广东惠州市博罗县2025-2026学年第二学期高一阶段性教学质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期高一阶殷性教学质量检测 数学参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 6 > 8 答案 0 A A 6在△ABC中，对于 sinA-sinB c sinC-sinB a+b’ 由正弦定理得： a-b c c-b a+b ,即b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得：cos1=b+c2-a2e-1 2bc 2bc2' 又A∈(0，网，所以A=号又a- 所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becosA=b2+c2-bc, 所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0, 所以b=c,结合A=60°，可得△ABC一定是等边三角形. 7.设圆锥的底面半径为”，母线长为1，则1=2√3， 因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，所以=2m,即1=2r,故r=√5 所以圆锥的高为h=√？-r2=√r=3, 设圆锥形灯罩的外接球的半径为R,球心为O, 如图，OS=OA=R, O01=h-R=3-R,loA=r=3, 所以o0+OA=1OA,即R2=(3-R)2+3, 解得R=2 所以圆锥形灯罩的外接球的半径为R=2, 表面积为4元R2=16πdm2 8.:40=(4B+AC).B=mAM,AC=nAN, 20 A0="AM+AW,又M,O,N三点共线， 2 2 高一数学答案第1页，共8页 :.严+”=1，即得m+n=2,易知m>0,n>0, 22 m=2√2-2 当且仅当 2n,即 +n=2 u=4-2V5时，取等号，故选C 二、多选题 题号 0 10 11 答案 BCD ACD AD 10.ACD 对于A,在等腰梯形ABB,A中，过A向AB作垂线，垂足为E, 在Rt△AAE中， B 所以等腰梯形AB,4的面积为牛3x5=25, 所以S侧=3x2√3=6V3,所以A正确： 对于B,正三棱台ABC-ABC中，取上、下底面的中心O,O, 连接O0,OC,0C1, 则ac9.oc=,商o0=c-(oc-aG2 3 所以B错误； 对于C三枝合的体积r:+S+S,h-B点，所以c正确： 6 对于D,把等腰梯形ABB,A与BCC,B展开置于同一平面，连结AC, 易知，∠ABB=∠CBB1=60°，AC=2ABsi60°=35， C 而4AC边的中点到点B的距离AB cos60°=3 <BB, A B 2 因此当点P为线段AC与BB,的交点时， AP+CP的最小值为3√5，所以D正确 高一数学答案第2页，共8页 11.对于A,由sin2A+sin2B+cos2C<1,可得sin2A+sin2B<sin2C, 由正弦定理可得a2+b2<c2, 所以cosC.。+-c<0. 2ab 因为C∈(0，π)， 所以C<C<元，则△4BC为钝角三角形，故A正确： 对于B,若A>B,当A=120,B=30°时，则si2A<sin2B,故B不正确： AB AC 对于C,因为 分别为单位向量， AB AC 所以∠A的角平分线与BC垂直，所以AB=AC,∠B=∠C. AB AC 1 又因为AB Ac T2,即c0s4= 2 因为0≤4<元，所以A-于 故∠B=∠C=∠A-号所以△1C为等边三角形，故c错误： 对于D,因为OA+OB+OC=0,所以O为△ABC的重心， 由OA=OB=OC知O为△4BC的外心，故△4BC为等边三角形，故D正确。 三、填空题 12.52 13.3+5i 由题意可得A(1,3),B(0,-1),C(2,1),设D的坐标为(xy), 解法一：平行四边形ABCD中，对角线互相平分，即AC与BD中点坐标相同， 解得x=3,y=5,故点D对应的复数是3+5i. 解法二：由于AD=BC,可得(x-1,y-3)=(2,2), 故x=3,y=5,故点D对应的复数是3+5i. 14 依题意，以A为原点，AC所在直线为x轴，过A作AC的垂线为y轴，如图所示， 因为AB=2,AC=4,∠BAC=60°， 高一数学答案第3页，共8页 所以400aLc0M20则39】 3 .MA= BN=1,-5), 2 M :∠APN即为向量MA与BN的夹角， A C x :MA.BN=- x1+ 3） ←3)=-1， 2 ∴.cos∠APN= MAB-1V万 MA|BN12×√714 四.解答题 15.(1)由已知，a+b=(0,4), …2分 所以c0s(a+6,c)=位+b)c-0x3+4x44 a+b1lc4x√3+45 …6分 (2)由己知，a+k=1+3k,2+4k),2b-a=(-3,2),…8分 因此由（ā+）/(2b-),可得21+3k)=-3(2+4),解得k= 4 …13分 9 16(1)因为A为钝角，且simA=3 ,所以c0sA=-4 5’……2分 在△ABD中，AB=5,BD=3W5, 由正弦定理得 AB BD sin∠ADB- sinA' 5 35 即sin∠ADB 3, 5 解得s∠ADB=5 7分 (2)因为A、B、C、D四点共圆， 所以A十C=元，… …8分 又A为钝角， 高一数学答案第4页，共8页 所以sinC=sin(π-A)=sinA= 4 5.cosC= …10分 在△CBD中，BC=5,BD=3V5, 由余弦定理得：45=CD+25-2x5xCD×5, 4 整理得： CD2-8CD+20=0,解得CD=10(海里)（负值己舍去）…12分 所以三角形BCD的面积为： S.