河北石家庄实验中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

**基本信息** 以乒乓球赛出场阵容、智慧借还系统等真实情境为载体，融合排列组合、导数应用与统计概率，考查数学思维与应用意识，适配高二期中能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|四位数计数、导数极值、出行方式计数|基础概念与数学眼光结合，如第4题分步乘法计数| |多选|3/18|导数运算、函数单调性、概率计算|分层考查思维严谨性，如第11题条件概率推理| |填空|3/15|导数值求解、报名方式计数、值班安排|创新情境中应用数学语言，如第14题不连续值班计数| |解答|5/77|出场阵容排列、系统可靠性分析、导数证明|综合问题设计梯度，如第16题结合独立性检验与概率分布，第19题导数零点证明体现逻辑推理|

石家庄实验中学高二2025-2026学年第二学期期中考试 数学参考答案 1.A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 9．AC 10．ABD 11．ACD 12． 13．243 14．1280 15．（1）出场阵容可以分两步确定： 第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种； 第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为. （2）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案： 第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛； 第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成： 第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种； 第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种； 第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有种； 根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为. 16．（1）零假设为：模块工作状态与测试环境无关联. 根据列联表中数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断成立，可以认为模块工作状态与测试环境无关联. （2）①由题意可知， ， ， ， ， ， 则的分布列如下： 0 1 2 3 4 . ②当时记系统中正常工作的模块数为随机变量，则， 记时系统的可靠性为，记时系统的可靠性为. 故， ， 故， 故增加一个模块即，能提高系统的可靠性. 17．(1) ，因为 所以分以下情况讨论： 当 时， 恒成立，故 在 单调递增； 当 时，当 单调递减， 时 单调递增； 当 时， 恒成立，故 在 单调递减. 综上所述：当 时， 在 单调递增，无单调递减区间； 当 时， 在 单调递减，在 单调递增； 当 时， 在 单调递减，无单调递增区间. (2)因为 ，由(1)知，函数 在 上单调递增，不妨设 ， 则 ，可化为 ， 设 ，则 ， 所以 为 上的减函数 即 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立， 设 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以函数 在 上是增函数， 所以 （当且仅当 时等号成立）． 所以 ．即 的最小值为12． 18．（1）当时，，，， 所以在点处的切线方程为， 即. （2）因为，且， 由得， 当时，在上恒成立， 所以单调递增，恒成立， 当时，， 又因为，所以， 则在上，， 记，则时，，单调递减， ，与恒成立不符， 综上所述，恒成立，实数的取值范围是. （3）证明：当时，， 令，则，， 当时，，单调递减， 所以在上，，， 易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，， 在上，单调递减，，， 所以存在使得，在上，，在上，； 所以在上单调递增，在上单调递减，，； 所以存在使得，在上，，在上，； 故在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点. 综上所述，时，函数在上有且只有一个零点. 19．(1)考虑即可，得，得，， 令， 则， 函数在递增，递减，又， 所以. (2) （i）令有两零点，令， ，由在R上递增，则， 所以上述等价于有两零点， 于是，由（1）知，令，则在递增，递减，又， 所以. 另：考虑，由，令，得，得，此时等价于， 所以等价于， 于是，由（1）知，令，则，函数在递增，递减，又， 所以. （ii）证明：由（i）知，已知等价于有两个零点， 于是，所以. 欲证，只需证 只需证，消t得， 一方面，下证：，等价于证明， 令，则等价于证明，等价于证明， 令，则，所以在递增， 所以，得证. 另一方面，再证，等价于证， 等价于证，等价于证， 等价于证，等价于证， 令，所以在递减，所以，得证. 综上两方面所述，所以. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄实验中学高二2025-2026学年第二学期期中考试 数 学 命题：高二数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他案标号。回答非选择题时,将案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。 1．若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 2．若  ，则 （    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．函数有（       ） A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为 4．小明计划从福建到北京旅游，沿途要经过上海中转，已知小明从福建到上海有3种出行方式，从上海到北京有4种出行方式，则小明从福建到北京的出行方式有（ ） A．6种 B．7种 C．12种 D．18种 5．已知函数为的导函数，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱的表面积最小为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值为1 C．方程有两解 D．曲线经过四个象限 11．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于________． 13．若5名学生报名参加数学、物理、化学3个培优小组，每人选报1组，则不同的报名方式有 种. 14．拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有 种．（用数字作答） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 16．为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. （1）该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （2）当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 17．已知函数 ． (1)讨论函数 在 上的单调性； (2)若，对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 18．已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：在上有且只有一个零点. 19．已知，函数. (1)若恒成立，求t的取值范围； (2)若方程有两个正实数根. （i）求t的取值范围； （ii）证明：. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $