精品解析：2026年辽宁阜新市多校初中学业水平检测 数学试卷（一模）

2026年初中学业水平检测 数学试卷（一模） （满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡制定区域内作答，在本试卷上作答无效！ 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义即可得． 【详解】解：这个几何体的主视图是， 故选：D． 2. 中国脑机接口进入“8电极”时代，在医疗健康领域为患者带来了有效的治疗手段，研究表明人脑的神经元数量约为8600000个，数据8600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，n为整数，只需确定a和n的值即可． 【详解】解：8600000用科学记数法表示为． 3. 北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形识别，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】根据中心对称图形的定义可知，选项C符合题意． 故选：C 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，积的乘方法则逐一计算选项即可判断结果． 【详解】解：选项A：，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项正确，符合题意； 5. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 6. 如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线定理可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的周长是，可以求出，根据中位线定理可知，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：点，，，分别是，，，的中点， 、分别是和的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， ， ， 又点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， . 故选：A. 7. 在中，连接，过点作交于点．若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用A、B的坐标求出，，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明，然后证明，再求得点的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点B逆时针旋转，得到线段， ∴，， 过点作轴的垂线垂足为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在第四象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 9. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，列出方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意得： ． 10. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图过程可得是的垂直平分线，从而得到，，利用勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理构建方程求出，最后在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图过程可知：直线是线段的垂直平分线， 点，在直线上， ，． ，， ，， ． ， ． 在中，． 设， 则． ， 在中，， 解得， ． 在中，． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 我国数学家刘徽在1700多年前首次明确提出了正负数概念，“今两算得失相反，要令正负以名之”、例如：某商店某日盈利155元记作元，那么亏损86元记作_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，根据正负数的定义，盈利记为正数，亏损记为负数． 【详解】解：盈利155元记作元， ∴亏损86元应记作元， 故答案为：． 12. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速是反比例函数关系，其图像如图所示．当车速为时，视野角度为_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】先求得视野角度f（度）与车速成反比例函数关系，再求出车速为时的函数值即可解答． 【详解】解：设视野角度（度）与车速是反比例函数关系为， 把点代入得：，解得：， 所以视野角度（度）与车速是反比例函数关系为， 当时，，即当车速为时，视野角度为40度． 13. 某公司招聘一名技术人员，对小王进行了笔试和面试．小王笔试和面试的成绩分别为分和分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小王的综合成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据题目给出的权重和对应成绩，利用加权平均数的计算方法即可求出小王的综合成绩． 【详解】解：由题意可得，小王的综合成绩为： （分）． 14. 如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，，则的长度为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键． 过点作，垂足为，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， 在中，，， ，， ，， ， ． 故答案为：10． 15. 如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得、、三点共线时最大即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， 矩形中，，，， ，， 根据勾股定理，， 为的中点，为的中点， ， ， ， 由三角形的三边关系得、、三点共线时最大， 此时． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根的定义，绝对值的性质，负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，对各项分别化简后再进行加减运算即可； （2）根据分式的混合运算法则，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后即可得到化简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． （1）求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ （2）若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时． 【答案】（1） 甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼. （2） 甲至少要销售7小时. 【解析】 【分析】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． （2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值． 【小问1详解】 解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼． 根据题意，得． 方程两边同乘，得． 解得．检验： 当时，， ∴是原方程的解． 则． 答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼． 【小问2详解】 解：设甲销售小时， 则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼． 根据题意，得． 化简得． 解得． 答：甲至少要销售7小时． 18. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______ （2）扇形统计图中组对应的圆心角为______度； （3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 【答案】（1）85， （2）72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值； （3）由A、B两款的非常满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中，85分出现次数最多，则， 根据乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， 第十个和第十一个评分分别为86、87，所以中位数． 故答案为：85，； 【小问2详解】 解：∵乙款扇形统计图可得，A组B组共有人， C组有8人， ∴组有人， ∴扇形统计图中组对应的圆心角为， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， ∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． 19. 某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，得到对称轴为直线，根据抛物线的最高点与地面的距离为3米可设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （2）根据抛物线和抛物线关于所在直线对称求出抛物线的函数表达式为，延长交抛物线于，求出，进而求出，进而可求的长． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与地面的距离为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，的顶点坐标为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称， ∴抛物线开口大小、方向不变，顶点坐标变为， 则抛物线的函数表达式为， 如图，延长交抛物线于， ， ∵点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米， ∴， 此时， 解得：，（舍去）， ∵与之间的距离为2米， ∴． 20. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． （1）求点、点的坐标； （2）点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】（1）点，点 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 21. 如图，点，，，为上四个点，为直径，，，平分．过点作交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ； 连接，如图1， 为直径， ， 又， ． ， ， ， ， ， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的性质和平行线的性质得到，即可得证； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，利用勾股定理得出，证明，即可得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作的垂线，交的延长线于点，如图2， ， ， ， 又， ， ， ， 为等腰直角三角形， 在中，， ， ，，， ， ， ， 在中，， ． 