正确；对于B选项，由cos2A+2 sin Bsin C=1,则 2bc 4 cos2A-sin2A+2sin BsinC=sin2A+cos2A, bc 2 得nA=in BsinC,由正弦定理，即d=c，代入。+C-了，得 2b2-5bc+2c2=0,解得b=2c或b=号，B选项错误： 对于C,cosA=3, .sin4= sin Bsin C=sinA= 7 16 ，由 2b-5bc+2c0,.sinB+sin'Ci BsinC 2 2 32>1,C选项错误： 对D选项，(sinB+sinC)2=sin2B+simn2C+2 sin BsinC>sin2B+sin2C>1, .sinB+sinC>l,D选项正确.故选：AD 12.【详解】将长方形ABCD沿对角线AC折起，使顶点A,B,C,D落在同一个球面上， 答案第4页，共9页 取AC中点O,则OA=OB=0C=OD,∴该球的半径为R=OA=AC=+3=1, 该球的表面积为S=4πR2=4π.故答案为：4π. 13.【详解】·AB=AD+DB=AD+ED=AD+EA+AD=2AD-AE AC=AD+DC=AD+2DE=AD+2 DA+AE -AD+2AE AB.AC=(2AD-AE}（AD+2A正上-2HD1+5AD.A正-2证12 0-1，而与亚所成的夹角为亚c。-2+西-2亚 当网-时，C的最大值为 39 32 故答案为： 32 14.【详解】在△ABC中， AcosC cos A,cos B sin Acos B+cos Asin B sin(A+B) sinC sinA sin B sin Asin B sin Asin B 则= sin2C ,由正弦定理得1= 由G为△ABC的重心，AG.BG=0, sin Asin Bcos C abcos C 得面+a0)i+C)=0,即-丽+BC+C+4CC-0,则 -丽+丽低-c)CC=0,即-2aB+acBC-0,因此bos=2x,所以-=号 、15.【详解11)因为z=+元1+1小 5(1-2i) (1+2i)(1-2i) +1+i=1-2i+1+i=2-i, 所以z的共轭复数三=2+i. (2)由题意可知：z=2-i、三=2+i是方程x2+mx+n=0的根， -m=(2-i)+(2+i)=4 =-4 n=(2-i)(2+i)=5，即 则 n=5 16.【详解】(1)根据题意，将直观图还原成平面图形即得直角梯形ABCD如图， 因为AB=3,B'C=1,A'D'=3,且AD1/B'C,所以AB=3,BC=2B'C=2, AD=2A'D=6,且AD/BC,AB⊥AD,故原平面图形ABCD为直角梯形， 故其面积为Su0-2+Ox3-12: 2 (2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个 A-- 圆锥，如图，其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5， 所以几何体的表面积为S=π×3×5+2πx3×6+x3=60π， 答案第5页，共9页 几何体的体积为V=元x3×6-33x4=42π. 17.【详解】(1)由a+方=1,2)，得a+i+2a6=5,而=1，=22，则ab=-2, 因此cos0= a万1.2W2之，而0≤0≤π，所以a与5的夹角0=3加 a.b-2√2 4 (2y由1)如，a5-2则+网-层+f5+2a5-8r-4c字号号 当且仅当1=寻时取等号，所以a+西的最小值为号 2 18【餐】因为8mC-君副 所以cosA=2 cos Bsin C- (6 即cosA=2 cos B sinC cos -cosC sin 6 cos A=3 cos BsinC-cos B cosC, 又cosA=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C),所以 -cos BcosC+sin BsinC=cos Bsin C-cos B cosC sin Bsin C=3cos BsinC, 又C∈(0，)，所以sinC>0,所以simB=V3cosB,即tanB=5,因为B∈(0，)，所以B= 3 （2)(i)因为b2-(a-c)2=6,即b2=d+c2+6-2c,由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B, 即b=d2+c2-ac,所以6-2ac=-ac,则ac=6, 所以8e血Ac6点3道，又8 2 22 ACBD,所以BD=2S4-3V5 AC AC 所以BD=27 27 27 4c=+c2-md+c2-6 (ii)设BM=m,BW=n,在△BMN中由余弦定理 MN=m2+n2-2mncos LABC =m2+n-mn, 由(i)可得BD2= =a+C-6'b=d+e2-=t+e2-6,因为RtBDN-RiABCD,即 27 纪=A即BD-na,且RIBDM-RIBAD,即8D-BM BA BD ，即BD2=mC, 则na=c= 27 所以n= 27 27 2.a1 -,l= b2.c1 所以m2+r2-mm=27:1+1-1）=271+11） b'a2bc2b'ac厂ba+eac 且b=(d+c2-ac),ac=6, a9威品阁896 答案第6页，共9页 且=2+36之2.36=12，当且仅当6时取等号，所以1-6≥6，又-6越大则 a a ,6的值越水所以m+四-) =22,所以当a=6时，m+-n 68 取得最大位名(aNr)得，所以N一石 4 19.【详解】(1)已知柯西不等式(G,+y)2≤(++)，令，=3，片=2,5=V1-0sB, h=VC0sB+1,则有(31-cosB+2osB+1)≤32+22)A-cosB+c0sB+1) 计算不等式右边的值：(32+2)1-c0sB+c0sB+1)=(9+4×2=13×2=26, 即(3V1-cosB+2v6osB+1≤26.因为3V1-00sB+2W0osB+1≥0， 对(3W-cosB+2osB+1'≤26两边同时开平方可得31-cosB+2√c0sB+1≤√26. 2 当且仅当 1-cos Bcos B+1 ,即3Wc0sB+1=2W1-cosB时，等号成立. 对3√0osB+1=2W1-cosB两边同时平方可得9(cosB+1)=4(1-cosB), 展开得9c0sB+9=4-4cosB,解得coB=3 此3-cosB+2cosB+1的最大值V26,当且仅当cosB=取 (2)己知片，2，∈R,根据柯西不等式的推广形式： 对打低G妆医2a41a41a,仅受-爱-会时特号设义 则区+至++y+以 `y12y3 会a+ 倍+法六任层+民可 G+x2+x)2, 因为片+为+为>0，两边同时除以y+头+为，可得三+三+￡≥G+与+ y y2 y3 y+y2+y 答案第7页，共9页 y y2 y3 y: 1品阳品g'丽 a a b2 又.PD011.Se-PF,且Sa+Se+Sae=Sae 1 1 可得c|PD+aPE|+bPF=2S4c.根据三维分式型柯西不等式 (e2 32 b2 cPD Aa PE bPF elPD+app= 2 因为1到bF=2S.e,所以7T6t子8 (oe-) cPD 4a PE bPF 2SABc 又因为S-5c,所以 b+c+- ,3)2 3)2 2 习，即 2b+c+ 2，当且仅当 4 ≥ 2S。ABc 3bc V3bc 1 a=g·即PE引PDL多PF时等号成立 PDI PEPF 由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA,可得9=b2+c2-bc,变形为(b+c)2-9=3bc,即 n2b+c+32 c1q2将c-+g-9代入7 3 3 2中，得到12 3bc (b+c)2-9 2W322W5 1=bc+分则 3）2 2-3+1由 e-(bc)-9sbtc 3 2, b+c>a=3 解不等式6+c)°-9s1Sy,得(b+c≤36-6≤b+c56又因为b+c>3,所以 3 2 9 315 tgs6,当且仅当b=c时等号成立那么1=6+c中22，则子 测9 二273+1，可将其看作关于的二次函数，二次项系数-4<0，函数图象开 3 下，对称轴为-1 1一23上递减 12x27-9,所以y在e50 4 答案第8页，共9页 当后6=6，y有绿大=号层食 +1=12 5 因为7≥23 2,y取最大值时T取最小值，所以立石，出时 y 25 1P引PDPR与6=e可以同时取到 答案第9页，共9页