2026年 九年级数学中考二轮复习 圆综合压轴题 解答题专题训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《圆综合压轴题》解答题专题训练（附答案） 一、圆与三角形综合 1.如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点0作DF⊥AB,垂足为E,交 AC于点D,交⊙O于点F.过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G D E 1 (1)求证：FD=FG: (2)若AB=12,FG=10,求⊙0的半径. 2.如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD为⊙O的直径，连接CD,过点A作 AP‖BC交CD的延长线于点P A B C (1)求证：AP为⊙0的切线： (2)若AB=13,AP=5,求⊙0的半径. 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，⊙O与边BC相切于点D,与AB,AC分别相交 于点E,F,AD与OE相交于点G. B D (1)求证：∠C=∠ADE; (2)若CF=4,sinC=昌，求⊙0的半径和DG的长. 4.如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙O的弦（不是直径），过点B的直线交AC的延长线 于点E,点D为线段AC的中点，连接DO,并延长DO交⊙O于点H,交EB的延长线于点 F,AO·BO=F0·DO.连接CH,交AB于点G. (1)求∠AD0的度数： (2)求证：BE是⊙O的切线： (3)若BE=8,3HG=2CG,求△OBF的面积. 5.如图，⊙0是△ABC的外接圆，A是优弧BC上一点，设∠OCB=%,∠A=B. 图1 图2 (1)当B=42°时，《= (2)猜想《与B之间的关系，并给予证明； B)若点A平分优弧BC,且0C2-青BC2,猜想△ABC的形状，并说明理由. 6.已知⊙0的半径为5，B、C是⊙0上两定点，点A是⊙0上一动点，且 ∠BAC=60°. 0 F D (1)①尺规作图：做∠BAC的平分线交⊙O于点D. ②证明：点D为BC上一定点； (2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F, ①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由： ②若△ABC为锐角三角形，直接写出DF的取值范围. 7.如图，CD为⊙O的直径，在线段OC上取一点P,过点P作AB⊥OC(点A在直径CD上 方)，连接ACDB并延长交于点F,过点A作AE⊥BD于点E,交直径CD于点G G 备用图 (1)求证：CP=PG: (2)设∠BAE=《,∠F=B,求B关于α的函数关系式： 3)当OG=吉0P时，求tana:tanB的值. 8.如图1，等腰△ABC内接于⊙O,AC=BC,CD经过圆心，CD⊥AB于点D,F为 弧AB上的一个动点，连接CF交AB于点G,P为射线AB上的一个动点，连接PF,AF B 图1 图2 (1)求证：△ACG△FCA: (2)如图1，若PG=PF,求证：PF为⊙O的切线； (3)在(2)的条件下，如图2，连接PC,若∠FAP=∠PCB,AB=CD=4,设BG为x, BP为y,求袁一吉的值， 9.己知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D,BH⊥AC,垂足为G,交 ⊙O于点E,连接DE,CE, B (1)求证：∠EBC=∠DEC; (2)点F为线段BE上一点，连接DF.若BF=DF,求证：FD是⊙O的切线： 3)若∠ABC=45°，⊙0的直径AC=5,BD=4,求CE的长. 10.如图，△ABC内接于⊙0，连接0A,OA平分∠BAC B 图1 图2 图3 (1)求证：AB=AC: (2)如图2，连接BO并延长交⊙0于点D,连接AD交BC于点E,G为⊙0上一点，连接 GD并延长交AC延长线于点F,连接AG,∠FAG=2∠ABC,求证：AG=AF; 3)如图3，在(2)的条件下，DF=号，AC=6,求CE的长. 二、圆与四边形综合 11.己知，如图，四边形ABCD内接于⊙O,直线MA与⊙O相切，切点为A,连接AC. -M D (1)求证：∠MAD=∠ACD: (2若AC=AD,点B是劣弧AC的中点，tan∠DAM=青，求tan∠ACB 12.如图，在菱形ABCD中，AE是边BC上的高，以AE为直径的⊙O分别交AB,AC于 点F,G,连接FG E (1)求证：AD是⊙0的切线； (2)求证：AG=FG: (3)若AB=5,AC=6,求sin∠AGF, 13.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D, AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相 交于另一点G (1)求证：BC是⊙F的切线； (2)若点A、D的坐标分别为A(0,-1),D(2,0),求⊙F的半径； 3)在(2)的条件下，求CE的长。 