精品解析：广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测数学试题

广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测 数学试题 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑. 1. 已知，则x的取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列求导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 若展开式的常数项为160，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（ ）种． A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 6. 下图示函数的导函数的图象，给出下列命题： ①，是函数的极小值点； ②是函数的极大值点； ③在处切线的斜率大于零； ④在区间上单调递增． 则正确的命题的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 7. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、 宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ） A. B. C. D. 8. 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共3小题，每小题满分18分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共16分.把答案填在答题卷相应横线上. 12. 已知函数，则函数的图像在处的切线方程为______． 13. 从七名运动员中选出名参加米接力赛，其中运动员不跑第一棒，运动员不跑第二棒，则不同安排方案有____________种. 14. 若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.把答案填在答题卷相应空白上. 15. 已知函的图象过点，且． （1）求的值： （2）求函数的单调区间． 16. 北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜打破4项世界纪录，创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官．作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台．我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为：第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的乒乓球中任取1个． （i）求这个乒乓球是合格品的概率； （ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率． （2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列． 17. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求在上的最小值． 18. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励. （1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率. （2）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望. （3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由. 19. 如图，对于曲线，存在圆满足如下条件： ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）； 则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． （1）求抛物线在原点的曲率圆的方程； （2）求曲线的曲率半径的最小值； （3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二下学期4月期中质量检测 数学试题 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑. 1. 已知，则x的取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以或，解得． 经检验，满足题意. 故选：B． 2. 下列求导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，对选项中的函数逐一求导，即可判断正误. 【详解】,故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查初等函数的求导公式以及导数的运算法则，意在考查对基本公式、基本运算法则掌握的熟练程度，属于基础题 3. 若展开式的常数项为160，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式通项公式，令的指数为0，解出，代入公式即可求. 【详解】二项式展开式通项为， 令，则常数项为，解得. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二项式定理通项公式的应用，考查运算求解能力，属基础题. 4. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，然后令代入导函数中可求出 【详解】由，得 ， 令，则，解得， 故选：A 5. 开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（ ）种． A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙丙是三个特殊元素，分类讨论甲与丙之间为乙与甲与丙之间不是乙的两种情况，利用捆绑法即可求得所求排法总数. 【详解】若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有种情况，则此时有种排法； 若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法， 所以总共有种情况符合题意. 故选：C． 6. 下图示函数的导函数的图象，给出下列命题： ①，是函数的极小值点； ②是函数的极大值点； ③在处切线的斜率大于零； ④在区间上单调递增． 则正确的命题的序号是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，及导数与单调性，单调性及极值的关系进行判断即可． 【详解】① ．当时，且左右两侧同时为正，此时单调递增，无极值点， 当时，且左右两侧同时为负，此时单调递减，无极值点，故①错误； ②．当时，且左侧为正，右侧为负，此时在的左侧为单调递增，右侧为单调递减，故是函数的极大值点，故②正确； ③．由图知，根据导数的几何意义知，在处切线的斜率大于零，故③正确； ④．当时，，故在为单调递减，故④错误； 综上可知，②③正确 故选：C． 7. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、 宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出和，再利用条件概率公式计算作答. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 8. 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知公式，将公式两边求导，结合诱导公式和角度弧度转换即可得到答案. 【详解】由题意得 当时， 于是 故选：D. 二、多项选择题：共3小题，每小题满分18分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A， 取 , 则 ，则A正确； 对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中 所以，故B正确； 对C，取，则， 则，故C错误； 对D，取，则， 将其与作和得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意直接得出A；由分步计数原理得出B；条件概率公式得出C和D. 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用阶导数的定义，求出阶导数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则，， ， 令，得， 当时，；时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，即， 故选:BD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用阶导数的定义求出阶导数，再利用分离参数法解决恒成立问题，结合导数法求函数的最值即可. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共16分.把答案填在答题卷相应横线上. 12. 已知函数，则函数的图像在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，在该点的导数等于该点切线的斜率即可求解. 【详解】由，得，则， 所以函数的图象在处的切线方程为，即． 故答案为：． 13. 从七名运动员中选出名参加米接力赛，其中运动员不跑第一棒，运动员不跑第二棒，则不同安排方案有____________种. 【答案】 【解析】 【分析】按照第一棒是否由跑分两类讨论，可求出结果. 【详解】若运动员跑第一棒，则从剩下的六名运动员中任选三名跑另外三棒，有种； 若运动员不跑第一棒，也不能跑第二棒，则从除外的五名运动员中，任选一名跑第一棒，有， 从除和已经排好的人以外的五名运动员中任选一名跑第二棒，有， 再从剩下的五名运动员中任选两名跑另外两棒，有种， 故不同安排方案有种. 故答案为：. 14. 若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______． 【答案】． 【解析】 【分析】将不等式变形为，可构造函数，易知在R上单调递增即可得，因此只需满足，求出的最大值即可得出. 【详解】由可得当时， ， 即， 令，易知恒成立，即在R上单调递增， 由可得； 故，可得，即， 又是单调递增函数，故可得， 令，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减， 故， 可得． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常通过指数和对数恒等变换，再利用同构技巧合理构造函数，利用导数求得其单调性和最值即可实现问题求解. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.把答案填在答题卷相应空白上. 15. 已知函的图象过点，且． （1）求的值： （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）由、可得答案； （2）求出，分别由，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，， 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 当或时，，当时，， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为． 16. 北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜打破4项世界纪录，创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官．作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台．我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为：第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查． （1）从混合的乒乓球中任取1个． （i）求这个乒乓球是合格品的概率； （ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率． （2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】（1）（i）0.944；（ii） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）（i）利用全概率公式，第一批的占比乘以第一批的合格率加上第二批的占比乘以第二批的合格率等于合格品的概率.（ii）利用贝叶斯公式，第一批的占比乘以第一批的合格率除以总的合格率等于取自第一批乒乓球的概率. （2）因为乒乓球是第二批的概率为，两次独立重复试验，利用二项分布得到分布列. 【小问1详解】 （i）∵第一批占，次品率为；第二批占，次品率为， ∴这个乒乓球是合格品的概率. （ii）已知取到的是合格品，它取自第一批乒乓球的概率； 【小问2详解】 由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2， ； ； ； 故X的分布列为： X 0 1 2 P 0.36 0.48 0.16 17. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求在上的最小值． 【答案】（1）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果； （2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值. 【小问1详解】 由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 18. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励. （1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率. （2）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望. （3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由. 【答案】（1） （2）分布列答案见解析，数学期望： （3）我不愿意再次参加该项抽奖活动，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的方法，结合组合数的计算求解即可； （2）的所有可能取值为，再分别求解分布列与数学期望即可； （3）根据（2）中数学期望，求解消费者在一次抽奖活动中的收益判断即可. 【小问1详解】 记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件，则.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为， 则， ， . 所以的分布列为 0 10 20 . 【小问3详解】 记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则， 所以，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动. 19. 如图，对于曲线，存在圆满足如下条件： ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）； 则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． （1）求抛物线在原点的曲率圆的方程； （2）求曲线的曲率半径的最小值； （3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：． 【答案】（1） （2） （3）法一：函数的图象在处的曲率半径， 故， 由题意知： 令， 则有， 所以，即，故． 因为，所以， 所以， 所以． 法二：函数的图象在处的曲率半径， 有 令，则有， 则，故 ， 因为，所以， 所以有， 令，则，即， 故，所以，即； 法三：函数的图象在处的曲率半径． 故 设，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有， 所以， 要证，即证， 即证 将 ， 下证：当时，有， 设函数（其中）， 则， 故单调递增， ， 故，所以． 法四：函数的图象在处的曲率半径， 有， 设． 则有， 所以当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增． 故有， 所以， 要证，即证， 即证．将， 下证：当时，有， 设函数（其中）， 则， 故单调递增，故 ， 故，所以． 【解析】 【分析】（1）设抛物线在原点的曲率圆的方程为，求出导数、二阶导数，结合所给定义求出即可； （2）设曲线在的曲率半径为，根据所给定义表示出，再由基本不等式计算可得； （3）依题意函数的图象在处的曲率半径，即，从而得到，令，，即可得到，再由基本不等式证明即可． 【小问1详解】 记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径． 则，， 故，，即， 所以抛物线在原点的曲率圆的方程为； 【小问2详解】 设曲线在的曲率半径为．则 法一：， 由知，， 所以 ， 故曲线在点处的曲率半径， 所以，则， 则，当且仅当，即时取等号， 故，曲线在点处的曲率半径． 法二：，， 所以，而， 所以，解方程可得， 则，当且仅当，即时取等号， 故，曲线在点处的曲率半径． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $