精品解析：福建省宁德市部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中质量监测数学试题

福建省部分达标学校2024—2025学年第二学期期中 高一数学质量监测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘方的运算及复数对应的点求解. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 3. 一个扇形的周长数值是半径数值的3倍，则这个扇形的圆心角为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，结合扇形的周长公式计算即可. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则，得. 故选：B. 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解. 【详解】由正弦定理得，解得. 故选：A 5. 若向量，，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出关于的方程，然后对数式化为指数式即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C 6. 已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式及已知条件可得，化简可计算出的值. 【详解】根据公式可知向量在向量上的投影向量为 所以，得. 故选：A 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将条件式弦化切结合角范围求得，利用二倍角正切公式求解. 【详解】依题意得，解得或3. 因为，所以， 所以. 故选：D. 8. 如图1，汾阳文峰塔位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌社区，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位居中国砖结构古塔之首.如图2，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为（），则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再解直角三角形即可得解. 【详解】由余弦定理得， 即，解得， 因为在点处测得塔顶的仰角为， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是平面向量的一组基底，能组成平面向量的一组基底的有（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量基底的概念进行判断即可. 【详解】由，得，共线， 由，得，共线， 所以，，不能组成平面向量的一组基底． 即AD不能组成平面向量的一组基底. 因为不存在实数，使得，和， 所以与不共线，与不共线， 故B，C符合题意． 故选：BC 10. 已知复数，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 为纯虚数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的除法化简复数，再根据复数的模，共轭复数等复数的概念求解判断. 【详解】因为， 则，的共轭复数为，，不是实数，，为纯虚数. 故选：AD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求解，再根据题意求出的值，由，，求出，进而判断选项. 【详解】由图可知，由得 结合正弦曲线的图象可得， 两式相减得，得，B正确． 由，得， 因为，所以，C错误． 因为，所以，A正确． 因为，所以的图象关于直线对称，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念判断. 【详解】复数的虚部为. 故答案为：. 13. 函数的最小正周期为________，定义域为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正切函数周期公式及定义域计算求解. 【详解】函数的最小正周期. 由，，得，，则函数的定义域为. 故答案为：；. 14. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积运算律及夹角公式计算得解. 【详解】依题意，，则， 即，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，且. （1）求与的夹角； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的夹角公式求解； （2）利用向量数量积的运算律求解向量的模即可. 【小问1详解】 ， ， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求外接圆的面积； （2）若，，求； （3）若，延长至点，使得，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出外接圆的半径即可得解； （2）利用余弦定理求解； （3）根据，利用面积公式化简即可得解. 【小问1详解】 设外接圆的半径为. 由正弦定理，得， 解得，故外接圆的面积为. 【小问2详解】 由余弦定理，得. 【小问3详解】 由， 得， 代入，化简得. 17. 如图，在直角梯形中，，，，，，. （1）试用，表示； （2）求； （3）若为边上一点，且，求. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量的数量积； （3）设，根据，利用向量数量积求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 如图， 以为原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 因为，， 所以. 小问3详解】 如图，设，则， ， 因为，所以， 得或6. 故或. 18. 将余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位长度，进一步将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，横坐标不变，得到函数的图像． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若函数在上有且仅有4个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题给条件，逐步推导解析式即可得解. （2）整体代入余弦函数的单调递减区间求解即可. （3）根据有个零点等价于有个根，进而转化成两个函数图象有个交点，根据题意确定交点的分布规律，从而确定的取值范围. 【小问1详解】 由题意余弦曲线上所有点的横坐标变为原来的，得， 再将所得曲线向左平移个单位长度，得， 再将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，得 所以. 【小问2详解】 由，得， 所以的单调递减区间为． 【小问3详解】 令，得，得， 则函数在上图象与直线有且仅有4个公共点． 由，得， 令,图象如图. 所以，得，即的取值范围为. 19. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求内切圆的半径； （3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小； （2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得； （3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，代入数据得. 因为面积， 所以内切圆的半径. 【小问3详解】 如图，设，，则，且. 因为，所以. 由正弦定理得，所以， 所以，其中， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省部分达标学校2024—2025学年第二学期期中 高一数学质量监测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一个扇形的周长数值是半径数值的3倍，则这个扇形的圆心角为（ ） A B. 1 C. D. 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若向量，，，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 6. 已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，汾阳文峰塔位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌社区，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位居中国砖结构古塔之首.如图2，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为（），则塔高（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是平面向量的一组基底，能组成平面向量的一组基底的有（） A. B. C. D. 10. 已知复数，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. 为实数 D. 为纯虚数 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为________. 13. 函数的最小正周期为________，定义域为________. 14. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，且. （1）求与的夹角； （2）求. 16. 内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求外接圆的面积； （2）若，，求； （3）若，延长至点，使得，证明：. 17. 如图，在直角梯形中，，，，，，. （1）试用，表示； （2）求； （3）若为边上一点，且，求. 18. 将余弦曲线上所有点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位长度，进一步将所得曲线上所有点的纵坐标扩大为原来的6倍，横坐标不变，得到函数的图像． （1）求解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若函数在上有且仅有4个零点，求的取值范围． 19. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求内切圆的半径； （3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$