4)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论. 14.如图①，⊙0是△ABC的外接圆，∠ACB=90°，以AC为边作菱形ADEC,点B, E在直线AC的同侧，CE与⊙O交于点M,连结BD交CE于N,交⊙O于T. 图① 图② (1)如图②，若点E在⊙0上，AD与⊙0交于点F,连结CF,求证∠ECF=∠B. (2)在(1)的条件下，若CF=12,AC=10,求⊙0的半径 3)如图O,连结AM,若∠BAM=∠CNB,tan∠ACE=等，求的值 15,已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为对角线，DE⊥BC于点E,ABDE D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AC是⊙0的直径； (2)如图2，连接OB,BD,∠A0B的平分线交BD于点F,连接AF,若AF⊥BD,求证： AD=CD: 3)如图3，在(2)的条件下，连接EF,若AB=2CE,AD=5V2,求四边形FEC0面积. 16.小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD, 一条线段OP(OP<AB),再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E.交 AD于点G.过点E,G分别作AB,AD的垂线交于点F,易得四边形AEFG也是正方形， 连接CF, D G 图1 图2 图3 (1)【探究发现】如图1， BE与DG的大小和位置关系： (2)【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述(1)的关系 还存在吗？请说明理由。 (3)【思维拓展】如图3，若AB=20P=4,则 ①在旋转过程中，点B,A,G三点共线时，CF的值为 ②在旋转过程中，CF的最大值是 17.圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形， D D D 图1 图2 图3 (1)如图1，四边形ABCD为等邻边圆内接四边形，AD=CD,∠ADC=60·,则 ∠ABD= (2如图2，四边形ABCD内接于⊙0，AB为⊙0的直径，AB=10,AC=6,若四边形 ABCD为等邻边圆内接四边形，求CD的长； 3)如图3，四边形ABCD为等邻边圆内接四边形，BC=CD,AB为⊙O的直径，且 AB=48.设BC=x,四边形ABCD的周长为y,试确定y与x的函数关系式，并求出y的 最大值. 18.己知，四边形ABCD内接于⊙O,=,点T在BC的延长线上. (1)如图，求证：CD平分∠ACT (2)如图，若AC是⊙O的直径，BE平分∠ABC交CD延长线于E,交⊙O于F,连接 AE,AF,DF ①求∠AED的度数 ②若器=哥，△DEF的面积等于罗，求AC的长. 19.在期中复习课里，小晨对九年级数学教材第52页习题的第3题进行了再研究. 图1 图2 图3 【原题再现】 (1)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，经过点A、B、D三点作⊙0，点 C在⊙0上吗？试说明理由 D y B小晨解答如下： 如图1，过A、B、D三点作⊙0，连接A0,BO,CO,D0. :⊙0中，∠BAD=90°，··· 请你帮他完成后面的解答： 【深入探究】 (2)小晨在完成此题解答后，他在图1上连接AC,得到图2，当AB=AD时，他发现CA 平分∠BCD,他的发现正确吗？试说明理由； (3)在(2)的条件下，小晨通过测量发现CD,CB,CA这三条线段之间存在着一定的数量 关系，经过探究，他得到了结论：CD+CB=V2CA,请证明这个结论. 【应用实践】 (4)根据小晨同学的研究，张老师提出一个问题：如图3，⊙O内接四边形ABCD中， BD为⊙O的直径，AB=AD,作点C关于AD的对称点P,连接PAPB,PD,若PD=6 ，PA=5√2，请直接写出PB的长为， 20.[感知]如图①，⊙0为等边△ABC的外接圆.AD为⊙O的直径，线段AD与BC交于 点E,探究线段AE、BD、DE的数量关系 小明同学的做法是：过点C作BD的垂线交BD延长线于点F,连接CD,易证ADL⊥BC.进 而得出△BCF兰△ACE,△CDE兰△CDF.则线段AE、BD、DE的数量关系是： BD十DE=- [探究]如图②，等腰三角形ABC中.AC=BC,⊙O为△ABC的外接圆，D为弧BC上一 点，CE⊥AD于E,探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由. [应用]如图③，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，AC=BC.点D在⊙O上，且点D 与点C位于线段AB两侧，过点C作线段AD的垂线，交线段AD于点E,若点E为AD的三 等分点，则是的值为 F C D E o O● B B D A 图① 图② 图③ 参考答案 1.(1)解：：DF⊥AB,GF是⊙O的切线，即DF⊥GF, AB‖GF, .∠BAC=∠G=45°， ∠FDG=90-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形， .FD=FG (2)解：：DF⊥AB, .AE=BE=AB=6, :∠BAC=45o, ∴∠ADE=90°-45°=45°，即△ADE是等腰直角三角形， :EA=ED=6, 由(1)得FD=FG=10, .EF=DF-DE=10-6=4, 如图所示，连接0A,设0E=x,则OF=OE十EF=x十4=OA, D .在Rt△A0E中，0A2=AE2+0E2, :(x+4)2=62+x2, 解得，x=, 0A=x+4=号+4=， :⊙0的半径号. 2.（1)证明：如图，连接0A,0C, D :BD为⊙O的直径， .∠BCD=90°， 即∠ACB+∠ACD=90°， OB=OC,AB=AC,OA=0A, .△OAB≌△OAC, ∴∠0AC=∠0AB, AP BC, ∠PAC=∠ACB, 0A=OB, ∠OAB=∠OBA, 即∠OAB=∠ABD, :∠ABD=∠ACD, ∴∠OAC=∠ACD, .∠PAC+∠OAC=∠ACB+∠ACD=90°， 即∠0AP=90°， .OA⊥AP, :0A是⊙0的半径， AP为⊙O的切线： (2)解：延长AO,交BC于点H, D B H APIIBC,OA⊥AP, AH⊥BC, ∴∠AHC=∠HCP=∠HAP=90°， :四边形AHCP是矩形， .CH=AP=5, AB=AC,AH⊥BC, :BH=CH=5, 又AB=13, :AH=VAB2-BH2=V132-52=12, 设⊙0的半径为x,则0H=12-x, 在Rt△0HB中，OH2+BH2=0B2, (12-x)2+52=x2, 解得x=努， :⊙0的半径为婴. 3.(1)证明：如图1：连接0D, H D 图1 :⊙0与边BC相切于点D, OD⊥BC, ∠ODB=90°，即∠BDE十∠ODA十∠ADE=90°，∠BDE十∠ED0=90°， 如图：延长DO交⊙O于H,连接EH,则∠HED=90°， ∠ED0+∠H=90°， “ED=ED ∠BAD=∠H, ∠BDE=∠H, ∠BDE=∠BAD, 0A=OD, .∠ODA=∠OAD, ∠BAD+∠OAD+∠ADE=90°，即∠BAC+∠ADE=90°， 在Rt△ABC中，∠C+∠BAC=90°， ∠C=∠ADE. (2)解：如图：延长OE交CB的延长线于点P,过点O作OH‖BC交AD于点H, H D 图2 OD⊥BC, 在Rt△ODC中，sinC-器-是， 设0D=3k,0C=5k,由勾股定理得：CD=Vc2-0D2=V(5k)2-(3k)2=4k, 0A=0D=0F=3k,CF=2k, CF=4, “2k=4,解得：k=2, .0A=0D=0F=3k=6, .⊙O的半径为6 :0C=5k=10,CD=4k=8, .AC=0A+0C=6+10=16, :OD1BC,∠ABC=90°， ∴∠0DC=∠ABC=90°， :OD LAB, .△ODCM△ABC, 器=器=， :品=是=8， AB=号，CB=号， :BD=CB-CD=皓-8=号， 在Rt△A8D中，由勾股定得：AD=VBD2+AB2=(号)+(9了=245， 在Rt△PBE中，∠P+∠PEB=90°， ∴∠PEB=∠AEO, ∴∠P+∠AE0=90°， :0E=0A, .∠AE0=∠BAC, ∠P+∠BAC=90°， 又：∠C+∠BAC=90°， ∠P=∠C, ∴△OPC是等腰三角形， OD⊥BC, :PD=CD=8, OH‖BC, .△AOH△ACD, 器=器=， 由器=器，得AHAC=AD-0A, AH×16=245×6,解得：AH=5 5 由器=器，得：OHAC=CD0A, 0H×16=8×6,解得：0H=3, :DH=AD-AH=25-2誓=35 :OH‖BC, .△OHG△PDG, 器=器-言， 设HG=3x,DG=8x, DH=HG+DG=11x=35,解得：x=誓， DG-8x- 4.(1)解：：OD是⊙O的半径，点D是弦AC的中点. :OD⊥AC, :∠AD0=90°. (2)证明：：A0·B0=F0·D0, 翳=器。 :∠AOD=∠FOB, ·△AOD△FOB. :∠AD0=∠FB0=90°. :AB⊥EF :0B是⊙0的半径， :BE是⊙O的切线. (3)如图，连接BC E:AB是⊙0的直径， :∠ACB=∠AD0=90°. :DHIBC :△OHG△BCG, “器= :3HG=2CG,即器=号， …器=， 设0H=2x,则BC=3x, ·AB=20H=4x.