福建宁德市2025-2026学年第二学期适应性练习高一数学

**基本信息** 聚焦高中数学期中核心内容，通过梯度化问题设计考查抽象能力、运算能力及模型意识，融合现实情境与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/70|函数性质、立体几何、数列综合|以科技数据为情境考查函数建模，结合几何直观设计探究性问题|

2025-2026学年第二学期适应性练习 高一数学参考答案 一、本题共8小题，每小题5分，共40分 思号 2 P 答案 C B A D B C D C 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9 10 11 AD ABC ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（5,2 13. 500 14.2 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15.解(1)由向量的减法可得：DB=AB-AD=ā-b,.2分 由向量的加法可得：AE=AD+DE=b+DE, 又DB=2BC,所以AE=b+2DC-6+2AB=6+2a 3 ，4分 3 3 .1 11 同理：EF=EC+CPAB+DA=Q-b1 ......6分 34 (2)由 4c-1c-41-61a10f6a16-a, .10分 则AG=2AB,….11分 所以AG∥AB,即A,B,G三点共线...13分 16解(1)22=(m+2i)1+i)=(m-2)+(m+2)i.2分 22为纯虚数， m-2=0, m+2≠0，解得m=2, 5分 =2+2i,=V4+4=2W2.7分 试卷第1页，共6页 (2)复数21=m+2i(m∈R),22=1+i,2是2的共轭复数， 所以23=11-2i..8分 则A(m,2),B(1,1),C(m,-2）..9分 ~△ABC为直角三角形， ∴AB⊥BC. 六AB.BC=0.11分 AB=(1-m-1),BC=(m-1,-3) .(（1-m,-1)(m-1,-3)=0即m2-2m-2=0.13分 解得=1士√5.… 15分 17.解(1)在正四棱台ABCD-AB,CD中，分别取上、下底面的中心O,O,连接OO, 则00=15 分别取B,C,BC的中点M,N,连接OM,ON,N,过M作MH⊥ON于H, 因为在正四棱台ABCD-AB,CD中，AB,=10,AB=20,O,O=15, 所以M=00=15.0M-48-50N-48-10. 在Rt△MNH中，MW=VwMH2+HW=V152+52=5√10,3分 所以正四棱台的表面积为 S=102+202+4×1×10+20)×5√10=500+300W10(cm2):6分 D A D 0-升 B (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面 正方形相切，高为正四棱台的高，8分 则圆台00的上底面半径为1=5cm,下底面半径为3=10cm,高OO=15cm, 试卷第2页，共6页 所以圆合00的体积为%=写×元x52+102+5x10)x15=875m(cm),10分 1 因为正四棱台的体积为V=2×(102+202+V02×20)×15=3500(cm2),12分 所以削去部分的体积为V2=V-V=3500-875π(cm3),.13分 所以削去部分与圆台的体积之比3500-875江=4-元 15分 875π 18.解(1) bcosA-acosBa=1 bcosA+acos B c sinBcosA-sinAcosB sin A =1,1分 sinBcosA+sinAcosB sinC sin(B-A)sinA sin(A+B)）sin(A+B) =1,2分 sin(B-A)-sin(A+B)=-sinA,展开化简得：-2 cos BsinA=-sinA,3分 因为AB∈(Q,,所以cosB= 2 所以B=子4分 (2)若选①：由BD平分∠ABC得：S△4BC=SABD+SABCD, 1 π，1 sn不x3csinsin即ac=a+c, 32 62 6 在A48c巾，由余弦定理得8=+e2-2acos写，则d2+d2-ac=4,7分 a+c2-c=4得(ac八-3ac=4,解得ac=4,…9分 ac=a+c 联立 m8-45-5:…10分 2 2 若远@：由题设B0-（aA+8C), 则BD-4aA+Bc-4af+2A,c+BC 则3-e2+2 ccosB+a）,所以d+c2+ac=12:6分 在△A8C中，由氽弦定理得82=a2+e2-2aco写，则d2+c2-ac=4,7分 [a2+c2+ac=12 联立a+c2-c=4,得ac=4,9分 试卷第3页，共6页 acsin Bx 2=5.…10分 3 2 2R=62.4 (3)由正弦定理 2 故as4 n4,c=4。 3 c店nC，12分 e nain nn) 3 8 sin2A+ 8V5 in4cos4=1-cos2443 in24=8 m2A-+4. 3 6'3 .14分 3 3 3 2 3 0<A< 2 由于△ABC为锐角三角形，故 0<2π-A< 故后415分 6 3 2 网t4-g4824-得4 8 因此2<C≤4，..16分 3 设4c边上的商为，Sae=)ciB=bh3-5ac 4 2N 所以he ..17分 19.解：(1)由平面向量数量积的坐标运算可得cos∠AOB= a-b_25√3 2×22 又∠408e[0小，则<A0B=君 ax6=an∠A0B-lsin石=2x2×写=2，…2分 6 6xa=4sn2m-A0B)=smx=2…4分 6 (2)当a,b中只要有一个为零向量，由己知易得等式成立..5分 当ab均为非零向量时，不妨设射线OA、OB分别为角、P的终边且0∈0,2π， 试卷第4页，共6页 B∈0,2π，则日=-B或0=-B+2π，.6分 i设d=m,=n,则a=(mcos,.msin a),b=(cosB,nsin B),.7分 则ixa=asin0-卧asim(a-P)=msin(a-p) -nm(sina cos B-cosasin B)=ncos B.msina-mcos a.nsin B=xy2, 故b×=x2乃-Xy29分 (注：学生若能用向量的坐标法计算得出b×=3y一y得4分：若没有分类，只得 出b×=x乃-xy,给2分。过程参考如下) 设ā=(，y),b=(y2),则a+界，1b=Vx好+好， la-b。kx,+yl 所以os8lFab+yV号+好 所以sine=V1-cos26= (￥，+)月 (x+)(x+)】 +)+)(+ 好+x-2xyy2 V+听√好+喝 V+听V好+好 整理得sind= V(x为-x)月 y2-x2% +听V+好 Vx+好V好+因 所以bxd=lsin0=xy-x (3)由题意知OA=OB=4,OE=2, swMM=A+0防+m -sI(FAxFB)+(FCx FD)+(FAx FD)+(Fx)] Ax防+FCxm-0FBxC列] .12分 由垂径定理知OM⊥AC,ON⊥BD,OM+ON=OE=4,13分 试卷第5页，共6页 lCI=2VO-IOMI=216-loM BD=2JOB-IONP=216-ION AC4(16-0M)(16-l0vP)-4256-16(JOM+ION)+IOMFlON =4W192+1OM1oW .15分 oM"+on =56 当且仅当OM=OW=V2时等号成立，l6分 当且仅当|OM=|OW=√2时等号成立， 综上所述三角形FN的面积的最大值为14.17分 00 试卷第6页，共6页2025-2026学年第二学期适应性练习 高一数学 (满分：150分练习时间：120分钟) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.若复数z满足z1+i)=-2i,则z的虚部为 A.1 B.1 C.-1 D.-i 2.已知向量a,6,为非零向量，则“a6=ac”是“6=元”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D。既不充分也不必要条件 3.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且a,b是方程x2-5x+5=0的两 个根，C=60°，则c= A.0 B.20 C.10 D.40 4.如图所示，梯形BCD是平面图形用斜二测画法得到的 直观图，D=4,AB=B'C=2,则平面图形ABCD的面 积为 D A.4 B.6 c.35 D.12 5.一粮轮船从A处出发，沿着正东方向行驶到B处，再从B处向北偏西60°方向行歌20千 米到达C处，此时，C处在A处的东北方向，则A、C两处之间的距离是 A.20千米 B.102千米 C.10W6千米 D.20W5千米 已起向t五，的决角为且位-上（⑥+），则向量石在向童6上的投影向玉 8 D. 56 7.如国，在△ABc中，AC=3,AB=2,BD=2DC,则血<CD sin∠BAD 高一数学 第1页共4页 A.3 B.2 8.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重 心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线。该定理称为欧拉线定理.已 知△ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,以下结论正确的是 A.OH=OA-0B+OC B.OH=0A+0B-OC C.OH=0A+0B+OC D.0丽=0a-0B-0C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于复数乙，下面是真命题的是 A.若z=z,则z∈R B.z C.若z2∈R,则zeR 1 D.若z=二，则z上1 10.四边形ABCD是边长为2的正方形，M是线段BC上的动点（包括端点B、C),则 A.AM.DC=4 B.当AB+M元=AM时，M为BC中点 C.M☑.D的最小值为3 D.MA.M而的最大值为5 11.锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,△ABC的面积为S,若 (a2-b2)sinA=2S,则下列说法正确的是 A.A=2B B.B=2A C苦号子则w8-月 D. 二的取值范围为 反2w5 23 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 2已知△BC的内角么B,C的对边分别为46，C,若6=2A,这样的三角形有两解 则a的取值范围为一 13.矩形ABCD中，AB=6,BC=8,现将△ACD沿对角线AC向上 翻折，得到四面体D一ABC,则该四面体外接球的体积为 14.如图，C,D是以AB为直径的圆0上的动点，已知AB=4,则 高一数学 第2页共4页 AC,BD的最大值是 四、解答恩：本题共5小题，共计77分解容应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上一点，F是BC上一点，且D呢=2EC, BF=3F元.设A店=a,AD=b. )用基底a,分别表示向量DB,正，示； 2)若EG=4EF，用平面向量方法证明A,B,G三点共线. 16.(15分) 已知i为虚数单位，复数名=m+2i(m∈R),22=1+i,马是马的共轭复数. 1)若名2是纯虚数，求： 2)在复平面内，复数马，，对应的，底分别是A,B,C,若△ABC为直角三角形，求m的 值 17.(15分) 如图是一个正四棱台ABCD-A4B,CD,的铁料，上、下底面的边长分别为10cm和20cm,高 15cm, ()求四棱台ABCD-A4B,C,D的表面积： (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比， D 高一数学 第3页共4页 18.(17分) 在△MBC中，角AB,C的对边分别是a6C,满哭cos4-a6osB+二=l,且b=2. bcosAtacosB c (1)求角B的大小 (2D为AC边上的一点，BD=5,且，求△ABC的面积： (从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 ①BD是角B的平分线： ②D为线段AC的中点， (3)若△ABC为锐角三角形，求AC边上高的取值范围. 19.(17分) 设两个非零向量a、i,Oa=a,O丽=i,定义伪又积：axi=问同sin0,其中0是O方 向逆时针旋转到OB方向所成的角规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的ā、五、 c、eR,满足(a+)xc=axc+ixc,(a)xi=ax()=Gx), u设a=(5,,i=5),计算ax5和ixa: 2)设a=(x,y),b=(名为2)，求证：×a=名y-xy2: (B如图所示，四边形ABCD的外接圆圆心为O,半径为4，对角线AC、BD相互垂直且交 点为E,OE=2,直线AB、CD交于点F,M、N分别为AC、BD的中点，求三角形FMWN 面积的最大值 高一数学 第4页共4页