=BC-CD-sinC-}×5×10×215(平方海里）…15分 2 2 5 (注：没写单位扣1分) 17.(1)因为四面体ABCD为正四面体， 所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形， 且S,a2=7×4x4xsin60=4W3 2分 所以四面体ABCD的表面积为 S=4Ss00=16W5;…4分 设正四面体的高为h,三角形BCD的重心为O, 则h=V8-0B=4:-(45)-46 3 31 a-专8A-45516 3 3 3 8分 (2)因为E是AB的中点， 1 。。。。。。。。。。。。。。 ……10分 因为AF=3FC,即点F为AC的四等分点， . 4e=3 …11分 S40o4 因为DG=2GA,即点G为AD的三等分点 DAA01................................. …12分 S.ACD 3 所以S4▣=31_1」 …13分 S.ACD 434 V-A@=五a-4cD …14分 综上所述， 高一数学答案第5页，共8页 Vr--or 1162_2W2 -4033 15分 18.(1)因为a+b2-ab=c2,所以+b2-c2=ab, 由余弦定理可得cosC=口+b2-cb1 2分 2ab 2ab 2 因为ce(@,所以c=骨 …4分 (2)因为a2+b2=(a+b)2-2b=64-2b,…6分 所以c2=a2+b2-ab=64-3ab, 由基本不等式可知：8=a+b≥2√b, 当且仅当a=b=4时，等号成立， 8分 所以ab≤16，c2≥16即c≥4， 所以当a=b=c=4时，△ABC周长有最小值为12： 9分 (3)由正弦定理可得a=b sinA sin B sinC 所以a=4simA,b=4sinB,… …10分 因为月+B+C=π，所以B=2死-A,…11分 则ab=l6 sin Asin 2π 1 =16sin A 2 =45sm24-4co24+4=8n24 +4 …14分 因为△ABC是锐角三角形， 0<A< 2 有了 即”<A< 2 2 …15分 0< 3 -A2 6 所以”<2A-π<5π.1 6 66’2si2A- ≤1,8<ab≤12， …16分 6 高一数学答案第6页，共8页 因为s=bmC-5b,所以25<s≤3W5, 4 即△4BC面积s的取值范围是(2W5,3V3 …17分 19(1)根据题意可得x=2,为=1,0= 3 代入变换可得： 6=5c0s6-⅓sin0=1 =50+yos9-店+ 2,即=1 …3分 (2)=(xcose-y,sine)'+sine+y.cose)=x64, 可得：o=DA, 同理：oB=D8 …5分 4.OB=(xcose-ysine)(cose-ysine xsine+ycose(xsin .cos =xxcos+n+sin0+yycos==04.0B; 即OA.OB=OA.OB 7分 OA'.OB'OA.OB 所以Cos&= cosB. oaoa4o园 …8分 又，B∈[0，π]，所以a=B;… 9分 (3)因为xk+2=xk+1cos8-y1sin8 =(xcose-y.sine)cose-(x.sine+ycose)sine =x(cos20-sin20)-2vsinecos=xcos20-v.sin20..............................11 2=xsine+ycose =(x.cose-y.sine)sin+(x.sine+ycose)cose =2xsin0c0s0+y（cos20-sin20)=xsin20+y,c0s20.…12分 高一数学答案第7页，共8页 所以xk+3=x+2cos日-yk+2sin0 =(x.cos20-y sin20)cose-(xsin20+y.cos20)sine =x(cos20cosθ-sin20sin8)-y(sin2cosθ+cos2sinθ) =X%C0s3-y%sin3;…13分 因此y+3=x+2sin8+y+2cos8 =(x.cos20-y sin20)sine+(xsin20+y.cos20)cose =x.(sin20cos+cos20sine)+.(cos20cos0-sin20sine) =xsin30+yc0s30… …14分 由a=F@)=Ra)片eaa, 可得： x1cos3θ-ysin30=, ，…15分 x sin30+v cos30=v 「cos30=1 即 sin30=0' 又0<0<元，解得6=2亚 …17分 31 高一数学答案第8页，共8页2025-2026学年第二学期高一阶殷性教学质量检测 数学试题 本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟 第一部分（选择题，共58分） 一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1.已知复数z满足1+)z=2i,则z为() A B.1 C.√2 D.2 2.DC+AB-AC=( A.CB B.BC C.AD D.DB 3.如图，△OAB'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为() A.24 B.12 3 C.6W2 D.12W2 人45 B'X 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2√5，c=2,A=60°，则角C等于() A.30° B.60 C.30°或60 D.60°或120° 5.己知非零向量a石，满足4，向量a在向量万上的投影向量为五，则a-6=() A.0 B.1 C.8 D.4 6.在△ABC中， sinA-sin B c simC-sinB-a+b'=bc,则AABC一定是(） A.等边三角形 B.等腰非等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 7.某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为2√dm(骨架支撑长 度)，同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆， 那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是() A.4πdm B.16ndm2 C.16z dm2 D. 32m dm' 3 3 8.如图，已知△ABC与△4MN有一个公共顶点A, 且MN与BC的交点O平分BC,若AB=mAM, AC=,则上+2的最小值为() nn 高一数学试题第1页，共4页 A.4 B.3+V2 C. D.6 2 二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要 求部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9.已知z,z2为复数，则下列说法一定正确的是() A.12: B.z,和z,在复平面上所对应的点关于实轴对称： C.51+52=51+52 D,若，马为纯虚数，则三为实数 2 10.如图，正三棱台ABC-AB,C的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法 正确的是(). A.该三棱台的侧面积为6√3： B.该三棱台的高为√3； C该三棱台的体积为13v2 6 D.若点P在棱BB,上，则AP+CP的最小值为3√3 11.在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b，,C,则下列说法正确的是() A.若sin2A+sinB+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形； B.若A>B,则sin2A>sin2B: AB AC 1 C.若( AB Ac AB ACI Bc=0,且园2则AM8c为直角三角形 D.△ABC平面内点O满足：OA+OB+OC=0,且|OAOB=OC|,则△ABC为正三角形 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上） 12.已知向量a=(3,1),b=(-1,m-2),且a1,则a-2b 13.在平行四边形ABCD中，A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对 应的复数是 14.如图，在△ABC中，己知AB=2,AC=4, ∠BAC=60°，BC,AC边上的两条中线AM,BN 相交于点P,则∠APN的余弦值为 高一数学试题第2页，共4页 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 己知平面向量a=1,2),b=(←1,2)，c=(3,4). (I)求a+b与c的夹角余弦值： (2)若(a+kc)∥(2b-),求实数k的值. 16.(本小题满分15分) 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A,B,C,D,小岛B与小岛A,小岛C (I)求sin∠ADB的值： C (2)求△BCD的面积. 17.(本小题满分15分) 如图，正四面体棱长为4，E为AB的中点，AF=3FC,DG=2GA, (I)求四面体ABCD的表面积和体积； (2)求四面体AFEG的体积. 高一数学试题第3页，共4页 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+b2-ab=c2. (1)求角C的大小： (2)若a+b=8,求△ABC周长的最小值： (3)若△ABC是锐角三角形，且c=2√3，求△ABC面积S的取值范围. 19.(本小题满分17分) 对于平面向量a=（x,y)(k=1,2,),定义“。变换”： d=Fo(ag)=(x cos0-yr sin0,x sin0+yr cose),(0<<) 1)若向量8=(2,1)，日= 3求6： (2)已知OA=(x1y1),OB=(x2,y2),且OA与OB不共线，OA=F(OA,OB'=F(OB), OA,OB的夹角为a,OA,OB的夹角为P，证明：a=B: (3)若向量a4=4,求8. 高一数学试题第4页，共4页