22. 解答下列问题： （1）【问题发现】：如图1，在和中，，，，绕点逆时针旋转，为的中点，当点与点重合时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）【问题证明】：在绕点逆时针旋转的过程中，当经过点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； （3）【拓展应用】：在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） 解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 延长到使得，连接，如图2， ，，， ， ，， ， ∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）解直角三角形求出，即可判断． （2）延长到使得，连接，证明即可解决问题； （3）分两种情形：①当在的下方时，延长交于；②当在的上方时，结合相似三角形的判定和性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 在中，点是的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当在的下方时，延长交于，设交于点P， ， ， 由题意得：，，，， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积； 如图，当在的上方时，设交于，的延长线交于点P， 同理，， ， ， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积； 综上所述，的面积为或． 23. 如图1：在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）点的坐标为______；点的坐标为______；点的坐标为______； （2）求出长度； （3）把二次函数图像沿水平方向，向右平移1个单位长度，得到一个新的二次函数．点，点为新抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为．当新抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值的最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； （4）在（3）条件下，过，两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，新二次函数图像顶点为，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值．（直接写出答案）． 【答案】（1），， （2） （3） （4）m的值为或 【解析】 【分析】（1）令，解方程得；令得，结合A在B左侧，得； （2）由，在中，，由勾股定理即可计算； （3）先求得函数最小值为，再根据函数的增减性求得，然后分当时；当时；根据函数值最大值与最小值差为，列式即可求解； （4）分两种情况：①当为最高点或，对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部；②当为最高点时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部；分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 解得，； 当时，， ∵在左侧， ∴，，； 【小问2详解】 解：由（1）得，在中，，，． ∴ ； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵将抛物线向右平移1个单位， ∴新抛物线解析式为：， 新抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，函数有最小值为， 点的横坐标为m，点的横坐标为， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大， 且， 解得， 当时， 解得， 在时，抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值最大值为，最小值为， 又函数值最大值与最小值差为， ， 即； 当时， 解得， 当时，抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值最大值为，最小值为， 又函数值最大值与最小值差为， ， 即． 综上，与m的关系式为； 【小问4详解】 解：当，两点关于对称轴对称时，即 解得， ∵新抛物线为， ∴新顶点为， 分两种情况：①当为最高点或，对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，如图， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，， 又轴， ， ， 点Q到该正方形边的最小距离是1，， ， ， 四边形正方形， ，即 解得，（舍去）； ②当为最高点时，即时，点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，如图， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，， 又轴， ， ， 点Q到该正方形边的最小距离是1，， ， ， 四边形正方形， ，即 解得（舍去），； 综上，当点在该正方形内部，点Q在该正方形外部，且点Q到该正方形边的最小距离是1，m的值为或． 【点睛】本题核心是利用二次函数的对称轴分析范围内的最值，结合平移、分类讨论思想，将函数问题与正方形的几何性质结合求解，是函数与几何综合题的典型应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平检测 数学试卷（一模） （满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡制定区域内作答，在本试卷上作答无效！ 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 中国脑机接口进入“8电极”时代，在医疗健康领域为患者带来了有效的治疗手段，研究表明人脑的神经元数量约为8600000个，数据8600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是内一点，，，，点，，，分别是，，，的中点，若四边形DEFG的周长为，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，连接，过点作交于点．若且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 我国数学家刘徽在1700多年前首次明确提出了正负数概念，“今两算得失相反，要令正负以名之”、例如：某商店某日盈利155元记作元，那么亏损86元记作_________元． 12. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速是反比例函数关系，其图像如图所示．当车速为时，视野角度为_____度． 13. 某公司招聘一名技术人员，对小王进行了笔试和面试．小王笔试和面试的成绩分别为分和分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小王的综合成绩为________分． 14. 如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，，则的长度为_______． 15. 如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、化简： （1） （2） 17. 列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，重庆文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1260万人次.春节某天，甲、乙分别在洪崖洞和磁器口销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的1.5倍：若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． （1）求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ （2）若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时． 18. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 乙 86 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______ （2）扇形统计图中组对应的圆心角为______度； （3）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数． 19. 某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 20. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． （1）求点、点的坐标； （2）点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 21. 如图，点，，，为上四个点，为直径，，，平分．过点作交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）求的长． 22. 解答下列问题： （1）【问题发现】：如图1，在和中，，，，绕点逆时针旋转，为的中点，当点与点重合时，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）【问题证明】：在绕点逆时针旋转的过程中，当经过点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由； （3）【拓展应用】：在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出的面积． 23. 如图1：在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）点的坐标为______；点的坐标为______；点的坐标为______； （2）求出长度； （3）把二次函数图像沿水平方向，向右平移1个单位长度，得到一个新的二次函数．点，点为新抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为．当新抛物线上，两点之间的部分（包括，两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值的最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； （4）在（3）条件下，过，两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，新二次函数图像顶点为，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值．（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $