福建厦门市第六中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 厦门六中高一下期中数学试卷聚焦立体几何、向量与解三角形，通过单选至解答题的梯度设计，考查空间观念、运算能力及推理能力，融入庑殿顶等传统建筑情境，体现数学眼光观察现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三棱台结构（1）、面面平行条件（2）|基础概念辨析，如几何体识别| |多选题|3/18|线面关系（9）、三角形性质（10）|多角度推理，如锐角三角形判断| |填空题|3/15|三点共线（12）、庑殿顶体积（14）|文化情境应用，传统建筑几何模型| |解答题|5/77|向量投影（15）、四棱锥证明与角（17-19）|综合能力考查，如折叠问题（18）的空间想象与运算|

厦门六中2025—2026学年高一下学期期中质量检测 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：审核人： 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 2．已知平面,为不同平面，相交直线都在平面内，直线在平面内，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（    ）. A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知直线为不同直线，平面为不同平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知三条边的长度为连续的正整数为正整数)，且最小角的余弦值为，则（    ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 11．如图，在棱长为1的正方体中，E为上的动点（不与点重合），则下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．直线到平面的距离为 C．三棱锥的体积为定值 D．存在一点E，使得直线与平面所成角为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知，，，若、、三点共线，则______. 13.已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中， ，那么原的面积是___________________ 14．庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若，，四个侧面与底面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为______ (2分)，与平面所成的角的正弦值为______（3分）. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）（1）已知向量，满足，，求． （2）已知向量，，若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 16．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 18. (17分) 矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：      (1)求四棱锥的体积. (2)求二面角的余弦值． (3)在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求二面角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中质量检测解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A A C C C ACD BD 题号 11 答案 ABC 一、单项选择题 1．B【详解】剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.故选：B. 2．A【详解】由相交直线都在平面内，且，得，而直线在平面内， 因此，故充分性成立；反之，若，直线在平面内，则直线在平面内，或平行于平面，或与平面相交，所以直线与平面也不一定垂直，即直线不一定垂直平面的所有直线， 所以直线l不一定都与相交直线垂直，故必要性不成立.故选：A 3．A【详解】，，则， 即. 4．A【详解】由题意知，该正四棱台上表面边长为1，下表面边长为2，设侧面梯形的高为，棱台的高为. 作正四棱台的截面图如下：则，解得.所以. 所以该棱台的体积为. 5．A【详解】由余弦定理得，则． 由正弦定理得，即，所以.故选：A． 6．C【详解】由题意可得，，， 设，所以，整理得， 所以，解得，所以． 7．C【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体. 如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． ， ， 在中，余弦定理知道，, 则直线 与 所成角的余弦值为.故选：C． 8．C【详解】因，则， 由最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得，又与的夹角为锐角，则，此时，所以，设，又， 所以， 因，故.故选：C 二、多项选择题 9．ACD【详解】对于A，因为，由平面平行传递性可得，故A正确； 对于B，，则与可以平行，也可以相交，故B错误； 对于C，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正确； 对于D，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D正确；故选：ACD 10．BD【详解】三边为连续正整数：（），最小角对最小边，记最小角为， 则，由余弦定理，化简分子得， 化简得.因此三边长为2,3,4. 选项A.最大角对最大边，记最大角为，由余弦定理，为钝角， 故是钝角三角形，错误. 选项B.，则，三角形面积，正确. 选项C.由正弦定理，外接圆半径，，则，，，C错误. 选项D.由二倍角公式，正确. 11．ABC【详解】对于A：由正方体易知平面，又在平面内，所以平面平面，正确；对于B：正方体中，易知，又不在平面内，在平面内， 所以平面，设到平面的距离距离，，， 由等体积可得：，即， 所以，所以直线到平面的距离为，正确； 对于C，，由B知，平面，所以点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，故三棱锥体积为定值，故正确； 对于D，连接，由正方体易知直线与平面所成角, 所以，若存在一点，使得直线与平面所成角为， 即需满足，也即， 而在等腰直角三角形中，，的最小值为，由知不能成立， 所以不存在点，使得直线与平面所成角为，D错误；故选：ABC 三、填空题 12．【详解】,由于、、三点共线，故共线， 因此，故，则 13．【详解】还原该坐标系和直观图可得：由斜二测画法的规定可知： ，，则.故答案为：. 14． 120 【详解】取的中点，连接，过点作平面于点，过点作平面于点， 作，与相交于点，作，与相交于点，连接， 因为底面是矩形，所以，又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为梯形与梯形是两个全等的等腰梯形，为全等的三角形， 所以点在直线上，且，,，， 所以为平面与平面所成的角，故, 由于平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面，又平面， 所以，所以为平面与平面所成的角，故, 进而可得,所以. 则直三棱柱的体积, 四棱锥的体积为, 根据对称性可得四棱锥的体积也是24，故该五面体的体积为. 由于平面，故即为与平面所成的角， 故 四、解答题 15．【详解】（1）由，得，............................................1分 即，............................................2分 又，所以，............................................3分 所以.............................................4分 （2）因为在方向上的投影向量为，所以，............................................6分 所以，整理得，解得，............................................7分 即.则，............................................9分 因为与的夹角是锐角，所以且与不共线，................................10分 所以，解得且.............................................12分 故实数的取值范围为且.............................................13分 16． 