广东惠州市博罗县2025-2026学年第二学期高二阶段性教学质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期高二阶段性教学质量检测 数学参考答案 一、 单选题 题号 2 6 > 8 答案 B O 7.C 最大数与最小数的组合有(1,4)，(2,5)，(3,6，以最大数为4，最小数为1为例，抽出的3个数字的 组合可能为14102.3，对应的排列数分别为=3种，=3种，3-6种，3引=6 种，故此种情况共有3+3+6+6=18种，总方法数为3×18=54种 8.B 0时，e)则r=2g24220+09 (2+1 x2+1 令f'(x)>0得0<x<1,令f'(x)<0得x>1, 放fe)在eQ)上单调适增，在(L)上竿调远减。 又f(0)=0,x>0时，f(x)>0, 故)=e®，当<0时，=-单润港。且f)=1. 1 画出∫(x)的图象如下：方程f(x)=t恰有2个实根， 即y=f(x)与y=t有2个交点， 则t=1,则实数t的取值范围是 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AD ABD AC 11.【分析】由455=450+202422，再利用二项式展开式可得答案.因为 455=45×454=45×20252=450+2024)22=45(C2+C22024+C222024+.+C2220242) =45+45(C2024+C3220242++C20242）), 所以45“被2024除所得的余数为m=45,所以a=Ci.=454=90.故选：AC 2 高二数学答案第1页，共6页 三、填空题 12.78; 若甲安排在星期五，则不同的安排方法有A=24种，若甲不安排在星期五，则不同的安排方法 有A,A,A=54种，故不同的安排方法有78种. 13.-30 (1-x+x2)'表示5个因式(1-x+x)的乘积，x的项可以是：从5个因式中选1个提供-x,1 个提供x2,3个提供1，此时x的系数为C·(-1)C4C=-20,x的项也可以是：从5个因式中选 3个提供-x,0个提供x2,2个提供1，此时x的系数为C(-1).C=-10,所以展开式中的系数为 -30. 14m≥e-e方网) 函数f)=e-hx-公，求导得f闭=e-1-nx-x，了e)=e-m, X 依题意，x∈1,2)，∫"(w)<0台m>e-1恒成立，而函数g)=e-1在(1,2)上单调递增， 868=心-子，则≥心-片所以交数m的取值范围是m≥e 2 故答案为：m≥e 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分) (1)因为所有项的二项式系数和等于512， 所以2”=512， 2分 解得n=9 …3分 所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，…5分 16 9 x-63x …7分 8 3r-18 (2)展开式通项为：I,=C, x(9nx2=C2-9x2 …10分 令3,18=0，r=6, …11分 2 展开式中常数项为第7项，常数项为1)=C5×2_21 …13分 高二数学答案第2页，共6页 16.(本题满分15分) (1)了'()=x+3+,因为函数在(1f)处的切线方程为y= …2分 2 所以J0-子，f0-0,也即1+3+兰-0，解得a=-4, …4分 所以f(的解折式为/)-方+-4nx>0). …6分 (2)由(1)知fx)=x+3-4_x+4-) …7分 所以当x[3时，了(e)<0,西数国单调递减 …8分 当x∈(1,4]时，∫'(x)>0,函数f(x)单调递增；…9分 由单调性可知，x=1是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点，…1分 因此函数在x=-1处取得极小值，无极大值，了0)-子， …12分 所以函数∫(x)在x∈ 号4内的极小值为，无极大但 13分 17.(本题满分15分) (1)选2名男生，有C种选法： … …】分 选3名女生，且某女生必须在内，有C种选法.… …3分 所以符合条件的不同选法有C2C=36(种).… …5分 (2)方法一（直接法）：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有CC种； …6分 第2类，3名男生，2名女生的选法有CC种；…7分 第3类，4名男生，1名女生的选法有C4C种： 8分 所以男生不少于2名的不同选法有C2·C+CC2+C4C=105(种). …10分 方法二（排除法）： 因为从9名学生中，选5名代表的选法共有C。种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的 情况，所以男生不少于2名的不同选法有C-C4·C-C=105(种). 高二数学答案第3页，共6页 故共有105种不同的选法。 …10分 (3)先安排甲组有C种分法，再安排乙组有C种分法，余下的学生为丙组有C种分法. 所以符合条件的不同分法有C。.C。.C=1680(种). 故共有1680种不同分法.… 15分 18.(本题满分17分) y=x2 (1)联立 1,解得x=1或x=-1（舍去)，所以交点坐标为(1,1).…2分 y= 对y=x2求导，可得y=2x,将x=1代入y,得切线斜率k=2×1=2. 切线方程1：y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,… …4分 对)求导，==子将=1，得切线斜率=1. 切线方程l2y-1=-1(化-1)，即x十y-2=0.… 6分 所以交点P处的切线方程为2x-y-1=0,X+y-2=0,…7分 (2)设公切点P(xy),x。>0. 对y=r求导，根据求导公式(9=，可得y=,则在点P处的切线斜率k=】 对y=r2求导，可得y=2ax,则在点P处的切线斜率k2=2a. 1 因为两函数在点P处存在公切线，所以k=k2,即一=2a此①.…10分 又因为点P在两函数图象上，所以nx。=②. 由0得a=京，将共代入@可得：=是代片即c分，解得与=6 1 1 将x=v6代入1少得：无=2，解得a=2 1 ，…15分 2e 将。=VE代入y=lr得为=n=} 所以a名点的坐标为c》 …17分 高二数学答案第4页，共6页 19.(本题满分17分) (1)当a=3时，f(x)=sin3x-3sinx,则f'(x)=3sin2 xCOSx-3cosx=-3cosx, 当x2a2加+ee)时，f(k0, 当(232.r0, …2分 所以f(的单调区间为2+受2+）e2, 单调减区何为2号2+到kc2 …4分 2)侣1-a,由-2s周a,解得a 记cosx=0,sinx=±l,f(x)=sin3x-asinx=(1-a)sinx=±(1-a, 识号则m美停)-mam4-gm=士2近，7分 9 [-2≤±(1-a)sa 因为-2≤f(x)≤a恒成立，故 -2s±25aasa 9 (Lsas3 a≥-1 则 0≤a 27'解得25a≤3， 4 0≤a≤3 所以a的取值范围是 10分 (ii)当x=0时，等号成立； 下面证明当x>0时，(x)≤2a2x, 当x之1时，有x212a,故2ax之a,此时f()≤a≤2a,符合题意： 现考虑当x∈(0,1)时，f(x)≤2a2x成立，等价于证明sin3x≤asinx+2adx, 不妨先证明simx≤imx+x,设()=x-sinK,则h(x)=1-cosx≥0， 1. 故h(x)在(0,1)上单调递增，于是h(x)>h(O)=0,故sinx<x, 高二数学答案第5页，共6页 于是simx<x,而sim23x-sinx=sinx(sin2'x-l）<0, 1 2 1 1 故sin'<simx<方+2inx≤asim+2ax, 2 故当x∈(0,1)时，f(x)≤2a2x成立； …13分 于是当x≥0时，f(x)≤2ax成立； 取8(x)=x(f(x)-2a2x),当x≥0时，g(x)≤0， y(x)=f(x)-2a'x=sin'x-asinx-2a'x, y(-x)=sin(-x)-asin(-x)-2a2(-x)=-(sin'x-asinx-2a'x)=-y(x), 故y(x)是奇函数， 所以8(x)=xy(x)是偶函数，于是当x<0时，g(x)=g(-x)≤0成立， 综上，g(x)≤0，即f(x)≤2ax2成立.…17分 高二数学答案第6页，共6页2025-2026学年第二学期高二阶段性教学质量检测 数学试题 本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟 第一部分（选择题，共58分） 一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1.已知函数f(x)=lhx+1,则f"(1)=() A.0 B.1 C.2 D.3 2.在(1-x)4的展开式中，含x的项的系数是（) A.6 B.-6 C.-4 D.16 3.函数y=f(x)的图像如图所示，则() V A.f"(3)>0 B.f'(3)=0 C.f"(3)<0 D.'(3)的正负不确定 4.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯、花灯等种类.现有3名学生，每人从宫灯、 纱灯、吊灯、花灯中选购1种，则不同的选购方式有() A.34种 B.4x3×2种 C.3x2×1种 D.4种 5.若fw=血x,e<a<b,则() A.f(a)>f(b)B.f(a)=f(b)C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 6.已知函数f(x)=x3+2ax2+ad2x在x=1处取得极小值，则a=() A.-3 B.3 C.1 D.-1 7.现有6张分别标有数字1,2,3,4,5,6的不同卡片，从中有放回地取3次，每次取一张，将3次取到 的卡片上的数字分别记为4,42,4，若4,42,4这三个数中的最大数与最小数之差恰好等于3，则抽取 卡片的所有不同方法种数为() A.32 B.48 C.54 D.72 2x 8.已知函数f(x)= x2+1’t≥0， 若方程f(x)=t恰有2个实根，则实数t的取值范围是() 1 ’x<0, x A.01} B.1} C.(-n,2) D.(1,+n) 高二数学试题第1页，共4页 二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分 选对得部分分，有选错的得0分.) 9.电动汽车产业是我国的优势新型产业之一.某款电动汽车在一次上路测试中，速度v(单位：千米 每小时)关于运行时间t(单位：分钟)的关系可以用函数v(t)=t-8t+40(0≤t≤8)表示，则() A.该车速度在前8分钟内的平均变化率为0； B.该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C.该车速度在第3分钟的瞬时变化率为2； D.可以用该车运行5分钟到5.01分钟之间的平均速度估算该车在t=5时的瞬时速度. 10.已知f(x)=Q1+x)6=4,+4x+4,x2+…+a,x,下列结论正确的是() A.42=15; B.a+4+42+…+a6=64; C.a+44+a。=32: D.f(2)除以2的余数为1. I1.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是(a+b)的展开式的二项式系数，直 观解释二项式系数规律，记第n行从左至右的第i个数为a,若455被2024除所得的余数为m,则 () 杨辉三角 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 第6行 1615201561 第7行 172135352171 第8行 18285670562881 A.m=45 B.m=44 C.am3=990 D.am3=946 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上） 12.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排一 人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的 安排方式共有 种. 高二数学试题第2页，共4页 13.(1-x+x2)的展开式中x的系数是 14.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与 不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导 函数为"(x),若在(a,b)上f"(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”，已知 f)=。-血x-贺在1,2)上为凸函数，则实数m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在二项式（公+的展开式中，所有项的二项式系数和等于512 (1)求展开式中二项式系数最大的项： (2)求展开式中的常数项. 16.(本小题满分15分) 已知函数f)-式+3x+a血x(aeR)在0)处的切线方程为y=号 7 (1)求f(x)的解析式： 包当xe时，求函数的授位 17.(本小题满分15分) 有4名男生，5名女生. (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 高二数学试题第3页，共4页 18.(本小题满分17分) 若函数y=∫(x)和y=g(x)图象有公共点P,且各自在点P的切线和l2重合，则称重合的切线为 两函数在点P处的公切线 1)分别求y=x和y=在交点P处的切线方程； (2)若y=lnx和y=2在点P处存在公切线，求a的值及点P的坐标. 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)=sin3x-asinx (1)当a=3时，求f(x)的单调区间： (2)已知-2≤f(x)≤a. (i)求a的取值范围： (ii)证明：f(x)≤2a2x2. 高二数学试题第4页，共4页