（x为非零常数) :在Rt△ABC中，AC=VAB2-BC2=V4x2-3x)2=V7x. :BE=8,由(2)可得，∠ABE=90°. tanBAE=脂=， 小是=器， 解得，x=29,x=0(不符合圈意，舍去. A0B=0H=2x=9,BC=3x=25,AC=万x=号 在Rt△BCE中，CE=BE2-BC=82-(2万=6. :点D为线段AC的中点， ·CD=AD=AC=号，DE=CE+CD= :∠EDF=90°， “c0sB=器=噩=号=，则票=星， 解得EF=9 BF=EF-BE=, Sa0那=BF.0B=专×号×=部 27 5.(1)解：连接B0, 图1 :∠A=B=42°， ∠B0C=2∠A=84°， 0B=0C, ∠BC0=∠OBC=, :∠B0C+∠0CB+∠0BC=180°， a=1824=48°， 故答案为：48°： (2)解：+B=90 理由：连接BO, :∠A=B, ∠B0C=2∠A=23, ○ 图1 0B=0C, ∴∠BC0=∠OBC=a, :∠B0C+∠0CB+∠0BC=180°， .C++2B=180°， .x+B=90°： (3)解：△ABC是等边三角形，理由如下， 过点O作OD⊥BC于点D,连接BO, 图2 :BC=2CD, :0C2=青BC2, :0C2=青×(2CD)2, 咒=9， cos∠0C8=5 .∠0CB=30°， ∴=30°， &+B=90°， B=60°， 点A平分优弧BC, .AB=AC, :∠A=600, ∴.△ABC是等边三角形. 6.(1)解：①以点A为圆心，合适的长度为半径画弧，分别交AC,AB于两点，再分别以 这两点为圆心，合适的长度为半径画弧，交于一点H,连接AH交⊙O于点D. ) ②证明：连接OB,OD,如图： 1O :∠BAC=60°，∠BAC的平分线交⊙0于点D, :∠BAD=克∠BAC=30°， .∠B0D=2∠BAD=60°， BDf的度数是60°， B为定点， “D为BC上一定点； (2)解：①DF与○O相切，理由如下： 连接0B,OC,OD,如图： O B C :∠BAC的平分线交⊙O于点D, .∠BAD=∠CAD, 又：∠B0D=2∠BAD,∠C0D=2∠CAD, .∠BOD=∠COD, =, OD⊥BC, DF BC, OD⊥DF, :0D为⊙0的半径， .DF与⊙O相切； ②当∠ABC为直角时，连接0D交BC于M,如图： M F D :∠BA1C=60°， :∠ABC=90°， ∠C=30°，A1C为⊙0的直径， :⊙0的半径为5， .A1C=10,A1B=A1C=5, BC=53,由①知，= BN=专BC=9,∠BMD=90, :∠FBC=180°-∠A1BC=90°，∠FDM=90°， 四边形BFDM是矩形， DF=8M-9, 当∠A2CB为直角时，连接OD,BD,如图： O B D :∠A2CB=90°，∠BA2C=60°， A2B是⊙0的直径，∠A2BC=30°， DF BC, ∠F=∠ABC=30°， :DF与⊙0相切， ∠FD0=90°， .0F=20D=10, :DF=VOF2-0D2=V102-52=5V5: 由图可知，当A由A1运动到A2(不包括A1,A2)时，△ABC是锐角三角形， DF的取值花围是9<DP<5V5 7.(1)证明：：AB⊥0C, ∠APG=90°， ∠PAG+∠AGP=90°， AE⊥BD, ∠BEA=90°， .∠BAE+∠ABE=90o, .∠AGP=∠ABE, ·∠ABE=∠ACG, .∠AGP=∠ACG, .AC=AG, :CP=GP; (2)解：由(1)知AC=AG,CP=GP, :AP⊥CG, ∠BAE=号∠EAF, :∠BAE=, ∴∠EAF=2∠BAE=2a, B=90°-2a, .B关于α的函数关系式为B=90°-2a: (3)解：连接OB,如图， D E B ∠CDB=∠CAB=∠OBD=&, .∠C0B=2∠D=2, .∠0BP=90°-∠C0B=90°-2=B, tana=tanD=器，tanB=tanL0BP=器， .tana.tanp=器， ①当点G在线段0C上，OP=30G时， A D E B .PG=2G0, :CP=PG=2G0 .0D=0C=P0+CP=50G, :.DP=OD+OP=80G, tana tanB=器==言： ②当点G在线段0D上，0P=30G时， G P F PG=4G0 .CP=PG=4G0, ∴0D=0C=P0+CP=70G, .DP=0D+0P=100G, tana tanB=-器=脱品=最： 综上可知：tana·tan的值为或品， 8.(1)证明：：AC=BC, “=, ·∠CAG=∠CFA, :∠ACG=∠FCA, ·△CAG△CFA; (2)证明：如图1，连接OF, B 图1 :0C=0F, .∠OCF=∠OFC: :CD⊥AB, ÷∠CDG=90°， :∠OCF+∠CGD=90° :∠OFC+∠CGD=90°， :∠CGD=∠PGF, ÷∠OFC+∠PGF=90°， PG=PF, ·∠PGF=∠PFG, :∠PFG+∠0FC=90°， OF⊥PF, 又OF为半径， :PF为⊙O的切线： (3)如图2，过点B作BM⊥PC于M,BN⊥FC于N, DI G 图2 :∠PCB=∠FAP=∠FCB, ·BC平分∠PCF, :BM=BN, SAEBE CGBN SAceP CPBM SAcec BGAD SeceP BPAD -， “器=那， :CD⊥AB, ÷BD=AD=AB=2, 设BG=x,BP=y, DG=BD-BG=2-x,DP=BD+BP=2+y, 根据勾股定理得，Cc2=CD2+DG2=42+(2-x2=x2-4x+20, cP2=cD2+Dp2=42+2+y2=y2+4y+20. “器 ΓBp2 …=胖器， :44420 =x2-4x+20y+4420 2 2 420 =-48+20 :.xy=5(y-x), 守= “京-方=青 9.(1)证明：如图，连接AD, :AC为直径， ÷∠ADC=90°， ·∠DAC+∠ACD=90·, :BH⊥AC :∠GBC+∠ACD=90°， :∠GBC=∠DAC=∠DEC, 即∠EBC=∠DEC: (2)证明：如图，连接D0, D :0D=0C, ·∠ODC=∠OCD, FD FB, ·∠FBD=∠FDB, :∠FDB+∠ODC=∠FBD+∠OCD=90°， ÷∠FD0=180°-（∠FDB+∠0DC)=90°， ÷∠0DF=90°， OD⊥DF, 又：OD是半径， ·DF是⊙O的切线： (3)解：如图，连接E0, :∠ABC=45°，∠ADC=90°， .∠BAD=90°-45°=45°， :AD=BD=4, 根据勾股定理可得CD=VAC2-AD2=3, :.BC=BD+DC=7, 根据三角形面积公式可得S△4Bc=专AD·BC=专AC·BG, ·BG=408S=2 AC , 根据勾股定理可得CG=VBC2-BG=告， 0G=CG-c0=0, ÷EG2=0E2-0G2=器， EC=VEG2+CG2=V21 10.(1)证明：如图所示，延长半径A0与⊙O交于点H,则AH为⊙0的直径，连接BH ，CH H ∠ABH=∠ACH=90°， :OA平分∠BAC .∠BA0=∠CA0, 在△ABH与△ACH中 ∠ABH=∠ACH ∠BA0=∠CAO AH-AH △ABH≌△ACH(AAS), .AB=AC. (2)证明：设∠ABC=C,则∠FAG=2∠ABC=2a, :由(1)得AB=AC, ∠ABC=∠ACB=&, :在⊙0中∠ACB、∠ADB都是AB所对的圆周角， .∠ADB=∠ACB=, 0A=OD, ∠0AD=∠0DA=, .在△A0D中∠A0D=180°-∠0AD-∠0DA=180°-2， .∠AGD=克∠A0D=(180°-2a=90°-， .在△AGF中∠F=180·-∠AGF-∠FAG=180°-(90°-)-2=90°-x, ∠AGF=∠F=90·-, .AG=AF. (3)解：如图所示，连接CD,AO与BC交于I点，设⊙O的半径AO=B0=DO=r, 图3 :四边形AGDC是⊙O的内接四边形， ∴∠AGD+∠ACD=180°， 又：∠DCF+∠ACD=180°， ∴∠AGF=∠DCF=∠F, :DC=DF=号， :AB=AC=6,OA平分∠BAC, OA⊥BC, BD为⊙O的直径， .∠BAD=∠BCD=90°， 即CD⊥BC :I0 CD, 又：O为BD中点， IO为△BCD的中位线， :10=DC=×号-， AI=0A-10=r-f, :在Rt△ABI中sin∠ABI=品=学， 在Rt△ABD中sin∠ADB=器=号=月 又：∠ADB=∠ACB=∠ABC=∠ADC, .sin∠ABI=sin∠ADB, 即号=是化简为5r2-7r-90=0 解得r=5或-号（舍去） BD=10, :在Rt△ABD中AD=VBD2-AB2=V102-6=8, :tanADC-=tan∠ADB=器=号=， 在Rt△CDE中tan∠ADC=需= 即等=寻 :CB=寻×号=器 11,(1)证明：连接A0并延长交⊙0于E,连接DE -M D :MA与⊙O相切，切点为A, :∠MAD+∠DAE=90°， :AE是直径， :∠ADE=90°， ·∠DAE+∠E=90°， :∠MAD=∠E, :∠ACD=∠E, ·∠MAD=∠ACD (2)解：过A作AH⊥CB交CB延长线于H. -M H E AC=AD, ·∠ACD=∠ADC :四边形ABCD是圆内接四边形， :∠ABH=∠ADC, 由①知∠MAD=∠ACD, .∠ABH=∠DAM, :tan∠ABH=tan∠DAM=寺， 设BH=3x,AH=4X, Rt△ABH中，AB=V3x)2+(4x)=5x :点B是劣弧AC的中点， .= BC=AB=5x, ·CH=3x+5x=8x, :Rt△ACH中，tan∠ACH=号=器=吉. 12.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .:ADIB C. :AE⊥BC, AD⊥AE 又：AE为⊙0的直径， ·AD是⊙O的切线： (2)证明：如图1，连接GE, 图 :AE⊥BC,AE是⊙O的直径， ∴∠AEC=90°，∠AGE=∠CGE=90°， ∴∠AEG+∠CEG=∠ACB+∠CEG=90°，即∠AEG=∠ACB. 又=， ∠AFG=∠AEG=∠ACB. :四边形ABCD是菱形， AB=BC,则∠BAC=∠ACB, .∠BAC=∠AFG,AG=FG: (3)解：如图2，连接BD交AC于点H, 图2 :四边形ABCD是菱形，AC=6, ·AC⊥BD,BH=DH,AH=CH=AC=3, 在Rt△ABH中， AB2=BH2+AH2, 52=BH2+32,解得BH=4, :BD=2BH=8 :S菱形ABCD=专AC·BD=BC·AE, :吉×6×8=5AE,解得AE=号. 在Rt△ABB中，Sn∠ABE=器-等=第 由(2)知，AG=FG, ∠GAF=∠GFA=∠ACB, :∠ABC+∠BAC+∠ACB=∠GAF+∠GFA+∠AGF=180°， .∠ABC=∠AGF, :sin∠AGP=sin∠ABE=器 13.解：（1)证明如下： 连接EF， :△ABC是直角三角形，AB为斜边， ∠ACB=90°， :AE平分∠BAC交边BC于点E, ∠FAE=∠EAC, EF=FA ∴∠FAE=∠FEA: .∠EAC=∠FEA, :FEl AC, ∠BEF=∠BCA=90°， 即BC是⊙F的切线， A B趴 G (2)解：连接FD, :点A、D的坐标分别为A(0,-1),D(2,0), 0A=1,0D=2, 设⊙F的半径为r, .0F=r-1,FD=r, .0F2+0D2=FD2, .(r-1)2+22=r2, 解得：r=2.5, .⊙F的半径为2.5. A B G D H (3)解：过点F作FH⊥AD交AD于点H, ∠FHD=90°， :∠BCA=∠FEC=90°， :四边形FECH是矩形， :FH=CE, 0A=1,0D=2, :AD=V0A2+0D2=5, FA=FD,FH⊥AD, AH=DH=AD=与 ∴FA2=FH2+AH2, ()2=2+(5)月 解得：FH=5, :CB=5, (4)2CD+AD=AG,证明如下： 由(3)得，四边形FECH是矩形，AH=DH=专AD, :CH=EF, :AG为⊙F的直径， :.EF=AG, :.CH=AG, AD+CD=AC=AH+CH=AD+AG, :.2CD+AD=AG. y B G 14.(1)证明：：菱形ADEC, :ADI‖EC,AC=EC, ÷∠ECF=∠AFC. :∠B=∠AFC, ·∠ECF=∠B (2)解：如图①，连结EF,OC,连结E0并延长交CF于H, D B H 图① '∠ACB=90°， :AB为⊙0的直径. :AC=EC,∠ECF=∠B, A配=E元=E ÷EF=EC=AC=10,EH⊥CF, :CH=专CF=6, ÷EH=8 设⊙0的半径为r,则(8-r)2+62=r2, 解得：r=空 (3)解：如图②，连结AT,MT,过B作BK⊥CN于K,设AC=5, G D 图② :∠BAM=∠BCN,∠BAM=∠CNB .∠BCN=∠CNB, :BC=BN. 同理可得：MN=MT, :△BCN△MNT. '∠ACB=90°， .∠ACE=∠CBK :tanACE=号， BC:CK=5:4, BC:CN=5:8. 同理MN:NT=5:8. :AB为直径， :∠ATD=90°， 而∠ADT=∠CNB=∠BCN AT:TD:AD=3:4:5, :AT=3,TD=4: 设BC=BN=5x,则CN=8x,设MN=MT=5y,则WT=8y AB2=BC2+AC2=AT2+BT2, (5x)2+52=(5x+8y)2+32,① 延长CB交DE的延长线于点G,则BD2=BG2+DG2, 在△GCE中，CE=5,CG=4,GE=3,则GD=8, 即(5x+8y+4)2=(4-5x)2+82,② 由①得：y(5x+4y)=1,③ 由②得：(y+1)(5x+4y)=4,④ ④÷③得：y=青，代入③得：x=青， …怒=哥， 15.(1)证明：：DE⊥BC, ÷∠CED=90°， ABIIDE, :∠B=∠CED=90°， ·AC是⊙0的直径： (2)证明：：OF平分∠A0B, ·∠A0F=∠BOF=∠AOB, 又：0A=0B,OF=0F, ·△AOF≌△BOF(SAS), ·AF=BF, .∠FAB=∠FBA, :AF⊥BD, ÷∠AFB=90°， ·∠FAB+∠FBA=90o, ·∠FAB=∠FBA=450, ·∠CBD=∠ABC-∠FBA=45°， ·∠ACD=∠ABD=45°，∠CAD=∠CBD=45°， :∠ACD=∠CAD, ·AD=CD; (3)如图3，过点D作DGLBA,交BA的延长线于点G,延长AF交BC于点H,过点E作 EK⊥AC于点K: 令CE=m,则AB=2m, :∠ABD=∠CBD=45°，DG⊥BA,DE⊥BC, DE=DG, 又：AD=CD, Rt△ADG≌Rt△CDE(HL), :AG=CE=m, ·BG=AB+AG=3m, :DG⊥BA, .∠G=90°， ·∠BDG=90o-∠DBG=45o=∠DBG, ·DG=BG=3m1, 在Rt△ADG中， AG2+GD2=AD2, m2+(3m)2-(52)2, 解得m=±V5, :m>0, m=V5, :∠GBE=∠BED=∠G=90°， ·四边形BEDG是矩形， ÷BE=DG=3m, ÷BC=BE+CE=4m, :∠BHA=90°-∠BAH=45°=∠BAH, ÷BH=AB=2m, :AF=FH.CH=BC-BH=12m=25, 又：0A=0C, OF=CH=5, :∠ACB=克∠AOB=∠AOF, ÷OFICE, 又：CE=V5=0F, :四边形FECO是平行四边形， :AC是⊙O的直径， :∠ADC=90°， Ac=AD2+cD=V(52)+(52)-10, :0C=AC=5, 在Rt△ABC中，tan∠ACB=器=器=， 在Rt△CEK中，tan∠ECK==寺， 令EK=n,则CK=2n, EK2+CK2=CE2 n2+(2m)2=(V5)2 n=士1， :n>0, ÷n=1, EK=1, SFECO0=C0×EK=5×1=5. 16,(1)解：延长GF交BC于H,连接AC, C D G H 在正方形ABCD和正方形AEFG中： ∠BAG=∠AGF=∠GFE=∠FEA=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90·,AF平分 ∠GAE,CA平分∠DAB, ∴∠DGH=∠HFE=∠FEB=90°，∠DAF=∠DAC=45°， A、F、C三点共线， ∠HCF=45°. :∠HBE=∠BEF=∠EFH=90°，∠HCD=∠CDG=∠DGH=90o, .四边形BEFH是矩形，四边形HCDG是矩形， :BE=HF,CHF=90,DG=CH, :∠CHF=90°，∠HCF=45°， ∠CFH=45°， ∴CH=HF, :BE=HF,, DG=CH, :BE=DG, :∠BAD=90°， BE⊥DG, 故答案为：BE=DG,BE⊥DG. (2)解：(1)中的关系存在.理由如下： 延长BE交DG于点M,交AD于点N, :∠BAD=∠EAG=90°， .∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD, ∴∠BAE=∠DAG 在△BAE和△DAG中， AB=AD, ∠BAE=∠DAG, AE=AG, .△BAE≌△DAG(SAS). .BE=DG,∠ABE=∠ADG. 在△ABN和△MDN中， :∠ABN=∠MDN,∠ANB=∠DNM, ∴∠DMN=∠BAN=90°， BE⊥DG ∴BE=DG且BE⊥DG. (3)解：①延长GF、DC交于点Q, :∠QGF=∠GBC=∠BCQ=90°， :四边形BCQD是矩形， ∠CQG=90°，QG=BC=4 ∠DAG=∠AGQ=∠GQD=90°， .四边形AGQD是矩形， .DQ=AG=2, :QF=QG-FG=4-2=2,QC=QD+CD=2+4=6, .CF=CQ2+QF2=62+22=2V10, 故答案为：2W10 ②在正方形ABCD和正方形AEFG中： AC=V42+4=42,AP=V22+22=22, :F的运动轨迹是以A为圆心，2W2为半径的圆， .当C、A、F三点共线，且CF=CA+AF时，CF取得最大值. 此时CF=CA+AF=42+2V2=62, 故答案为：62， 17.(1)解：：AD=CD, =, :∠ABD=∠CBD=3∠CBA 又：∠ADC=60°， .∠ABC=180°-60°=120°， .∠ABD=支∠ABC=60°； (2)解：“AB为⊙0的直径，AB=10,AC=6, :∠ACB=∠ADB=90°，BC=VAB2-AC2=V100-36=8 ①当AC=AD时，连接CD,如图： C B D :AC=AD,AB为Q0的直径， ·.Rt△ACB≌Rt△ADB(HL), .BC=BD,AB垂直平分CD “S四边形ADBC=专CD X AB=AC×BC :CD=路=9， ②当AD=BD时，连接CD,过点A作AH⊥CD,交CD于点H,如图： H B D 此时△ADB为等腰直角三角形，AD=BD=5V2、 在Rt△AHC中，：∠ACH=∠ABD=45°，AC=6, isin∠AcH=器-兽-号 :CH=AH=32 在Rt△AHD中，“AH=3V2,AD=5V2, .DH=4V2, .CD=CH+DH=72 综上可知，CD=号或CD=7V2: (3)如图，连接OC,BD· D BC=CD,OB=OD, :OC垂直平分BD :O为AB中点， ∴OF为△BDA的中位线，有OF=专AD,OF/AD 设0F=t 则CF=24-t,AD=2t,y=48+x+x+2t=2t+2x+48, 在Rt△BFC中，BF2=BC2-CF2=x2-(24-t)2 在Rt△BF0中，BF2=B02-0F2=242-t2 于是有：x2-(24-t)2=242-t2 整理得，t=-x2+24, y=-务x2+2x+96=-方(x-24)+120 当x=24时，ymax=120 18.(1)解：：四边形ABCD内接于⊙0， ·∠BAD+∠BCD=180°， 又：∠DCT+∠BCD=180°， ·∠BAD=∠DCT, := ·∠BAD=∠ACD ·∠ACD=∠DCT, :CD平分∠ACT; (2)①如图，连接CF, A B “∠ECT是△BCE的一个外角， ·∠BEC=∠ECT-∠EBC, 同理可得：∠BAC=∠ACT-∠ABC, 由(1)可知：CD平分∠ACT,BE平分∠ABC, :∠BEC=∠ECT-∠EBC=(∠ACT-∠ABC)=专∠BAC, 即，∠BAC=2∠BEC, :∠BAC=∠BFC ÷∠BFC=2∠BEC :∠BFC=∠BEC+∠FCE, ·∠BEC=∠FCE, :∠FAD=∠FED, :AC是⊙0的直径， ÷∠ADC=90°， ÷∠ADE=180°-90°=90°， :∠ADF=∠ABF=45°， ÷∠FDE=∠ADE-∠ADF=45°， ·∠ADF=∠EDF, ·△ADF≌△EDF(AAS), :DA=DE, ·△ADE是等腰直角三角形， ∠AED=45°； ②如图，过点A作AG⊥BE于点G,过点F作FM⊥CE于点M, E B :AC是⊙0的直径， .∠ABC=90°， :BE平分∠ABC, :∠FAC=LEBC=∠ABC=45°， :∠AED=45°， ·∠AED=∠FAC, :∠FED=∠FAD, ·∠AED-∠FED=∠FAC-∠FAD, ·∠AEG=∠CAD, :∠EGA=∠ADC=90°， ·△EGAM△ADC, 器=部， :在Rt△ABG中，∠ABG=45°， ÷AG=号AB, 在Rt△ADE中，AE=N2AD, “架=器， :器=， “%=器=2×哥=， 在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2, :设AD=4x,AC=5x(x>0),则有(4x+CD2=(5x2, CD=3x, :∠BEC=∠FCE, :FC=FE, :FM⊥CE, :.EM=CE=(CD+DE)=3.5x .DM=4x-3.5x=0.5x=FM, :△DE的面积等于号， :DE.FM=专×4x0.5x=, :x>0 ax=胃， :AC=5x=9. 19.(1)解：如图1，过AB、D三点作⊙0，连接A0,BO,C0,D0. O B 图1 :⊙0中，∠BAD=90°， ·BD是直径， :.0A=OB=OD, ∠BCD=90°， .:.OC=BD=0B, 点C在⊙0上 (2)正确. :△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD ·∠ABD=∠ADB=45° :⊙O中，∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠ACB ·∠ACD=∠ACB .CA平分∠BCD. (3)如图2，延长CB至C,使BC=CD,连接AC. 0 ⊙ 图2 :四边形ABCD是⊙O内接四边形 ÷∠ADC+∠ABC=180° :∠ABC+∠ABC=180° ·∠ADC=∠ABC 又：CD=CB,AD=AB ·△ADC≌△ABC(SAS) ·CA=CA,∠DAC=∠BAC ·∠CAC=∠CAB+∠BAC=∠CAB+∠DAC=90· :CC2=CA2+CA2=2CA2 .CC=V2CA CC=CB+CB,CB=CD ·CD+CB=V2CA (4)延长BA至点Q,使AQ=AB,连接DQ,CQ, 图3 :点C关于AD的对称点P, ∴AP=AC=52,CD=PD=6,∠PAD=∠CAD, △PAB≌△CAQ(SAS), PB=CQ 由(3)的结论可知，CD+BC=2AC, 6+BC=V2×5V2, BC=4. :∠DAB=∠DAQ=90°，AD=AD, .△ADQ≌△ADB(SAS), .∠DQB=∠DBQ=45°，DQ=DB, ∠BDQ=90°. 过点Q作QE⊥CD交CD的延长线于点E, :∠EQD+∠EDQ=90°，∠BDC+∠EDQ=90°， ∠EQD=∠BDC :∠QED=∠BCD=90°， .△QED≌△DCB(AAS), :.QE CD=6, .CE=6+4=10, PB=CQ=QE2+CE2=234 故答案为：234 20.解：[感知]过点C作BD的垂线交BD延长线于点F,连接CD, B :⊙O为等边△ABC的外接圆， AD⊥BC,AC=BC ∴∠AEC=∠CED=∠F=90°， :∠CAD=∠CBF, .△BCF≌△ACE, ·AE=BF,CE=CF, CD=CD, .△CDE≌△CDF, :DE=DF, BD十DE=BD十DF=BF=AE; 故答案为：AE [探究]上述结论成立，证明如下： 如图，过点C作BD的垂线交BD延长线于点G,连接CD, G E CE⊥AD, ∴∠AEC=∠CED=∠G=90°， AC=BC,∠CAD=∠CBD, .△BCG≌△ACE, :AE=BG,CE=CG, CD=CD, .△CDE≌△CDG, :DE=DG, ∴BD十DE=BD十DG=BG=AE; [应用]如图，过点C作DB的垂线交DB延长线于点H, H B AB是直径，CE⊥AD, ∴∠AEC=∠CED=∠D=∠H=90°， 四边形CEDH是矩形， :四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∠CAD+∠CBD=180°， ∠CBH+∠CBD=180°， ∠CBH=∠CAD, ·AC=BC, △ACE≌△BCH, :CE=CH,BH=AE, :四边形CEDH是正方形， :DH=DE=CH, 点E为AD的三等分点，点D与点C位于线段AB两侧， AD=3AE, 设BH=AE=2y,则DH=DE=CH=2x, :.BD=x,BC=VCH2+BH2=V5x. 器==， 故答案为：写