【详解】（1）由得：，............................................1分 由正弦定理边化角得：，............................................2分 在中，，故，............................................4分 代入上式得：，展开化简得：，..........................6分 因为，，............................................7分 两边同除以得：​，............................................8分 又，............................................9分 因此：；............................................10分 （2）由三角形面积公式，代入， 得：，............................................11分 由，代入，，得，............................................12分 即，............................................13分 因为，故，............................................14分 故的周长为​.............................................15分 17．【详解】（1）取的中点，连接、， 则，且.............................................1分 因为，，所以且.............................................2分 所以四边形为平行四边形，所以，...........................................3分 因为平面，平面，............................................4分 所以平面...........................................5分 （2）因为底面为梯形，，，， 所以，，，............................................6分 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以，............................................8分 因为垂直于面，平面， 所以，，所以，，........................................10分 所以，所以，............................................12分 设点到平面的距离为，则，即，所以，.........................................13分 设直线与面所成的角为，则，..........................................14分 直线与面所成的角的正弦值为.............................................15分 18.【详解】（1）取的中点，连接， ............................................1分 在原矩形中，因为，点为的中点，故， 因为是等腰三角形，所以 .............................................2分 翻折后，因为平面平面，且平面平面， 根据面面垂直的性质定理得：平面， 即是四棱锥的高，.............................................3分 又因为，所以， 又因为，.............................................4分 所以四棱锥的体积..............................................5分 （2）在矩形中，，， ，．.............................................6分 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，，............................................7分 ． 在中，，，.............................................8分 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角，............................................9分 在中，，............................................10分 ∴二面角的余弦值为．............................................11分 （3）存在．............................................12分 如图所示：连接、，设交于点，............................................13分 ，且， ．............................................14分 取的三等分点，使，连接、、，则．............................................15分 又平面，平面， 平面．............................................16分 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点．............................................17分 19．【详解】（1）∵平面，平面，∴，............................................1分 又四边形是矩形，∴，............................................2分 ∵，∴平面，............................................3分 ∵平面，∴，又是的中点，， ∴，......................................4分 又 ， 且平面， 平面 所以平面．............................................5分 （2）∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，............................................6分 由（1）得平面，∴平面，............................................7分 ∵平面，∴，∴为直角三角形，............................................8分 又是的中点，， ∴，∴在中，即为异面直线与所成角，............................................9分 故， ∴异面直线与所成角的正切值为．............................................10分 （3）取中点为，连接，再过作的垂线交于点，............................................11分 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴，............................................12分 ∵，∴平面， ∵平面，∴，............................................13分 ∴二面角的平面角是，............................................14分 ∵平面，平面， ∴， ∴是直角三角形， ∴二面角的正弦值，.........................................15分 ∵， ∴， 由（1）得平面且平面， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，∴，∴，............................................16分 ∴二面角的正弦值．............................................17分 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $