上海市格致中学2025-2026学年第二学期期中考试高二年级数学试卷

格致中学 二O二五学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 (共4页) (测试90分钟内完成，总分100分，考试后交答题卷) 友情提东：昨天，你晚然级历了眼苦的学习，令天，你必将赢得可鲁的收软 帆你：线实守信，沉看岭静，细数腊实，自信自服，去迎接胜利/ 一、填空题：（本题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42 的 分) 1.已知事件A发生的概率P(A)=0.2,事件B发生的概率P(B)=0.5,若事件A 与B独立，则P(A∩B)= 2.在平面直角坐标系中，点(1,2)到直线4x-3y+5=0的距离为 3.设圆C方程为x2+y2+4x-6y+10=0,则圆的半径为 的 若一个球的体积是红，则这个球的表面积是 4. 5把点的极坐标(2) 化为直角坐标是 6.若正整数n满足C心"=Cg-5,则n= 7.若(2x-1)°=a。+a,x+a2x2+…+aox°，则a1+a2+…+ao= 8.直线y=x+1与圆C:x2+y2-4x-2y=0相交所得的弦长为 救 9.设M(xy)为抛物线y2=4x上任意一点，若x+2y+m的最小值为1，则实数 m的值为 10.在△ABC中，AB=3,AC=5,BC=4,点A在以B.C为焦点的双曲线上，则 该双曲线的两条渐近线的夹角大小为 11.如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆T,其中『的长轴AC为该圆柱轴截 面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长.将圆柱侧面沿母线AB展开，则 椭圆Γ在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像.若该段曲线是函数 y=l-V5sin的图像的一部分，则 椭圆Γ的离心率为 二O二五学年度第二学期高二数学期中考试 第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 12.设向量ā=（(x,),b=(3,y),记ā·6=xx-以2，若点4,4,4是圆 C:x2+y2+4x-2y=0上任意三点，且满足44144，求oA0%+0404的 取值范围为 二、选择题：（本题共4小题，13-14每题3分，15-16每题4分，满分14分) 13.在空间内，异面直线所成角的取值范围是() A(剖 c.[ 14.已知A、B为两个随机事件，则“AB为互斥事件"是“A、B为对立事件的() A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 15.设a>0,b>0,点M(6),0是坐标原点，OM=a,F是双曲线r:苦-兰 a京1 的左焦点，若直线1：xx+yy=a2经过点F,，且与双曲线Γ的右支在第一象限 内交于P点，则双曲线Γ的离心率的一个可能的值是() A.5 B.6 2 C. D.i 2 2 16.椭圆具有如下光学性质：如图，F(-c,0),E(c,0)分别是椭圆 舌+长=1a>6>0)的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后， 经过到达点的切线反射后经过点F,有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线（垂直于切线的直线）与x轴 的交点为M0,则（后） ②若从F发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回 到F所经过的路程为8c,则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（) A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题 二0二五学年度第二学期高二数学期中考试第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步藤） 17.(本题共2小题，第1小题4分，第2小题4分，满分8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AC=2,BC=1, AB=3. (I)证明：BC⊥PB: (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特 殊的三棱锥一整膈，其四个面均为直角三角形，本题 D 图中三棱锥PABC即为一个鳘膈，请计算它的体积和表 面积. 18.（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题6分，满分10分) 第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海 国家会展中心举行为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄 在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图， 分组区间为[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75].把年龄落在区间 [15,35)内的人称为“青年人”，把年龄落在区间[35,65)内的人称为“中年人”， 把年龄落在[65,75内的人称为“老年人”. 顿率 组距 ()求所抽取的“青年人”的人数： (2)以分层抽样的方式从“青年人中年人“老年 0.015 0.010 人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中 015253545556575* 男性共6人，这6人中有2人是“中年人”再用抽 200名参会者的频率分布直方图 签法从所抽取的10名参会者中任选2人， 设事件A:2人均为“中年人”，事件B:2人中至少有1人为男性，判断事件 A与事件B是否独立，并说明理由， 二O二五学年度第二学期高二数学期中考试 第3共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.(本题共2小题，其中第1小题7分，第2小题5分，满分12分) 如图1的封闭图形的边缘由抛物线Γ和垂直于抛物线对称轴的线段AB 组成.已知AB=4,抛物线的顶点到线段AB所在 D A 直线的距离为2， (1)如图2，已建立适当的直角坐标系，请写出该 部分抛物线的方程（注意x的范围）：在该封闭图 19图1 形上截取一个矩形CDEF,其中点C,D在线段AB上，点EF抛物线T上.求 以矩形CDEF为侧面，CF为母线的圆柱的体积最大值： (2)过抛物线焦点作相互垂直的两条直线4,4,4交抛物线于M、N两点，上交 抛物线于P、旦两点，求证：网+P回为定值，并求出该定值。 19图2 20.(本题共3小题，其中第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分， 满分14分) 如图，椭圆c号+长=10<6c2与双曲线C芹-y1在第一象限的 少2 公共点为A(x%,y以).曲线厂由两段曲线组成：当x≤时，曲线T与椭圆C,重 合，当x>x时，曲线r与双曲线C,重合， (1)已知A(2,)，求b的值，并写出椭圆C,和双曲线C,的离心率？2： (2)已知b=√2，直线l过点D(2,0)与曲线Γ交于E、F两点，若DE=2, 求直线1的方程： (3)已知b=√2，过点P(O,)且斜率为k(k2)的直线m与曲线r交于M,N两点， 若S.ww=tan∠MMN,求实数1的最大值. 二O二五学年度第二学期高二数学期中考试 第4页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP